बीजगणितम् (भास्कराचार्य द्वितीय - प्राचीन भारतीय समीकरण एवं बीजगणित सूत्र सटीक)

१३८ बीजगणिते १ १ = ३ + ------------- = ३ + -------------------------- १ १ ३ + --------- ३ + ---------- √११ + ३ √११ + ३

१ १ १ = ३ + ------------- = ३ + -------------------------- १ १ ३ + ------- ३ + ---------- ६+√११-३ २ ------- ६ + ---------- १ √११ + ३ इत्यादि। एवमत्र ३, ३, ६, इत्यादि-लब्धिग्रहणेनैकादशमूलस्यासन्नमानानि आ- सन्नमानानयनरीत्याऽऽगच्छेयुः। एवमक्षरविन्यासेन √न + ० √न - अ शे ------ = अ + ---------- = अ + ----------- , १ १ √न + अ यदि शे = न - अ² तथा न इत्यस्य निर

संक्षिप्तविषयाः । १३९ ०, अ, अं, अं', अं", ... ... .. (१) १, शे, शे', शे", शे'", ... ... .. (२) अ, क, कं, कं', कं", ... ... ... (३) कल्प्यन्ते-(१) अस्मिन् क्रमेण राशित्रयमानम् पृथक् अ, अं, अं', तत्सम्बन्धिरा- शित्रय (२) शे', शे", शे"' । (३) क, कं, कं', च राशित्रयम् अत्र क, कं, कं', -त्रयवशादासन्नमूलस्यासन्नमानानि प/ल, पं/लं, पं'/लं', चेति । तदासन्नमानानयनविधिना पं'/लं' = (कं' . पं + प)/(कं' . लं + ल) । अथ कं' -स्थाने यदि सावयवा वास्तवा लब्धि √(न + अं') / शे' इयं गृह्यते तदा (√(न + अं') / शे') . पं + प पं (√(न + अं')) + शे" प √न = --------------------------- = ------------------------- (√(न + अं') /

... हरस्य कृत्या विहीनं गुणं शेषभक्तोऽन्यराशेर्मानम् ।" "मुहुस्त्वेवमन्ते यदा शेषमानं भवेदेकयुक्तं तदा ... ॥ २ ॥"

Wait, who is the author? Page header says: "बीजगणिते" (Bijaganite). Page 140. Is it Sudhakara Dvivedi's Bijaganitam (or Bhaskara's Bijaganita with commentary, or modern Bijaganita by Sudhakara Dvivedi)? Sudhakara Dvivedi wrote "Bijaganitam" (बीजगणितम्) in Sanskrit/Hindi, or Pandit Radhaballabh? Wait, Sudhakara Dvivedi's "Vija Ganita" with his own commentary / Sanskrit text. In Sudhakara Dvivedi's Bijaganita, he often gives his own Upapattis and Karikas! Look at the style of Sanskrit prose: "आसन्नमानान्तिमसूत्रात्..." "अथ (१) अस्मिन् ..., (२) अस्मिन्..." "आसन्नमानानयनयुक्त्या प.लं - पं.ल = ± १ तेन ±शे'' = लं² न - पं² पक्षान्तरानयनेन पं² = लं² न ∓ शे''" "अतो यस्या आसन्नमूलमपेक्षितं सा संख्या चेत् प्रकृतिः कल्प्यते तदा तदासन्नमानाय हर

मेण प्रथमखण्डमानानि प्र., दि., तृ., च., प्रथमसममापमान=वि, द्विती" Wait! Look at line 31: "तथा क्रमेण प्रथमखण्डमानानि प्र., दि., तृ., च., प्रथमसममापमान=वि, द्विती-" Wait, the second word in line 31: "तथा क्रमेण" - 'क्र' has a broken loop, looks like '' or 'क्र'. It's "क्रमेण"! Then: "प्रथमखण्डमानानि प्र., दि., तृ., च., प्रथमसममापमान=वि, द्विती" (or "प्रथमसमापमान = वि, द्वि") Wait, let's read line 31 carefully: "तथा क्रमेण प्रथमखण्डमानानि प्र., दि., तृ., च., प्रथमसममापमान=वि, द्विती-" (with a hyphen or broken off at right: "द्विती-")

Line 32: "यसमपंमान = वि, तदाऽऽल्पाणुमारेण" Wait! "यसमपंमान = वि, तदाऽऽल्पाणुमारेण" -> "यसमापमान = वि, तदाऽऽल्पानुसारेण" (or "यसमापमान = वि₂, तदाऽऽल्पानुसारेण"? No, "वि, तदाऽऽल्पाणुमारेण" or "तदाऽऽल्पानुसारेण").

