वैदिक गणित: १६ सूत्र

सूत्र – 11

व्यष्टिसमष्टि – एक से पूर्ण और पूर्ण को एक मानते हुए। (विशिष्ट एवं साधारण)

यह सूत्र दो अंको संख्याओं में गुणनफल निकालने के लिए प्रयोग किया जाता है।

जैसे – 76 * 92

तो अब इन दोनों संख्याओं का औसत निकाले –

\frac{76 + 92}{2} = \frac{168}{2} = 84

औसत में से किसी एक संख्या का अन्तर

= 84 - 76 = 8

औसत के वर्ग में से अन्तर के वर्ग को घटाये

= 84^2 - 8^2

= 7056 - 64

= 6992 \text{ उत्तर}

22

सूत्र – 12

शेषाण्यइकेन चरमेण – अंतिम अंक के सभी शेषों को

इस सूत्र का उपयोग किसी भी परिमेय संख्या का भागफल प्राप्त करने में किया जाता है।

जैसे -

3/8

अंश 3 व हर 8 से कम है, तो अंश के अन्त में शून्य लगाकर भाग दें -

30/8 = \text{भागफल} = 3, \text{ शेषफल} = 6

अब शेषफल लें और शेषफल के अन्त में शून्य लगाये और पुनः 8 से भाग करें।

60/8 = \text{भागफल} = 7, \text{ शेषफल} = 4

अब शेषफल लें और शेषफल के अन्त में शून्य लगाये और पुनः 8 से भाग करें।

40/8 = \text{भागफल} = 5, \text{ शेषफल} = 0

शेषफल 0 हो गया, अतः भागफल से पहले दशमलव लगाकर लिखें।

3/8 = 0.375 \text{ उत्तर.}

23

सूत्र – 13

सोपान्यद्वमन्यम् – अन्तिम एवं उपान्त्य का दुगुना

इस सूत्र का उपयोग भाजकता का पता लगाने, गुणा करने में, और परिमेय व्यजनों के सरलीकरण में किया जाता है।

इस सूत्र का उपयोग केवल 12 से गुणा करने एवं 4 से भाजकता ज्ञात करने में किया जाता है

जैसे –

457 * 12

संख्या के दोनो ओर शून्य लगाये।

04570 * 12

अब संख्या के अन्तिम अंक एवं उपान्त्य अंक को दुगुना करके जोड़े

The diagram shows the number 0 4 5 7 0. A blue arrow points from the digit 7 to a box labeled 'उपान्त्य अंक' (Penultimate digit). Another blue arrow points from the digit 0 to a box labeled 'अन्तिम अंक' (Last digit). A third blue arrow points from the box 'उपान्त्य अंक' to the digit 0 in the original number, indicating the doubling of the penultimate digit.

अतः उपान्त्य अंक का दुगुना = 7*2 = 14 + 0 (अन्तिम अंक)

प्राप्त संख्या = 1 4 (1 हासिल है।)

प्राप्त संख्या = ④

24

अब ईकाई का अंक काट दे

0 4 5 7 0

अब फिर से अन्तिम अंक में उपान्त्य अंक का दुगुना करके जोड़े

7 + 5 * 2 = \boxed{1} 7 + 1 (ऊपर जो हासिल प्राप्त हुआ, यहाँ जोड़े)

प्राप्त संख्या = 8

ईकाई का अंक काट दे –

0 4 5 7 0

अब फिर से अन्तिम अंक में उपान्त्य अंक का दुगुना करके जोड़े

5 + 4 * 2 = \boxed{1} 3 + 1 (ऊपर से प्राप्त हासिल का अंक जोड़ दे)

प्राप्त संख्या = 4

ईकाई का अंक काट दे –

0 4 5 7 0

अब फिर से अन्तिम अंक में उपान्त्य अंक का दुगुना करके जोड़े

4 + 0 * 2 = 4 + 1 (हासिल जोड़ दे)