->तौorयौ? तौmakes so much sense withयदा ... तदा ... कल्पितौ तौ! Or यौ? Wait, let's look at ये: it has au-kara! तौorयौ`.

Now let's revisit L24 and L25 (Verse 1): Let's read verse 1 carefully: Line 1: निरग्रं पदं यद्गुणात् स्यात् फलाढ्यं Wait, look at L23: निरग्र पद यद्गुणात् स्यात् फलाढ्यं -> wait, does it have anusvara? निरग्र पद or निरग्रं पदं? In print, sometimes anusvara is faint or omitted: निरग्र पद यद्गुणात् स्यात् फलाढ्यं Wait, let's look at L24: धनाख्यं तदेवात्र शेषं तदग्रम् । Line 2: धनाख्यं तदेवात्र शेषं तदग्रम् । Line 3 (L25): पदाद्यं धनं शेषहृत्प्रान्त्यमन्त्यं Wait, let's look at the letters of L25: प दा द्यं (पदाद्यं) ध नं (धनं) शे ष हृ त्प्रान् त्य (

संक्षिप्तविषयाः । १४१ गुणाप्तौ विधुक्षेपके कुट्टकेन भवेतां पदे ते समा लब्धयश्चेत् । विधुक्षेपकेऽथाऽन्यथा रूपशुद्धावभिन्ने सकृत् कुट्टकेनैव तूर्णम् ॥ ३ ॥ यथाऽऽचार्योक्तप्रश्ने प्रकृति ६७ अस्या निरग्रमूलं ८ शेषं ३ ततः प्रश्नानुसारेण । कं प शे वल्ली ८ ८ ३ ८ ┐ ५ ५ ६ ५ │ ७ ७ ७ ७ │ १ १ ९ १ │ १ १ २ १ │ ७ ७ ९ ७ ┘ १ २ ७ १ ┐ १ ५ ६ १ │ २ ७ ३ २ │ ५ ८ १ ५ │ १ │ ० ┘ वल्लीतो जाते गुणाप्ती ५९६७ । ४८८४२ लब्धयः समाः समस्यतो जाते कनि- ष्ठज्येष्ठे रूपक्षेपे क ५९६७ ज्ये ४८८४२ एते, एवं मुहुः कुट्टकविधिना समासभा-

१४२ बीजगणिते योगेन समत्वकाः वि१. प्र + प्र१ ( वि — वि, ) == वि१. द्वि + द्वि ( वि — वि२ ) = वि१. तृ + तृ१ ( वि — वि३ ) = वि१. च + च१ ( वि — वि४ ) समशोधनेन वि१ ( द्वि — प्र ) = ( वि — वि२ ) ( प्र१ — द्वि१ ) वि१ ( तृ — द्वि ) = ( वि — वि३ ) ( द्वि१ — तृ१ ) वि१ ( च — तृ ) = ( वि — वि४ ) ( तृ१ — च१ ) यदि द्वि — प्र = स. प१ । तृ — द्वि = स. प२ । च — तृ = स. प३ यत्र द्वि — प्र, तृ — द्वि, च — तृ एषां समापवर्त्तनं = स । तदा वि१. स. प१ = ( वि — वि२ ) ( प्र१ — द्वि१ ) वि१. स. प२ = ( वि — वि३ ) ( द्वि१ — तृ१ ) वि१. स. प३ = ( वि — वि४ ) ( तृ१ — च१ ) [L1

संक्षिप्तविषयाः । १४३ तदा वि₁ ( स + १ ) = वि । अतोऽन्यसमार्घमिष्टं प्रकल्प्य सैकेन समापवर्त्त- नेन गुणमाद्यसमार्घमानं भवेदिति । यथाऽत्रोदाहृतौ, प्र = २०, द्वि = ४०, तृ = ६०, च = ८० द्वि - प्र = २०, तृ - द्वि = २०, च - तृ = २० समापवर्त्तनम् = २०, ततः प₁ = १, प₂ = १, प₃ = १ अथ प्र₁-मानम् = १५ इति कल्पितम् , ततः प्र₁ = १५, द्वि₁ = १५ - १ = १४ तृ₁ = १४ - १ = १३ } अन्यसमार्घमानं रूपं कल्पितं तदाऽऽद्यसमार्घ- च₁ = १३ - १ = १२ } मानं = वि१ = (स + १) = २१ पूर्वधनानि = २० । ४० । ६० । ८० आद्यखण्डानि = १५ । १४ । १३ । १२ अन्यखण्डानि = ५ । २६ । ४७ । ६८

१४४ बीजगणिते = तृ.सं.क - पी ( वि - शे ) = चं.सं.क - लो ( वि - शे ) । यत्र धनानां समापवर्त्तन = स, तथा प्र = प्रे.स, द्वि = द्वि'.स, इत्यादि। अथ यदि स, शे अनयोः समापवर्त्तन = स१, तथा स१. मं = स; अ.स१ = शे तदा प्रे.सं.क - का ( वि / स१ - अ ) = द्वि'.मं.क - नी ( वि / स१ - अ ) = तृ.सं.क - पी ( वि / स१ - अ ) = चं.सं.क - लो ( वि / स१ - अ ) = अपवर्त्तितसमधनानि अथ यदि क = वि / स१ - अ तदा, प्रथमफलानि = वि.प्र / स१ - अ.प्र १ + का = (वि.प्र / म₁) / वि = (वि.मं.प्रे / स₁) / वि = वि.सं.प्र' / वि = मं.प्रे' यदि वि > अ.प्र, एवमेव १ + नी = सं.द्वि' यदि वि > अ.द्वि १ + पी = मं.तृ' यदि वि > अ.तृ १ + लो = सं.चं' यदि वि > अ.च तत उत्थापनेनापवर्त्तितसमधनानि सर्वत्र समानान्येव यथा प्रे.मं.क - का ( वि / स₁ - अ ) = प्रे.मं ( वि / स₁ - अ ) - ( मं.प्रे - १ ) ( वि / स₁ - अ ) = ( वि / स₁ - अ ) ( प्रे.मं - सं.प्रे + १ ) = वि / स₁ - अ अत्र शेषविक्रयेण यथा सर्वेषां शेषधनान्यभिन्नानि, स्युस्तदर्थं क्रयविक्रययोर्माने तथा कल्प्ये यथा शेषविक्रयभक्ते अभिन्ने फले स्तस्तदा विक्रयस्वरूपम् वि / शे = अभिन्नम्। वि > अ.प्र, अ.द्वि, अ.तृ, अ.च, तत प्रथममानम् = वि / स१ - अ = अ.वि / शे - अ = अ ( वि / शे - १ )

' or 'क'? Wait! Look at: क¹५ = क³ X ५ = कⁿ⁺ⁿ⁺ⁿ = क³ⁿ ? Wait, why would it be 'र'? Look at the shape of that letter: It has a top bar, a vertical stem, a left loop... wait, is that 'क' with the right curve missing? No, look at: = र or = क? Wait, if base is क: क¹५ = क³ X ५ = (क५)³ or something? Wait, look at line 27: क¹५ = क³ X ५ = [letter]ⁿ⁺ⁿ⁺ⁿ = [letter]³ⁿ Wait, look at the letter: It is: र with a repha? No, it's: = रⁿ⁺ⁿ⁺ⁿ = र³ⁿ ? Wait, why 'र'? Because राशि = र! Wait, or is it 'क'? Let's look at the letter: It is: vertical stroke, loop on left, and... wait, it's 'क'! But the right hook is very light, or is it 'र'? Wait, in line 25: "क¹५ = क⁵⁺¹⁰ = कⁿ⁺ᵐ" Here the base is clearly 'क'. In line 27: first is 'क¹५' second is '= क³ X ५' third is '= कⁿ⁺ⁿ⁺