प्राप्त संख्या = 5

अब प्राप्त संख्या ऊपर से नीचे लिखे

4 5 7 * 12 = 5 4 8 4 उत्तर

25

4 से भाजकता -

जैसे – 987364 यदि संख्या के अन्तिम एवं उपान्त्य अंक 4 से विभाजित हैं तो पूर्ण संख्या 4 से विभाजित हो जायेगी।

26

सूत्र - 14

एकन्यून पर्वण - पहले से एक कम के द्वारा

दो गुणन संख्याओं में जब एक संख्या के सभी अंक 9 हो तो एकन्यून पर्वण विधि द्वारा गुणा किया जाता है। जिस संख्या के सभी अंक 9 हो उसे गुणक तथा दूसरी संख्या को गुण्य कहते हैं।

जैसे -

\begin{array}{rcc} 738 & * & 999 \\ \downarrow & & \downarrow \\ \text{गुण्य} & & \text{गुणक} \end{array}

गुणनफल के प्रथम भाग को प्राप्त करने के लिए गुण्य में से एक घटाये

738 - 1 = 737

अब गुणक में 1 जोड़े

999 + 1 = 1000

अब इसमें से गुण्य को घटाये

1000 - 737 = 262

अब प्रथम भाग (737) को लिखे, उसके बाद प्राप्त संख्या (262) को लिखें -

737262 उत्तर

उपसूत्र

अनुरूप्येण - अनुपातों से

इस सूत्र के उपयोग से आनुपातिक गुणन या भाग किया जाता है। जब संख्याएँ सैद्धान्तिक आधार 100 से काफी दूर हो तो क्रियात्मक आधार उपयोग में लाया जाता है।

जैसे –

1. 39 * 49

इन संख्याओं का वास्तविक आधार = 100

कार्यकारी आधार = 50

अतः कार्यकारी आधार से संख्या को घटाये

\begin{array}{l} 50 - 39 = 11 \\ 50 - 49 = 1 \end{array}

विचलनों को गुणा करें –

11 * 1 = 11 (यह गुणनफल का अन्तिम हिस्सा है।)

अब संख्या को आपस में तिरछा घटाये

विचलन का अन्तर -

या तो 39 में से 1 घटाये या फिर 49 में से 11 घटाये –

39 - 1 = 38

कार्यकारी आधार 100 से आधा है, इसलिए 38 का भी आधा कर दे।

38/2 = 19

28

पहला हिस्सा = 19

अन्तिम हिस्सा = 11

अभीष्ट उत्तर = 1911

2. 346 * 307

कार्यकारी आधार = 300

कार्यकारी आधार से संख्या को घटाये

300 - 346 = - 46

300 - 307 = - 7

विचलनों को गुणा करें -

-46 * -7 = 322 (यह गुणनफल का अन्तिम हिस्सा है।)

अब संख्या को आपस में तिरछा घटाये

विचलन का अन्तर -

346 - (-7) = 353

कार्यकारी आधार 100 से 3 गुना अधिक हैं, अतः संख्या में 3 से गुणा करेंगे

353 * 3 = 1059 (प्रथम हिस्सा)

वास्तविक आधार 100 हैं, अतः गुणनफल में अंकों की संख्या 2 से अधिक नहीं होगी। इसलिए अन्तिम हिस्से की एक संख्या, प्रथम हिस्से के नीचे जायेगी।

29

\begin{array}{r} 1\ 0\ 5\ 9 \Rightarrow \text{प्रथम हिस्सा} \\ + \quad 3\ 2\ 2 \Rightarrow \text{अन्तिम हिस्सा} \\ \hline 1\ 0\ 6\ 2\ 2\ 2 \text{ उत्तर} \end{array}

• ❖ इसी तरह आप 4358 * 5234 का गुणनफल निकाल सकते हैं, जिसमें कार्यकारी आधार होगा 5000 व वास्तविक आधार होगा 1000

30

उपसूत्र

यावदूनम् तावदूनीकृत्य वर्गं च योजयेत्

संख्या की आधार से जितनी भी न्यूनता हो उतनी न्यूनता और करके उसी न्यूनता का वर्ग भी रखें।