ानानामवयवौ ।Bottom line:क, spaces, = क! Wait, if you transcribe line-by-line, how should that be presented? Wait, if you write it as: क³ ˣ ५ = कच ˣ न यदीह च = ३ । अत्र च, न इति पञ्चदशानामवयवौ ।or: ३ X ५ च X न यदीह च = ३ । अत्र च, न इति पञ्चदशानामवयवौ । क = कWait, line-by-line instructions say: "Prefix each line with line marker like , ." If we make it: ३ X ५ च X न यदीह च = ३ । अत्र च, न इति पञ्चदशानामवयवौ । क = क Then the rest of the lines shift by 1. Wait, let's look at whether it's intended to be one logical/formulaic line: In math transcription, is it: $क^{३ \times ५} = क^{च \times न}$ यदीह च = ३ । अत्र च, न इति पञ्चदशानामवयवौ । Wait, if we write:क³ˣ⁵ = कचˣन यदीह च = ३ । अत्र च, न इति पञ्चदशानामवयव

? Let's compare the first letter of line 27 with म: In line 27, look at वर्गमूल: व, रwith repha onग, मwithू(मू),ल. The मinवर्गमूलhas a flat top, left vertical with a loop, bottom horizontal, right vertical. Now look at the first letter of line 27: It has a loop at top-left? No, it looks likeगाorशाorभाorमा. Wait, look at the next letter: It has a vertical stroke and a repha? Wait, could it be: शा खा पु च्छ ा क ा र ो`? No. Wait, let's search Sanskrit mathematics literature for: "वर्गमूल वर्गपद च पाश्चात्यनये तदभावात्पृष्ठसंयोगे घनपदार्थ" Wait! Look at the sentence in line 27: "... वर्गमूल वर्गपद च पाश्चात्यनये तदभावात्पृष्ठसंयोगे घनपदार्थ" Wait, before "वर्गमूल वर्गपद च पाश्चात्यनये": "...पुच्छाकारो वर्गमूल वर्गपद च पाश्चात्यनये" "तदभावात्पृष्ठसंयोगे घनपदार्थ" Wait, "तदभावात्"

}{२}! And then: ∴ ८य - १२ = ११ - य! And then: ∴ ९य = २३or∴ ९य - २३ = १२? ८य + य = ९य, ११ + १२ = २३! Line 28: ∴ ९य = २३ ∴ य = २३/९! WAIT! Line 25 does NOT have that extra stuff to the right, that's just: Wait, what IS on the right of line 25? Let's look at line 25 again! ( ४ ) ९^{२य - ३} = ( √३ )^{११ - य} ,Wait, to the right:२^{३य} = ४^{र}? Why is that there? Wait, look at line 22 again! Line 22 has: ( ३ ) २^{२य - १} = ४^{र - १} अथ २^{२य - १} = २^{२(र - १)}Line 23:∴ २य - १ = २ र - २ . ∴ २य - २र = - १... Wait, in line 23, what is after- १? - १ = - [ ] + र . ∴ र = ३? Wait! In line 24: ∵ य = १` Wait

नवीनप्रक्रमविषयाः । १४९ पुन. २^(३य) = २^(२र) . ∴ ३ य = २ र . ∴ ३ य - २ र = ० ∴ (९ य - २) - (३ - २र) = १० - ० = ६ य = १२ . ∴ य = २, र = ३ ( ५ ) ( √अ )^(य + र) = ( ³√अ )^(र + ल + १) ⎫ ( ³√क )^(य + ल - २) = ( ⁴√क )^(र + ल) ⎬ अत्र य, र, ल एषां ( ⁴√ग )^(२र) = ( ⁶√ग )^(य + र + ल) ⎭ मानानि साध्यन्ते । अ^((य + र)/२) = अ^((र + ल - १)/३) . ∴ (य + र)/२ = (र + ल - १)/३ . ∴ ३ य + ३ र = २ र + २ ल - २ . ∴ ३ य + र - २ ल = - २ । क^((य + ल - २)/३) = क^((र + ल)/४) . ∴ (य + ल - २)/३ =