1. 87^2

निकटतम आधार = 100

आधार में कमी (100 - 87) = 13

अंतिम हिस्सा = 13^2 = 169

169 में 3 अंक हैं, जबकि आधार में 2 शून्य हैं, अतः 1 को प्रथम हिस्से में जोड़ा जायेगा।

अब 87 में से आधार की कमी संख्या घटाये

87 - 13 = 74 \quad (\text{यावदून तावदूनम्})

7 4

+ 169

7 5 6 9	उत्तर

31

2. 10202

निकटतम आधार = 1000

आधार से अधिकता = 20

अंतिम हिस्सा = 202 = 400 (अन्तिम हिस्सा)

अब 1020 में से आधार की अधिक संख्या जोड़े

1020 + 20 = 1040 (प्रथम हिस्सा)

प्रथम हिस्सा / अंतिम हिस्सा

1 0 4 0 / 400

1040400 उत्तर

---

3. 1093

आधार = 100

आधार से अधिकता = 9

घन का प्रथम हिस्सा = आधार से अधिकता का दुगुना करें एवं मूल संख्या में जोड़े

32

= 9 * 2 + 109

= 127 \text{ (प्रथम हिस्सा)}

आरम्भिक अधिकता x आधार से 127 की अधिकता

= 9 * 127

= 243 \text{ (मध्य हिस्सा)}

\text{घन का अंतिम हिस्सा} = 9^3 = 729

127/243/729

आधार में 2 शून्य हैं, अतः एक अंक अगली संख्या के नीचे जायेगा।

127

243

729

\underline{1295029} \text{ उत्तर}

33

4. 92^3

आधार = 100

आधार में कमी = 8

घन का प्रथम हिस्सा = आधार से कमी का दुगुना करें एवं मूल संख्या में से घटाये -

92 - 8 * 2 = 76 (प्रथम हिस्सा)

मध्य हिस्सा = आधार में कमी * घन के प्रथम हिस्से (76) की आधार 100 से कमी

= 8 * 24

= 192 (मध्य हिस्सा)

अन्तिम हिस्सा = - 8 * -8 * -8

= - 512

संख्या ऋणात्मक है, अतः संख्या को समपूरक बनाने के लिए आधार 1000 से घटाना होगा।

1000 - 512 = 488 (अन्तिम हिस्सा)

अभीष्ट संख्याएं

34

76

192

-1

समपूरक के नियमानुसार, समपूरक से पहले वाली संख्या में से 1 की

488

कमी की जाती हैं।

---

778688

---

उत्तर

35

उपसूत्र

अन्ययोर्यशकेऽपि - अन्तिम अंकों का योग 10 वाली संख्याओं के लिए।

इस सूत्र का उपयोग उन संख्याओं के लिए किया जाता है, जिनका पहला खण्ड समान एवं अन्तिम खण्ड का योग 10 हो।

जैसे - अन्तिम अंको (4 व 6) का योग 10 है।

1 3 4 * 1 3 6

पहला खण्ड (13-13) समान हैं।

अतः गुणनफल का अन्तिम भाग = 4 * 6 = 24

(गुणनफल के प्रथम भाग में समान संख्या में 1 जोड़कर गुणा कर देंगे।)

गुणनफल का प्रथम भाग = 13 * 13 + 1 = 182

अभीष्ट गुणनफल = 1 8 2 2 4 उत्तर

36

उपसूत्र

अन्ययोरिव - अन्तिम पद से ही

यह सूत्र उन समीकरणों को सरल करने में प्रयुक्त होता है, जिनके बायें पक्ष में अन्तिम पदों ( स्वतंत्र पदों) को छोड़कर अंश तथा हर का अनुपात वही होता है, जो दायें पक्ष के पूरे अंश तथा हर का होता है। इसे अन्ययोरिव अर्थात् अन्तिम पदों के अनुपात द्वारा आसानी से हल किया जा सकता है।

जैसे -

1. \quad \frac{x^2 + x + 2}{x^2 + 2x + 5} = \frac{x + 1}{x + 2}

\text{सूत्रानुसार - } \frac{x^2 + x}{x^2 + 2x} = \frac{x(x+1)}{x(x+2)} = \frac{x+1}{x+2}

\text{अतः} \quad \frac{x + 1}{x + 2} = \frac{2}{5}

5x + 5 = 2x + 4

5x - 2x = 4 - 5

3x = -1

x = -1/3

उत्तर

सबसे पहले दोनों तरफ की समीकरण को समान बनाया फिर उसे स्वतंत्र पद के बराबर रख दिया। जिससे x का मान निकल गया।

37

(a+2)(a+3)(a+11) = (a+4)(a+5)(a+7)

दोनों तरफ तीन ही a हैं, और दोनों तरफ चर का योग 16 ही हैं। इसलिए हम इस सूत्र का उपयोग कर सकते हैं।

\frac{(a+2)(a+3)}{(a+4)(a+7)} = \frac{a+5}{a+11}

\frac{2 \times 3}{4 \times 7} = \frac{a+5}{a+11} \quad (\text{बायीं तरफ चर पद को छोड़ दे})

\frac{a+5}{a+11} = \frac{6}{28}

28a + 140 = 6a + 66

28a - 6a = 66 - 140

22a = -74

a = \frac{-74}{22} = \frac{-37}{11} \quad \text{उत्तर}

38

उपसूत्र

विलोकनम्- देखकर

1. जैसे : - x + (1/x) = 10/3

उक्त समीकरण में विलोकनम् के अनुसार बायाँ पक्ष दो व्युत्क्रमों (x तथा 1/x) का योग है। साथ ही दायाँ पक्ष भी दो व्युत्क्रमों (3 तथा 1/3) का योग है।

x + \frac{1}{x} = \frac{10}{3}

दाये पक्ष को बाये पक्ष की तरह बना ले।

\text{अतः } \frac{10}{3} = 3 + \frac{1}{3}

x + \frac{1}{x} = 3 + \frac{1}{3} \quad \text{तुलना करने पर}

x = 3 \text{ उत्तर}

39

जैसे - \frac{x+5}{x+6} + \frac{x+6}{x+5} = \frac{82}{9}

\frac{82}{9} = \frac{1 + 81}{9 * 1} = \frac{1}{9} + \frac{9}{1}

दायी तरफ की समीकरण को बायी तरफ की समीकरण की तरह बनाये

फिर तुलना करें।

\frac{x+5}{x+6} = \frac{1}{9} \quad \text{or} \quad \frac{x+6}{x+5} = \frac{9}{1}

9x + 45 = x + 6

या

x+5 = 9x + 54

8x = 6 - 45 = -39

या

8x = 54 - 5 = 49

x = -39/8 \quad \text{उत्तर}

या

x = -49/8 \quad \text{उत्तर}

---

3. जैसे :- 5x - y = 7 और xy = 6

xy = 6 दिया हुआ है।

xy = 6 का मतलब है कि या तो

x = 6, y = 1

या

x = 1, y = 6

या

x = 2, y = 3

या

x = 3, y = 2

40

अब x व y का मान समीकरण में रखे बारी बारी से। जो इस समीकरण (5x-y=7) को सन्तुष्ट कर देगी। वही x व y के मान होंगे।

x = 6, y = 1 रखने पर -

5 * 6 - 1 = 29

29 ≠ 7 (समीकरण सन्तुष्ट नहीं हुई)

अब x = 1, y = 6 रखने पर -

5 * 1 - 6 = -1

-1 ≠ 7 (समीकरण सन्तुष्ट नहीं हुई)

अब x = 2, y = 3 रखने पर -

5 * 2 - 3 = 7

10 - 3 = 7

7 = 7 (समीकरण सन्तुष्ट हो गयी)

अतः x = 2, y = 3 उत्तर

41