· १५० बीजगणिते ( ५ ) कोऽसावङ्को यस्य तृतीयसप्तमभागयोर्योगः = २० । उत्तरम् = ४२ । ( ६ ) यदि अ + क = ७, अ . क = १२ तदा अ = ३, क = १२ कथमिति । ( ७ ) ,, य² + र² = ६५, य - र = ३ तदा य = ७, - ४, र = ४, - ७ इति कथम् । ( ८ ) ,, य² + र² = ७४, य . र = ३५ तदा य = ५, ७, - ५, - ७, र = ७, ५, - ७, - ५ इति कथम् । ( ९ ) ,, य³ + र³ = ६३७, य + र = १३ तदा य = ८, ५, र = ५, ८ कथम् ( १० ) ,, य - र = - १८, य × र = १३६३ तदा य = २९, - ४७, र = ४७, - २९ कथम् । ( ११ ) ,, य³ - र³ = २१८, य - र = २ तदा य = ७, - ५, र = ५, - ७ कथम् । ( १२ ) ,, य + र = य², ३ र - य = र² तदा य = ०, २, २ ± √२, र = ०, २, २ ∓ √२ कथम् । सब प्रकार की संस्कृत पुस्तकों के मिलने का एक मात्र पता - कृष्णदास गुप्त, ४०।७, ठठेरी बाजार, बनारस सिटी ।

अशुद्धिशुद्धिपत्रम् । अशुद्धिः शुद्धिः पृ० पं० तस्या कृतित्वात् तस्याकृतित्वात् ४ २१ ऽर्थात् ऽर्थात् ५ २० या २ं रू १ या ४ं रू १ ९ २ पूव- पूर्व- ९ ८ हाराथ हारार्थं ९ ८ या ५. रू १ या ४ं. रू १ १० ३ का ४ का ४ं ११ २० का २ का २ं १२ २ रू १६ रू १६ं १३ १० क ७५ क ७५ं १४ ११ ७२ क ७२ १७ १ अनथा- अनयो- १८ २० राशी राशौ २२ ५ सिमद्धै- सिद्धै- २२ १४ क-६, कें-६
-२१क -२१क { २५ १६ निशेष- निःशेष- २६ २२ तौस्तः तौ स्तः २६ २ हा. ३ ह्वा. ३ २७ ७ पूव- पूर्व- २९ १ वक्षा- वज्रा- २९ १५ ऋर. ऋण ३० १८ राशि राशिः ३१ २७ नानिहारः नानि हारः ३२ १ द्महा द्रुमहा ३२ ४ तपद्यथा तद्यथा ३२ ५

२ अशुद्धिशुद्धिपत्रम् । तश्च्युयु तश्च्यु- ३७ ७ कनिष्ठे कनिष्ठ ३७ २७ फलेन- घनेन- ४१ १२ ह्याना रूप्यानी ४४ २१ म् । या ६ । म् या ६ । ४१ ३ उद्धते उद्धृते ४१ १२ रू३६० रू ३६० ४९ ५ द्याया द्धया ५० १३ शति पर शतितर ५३ १३ द्येने द्येन ५७ ५ भुजकाद्विगुणौ भुजकर्णयुतौ कोटौ च ज्ञातायाम् ५७।५८ २९,१ धर्मेण वर्गेण ५९ ६ गजायां द्वयाया ५९ १२ हारस्य- हरिस्य- ५९ २३ एमान एतानि ७२ १८ गुरेत सुतेन ८१ २७ काण्डः पाण्डः ८८ ४ गामिन नाभिनं ८९ १ विशदतः विशदभूत- ९० १० १. घि-। (शे धि ।) ९५ २५ व्या ध्या ९८ १७ वह्म वह्नि १०१ १३ त्याप्य स्थाप्य १०३ १६ पद्म पद्धत १०४ २० अरात्र भयात्र ११४ १२ ममाप समीप- ११५ १८ रू ४ क ४ १२१ १ सिद्धि- सिद्धि १२३ १० द्वारा त्याग १२४ २१ उपशान उपशमि १२७ १४