बीजगणितम् (भास्कराचार्य द्वितीय - प्राचीन भारतीय समीकरण एवं बीजगणित सूत्र सटीक)

११८ बीजगणिते राशिं तेन समुत्थाप्य कुर्याद्भूयोऽपरां क्रियाम्। सरूपेणान्यवर्णेन कृत्वा पूर्वपदं समम् ॥ १४ ॥ यत्राद्यपक्षमूले गृहीते परपक्षेऽव्यक्तं सरूपमरूपं वा स्यात् तत्रा- न्यवर्णस्य सरूपस्य वर्गेण साम्यं कृत्वा तस्याव्यक्तस्य मानमानीय तेन राशिमुत्थाप्य पुनरन्यां क्रियां कुर्यात् तथा तेनान्यवर्णेन सरूपे- णाद्यपक्षपदसाम्याच्च यदि पुनः क्रिया न भवेत् तदा तु व्यक्तेनैव वर्गादिना समक्रिया। उदाहरणम्। यस्त्रिपञ्चगुणो राशिः पृथक् सैकः कृतिर्भवेत्। वदेति बीजमध्येऽसि मध्यमाहरणे पटुः ॥ १ ॥ अत्र राशिः या १। एष त्रिगुणः सैकः या ३ रू १। अयं वर्ग इति कालकवर्गसमं कृत्वा पक्षयोः रूपं १ प्रक्षिप्य मूलम् का १। अन्यपक्षस्यास्य या ३ रू १। सरूपनीलकव्यस्य वर्गेण नीव ६ नी ६ रू १ साम्यं कृत्वा लब्धयावत्तान्मानेनोत्थापितो जातो राशिः नीव ३ नी २। पुनरयं पञ्चगुणः सैको वर्ग इति नीव १५ नी १० रू १ पीतकवर्गसमं कृत्वा समशोधने कृते पक्षौ { नीव १५ नी १० । इमौ पञ्चदशभिः संगण्य पञ्चविंशतिरूपाणि प्रक्षिप्याद्यपक्षस्य मूलं पीव १ रू १ । नी १५ रू ५। परपक्षस्यास्य पीव १५ रू १०। वर्गप्रकृत्या मूले क ६ या = ई³ / ६ नी³ + ३ ई रूपव. ई / ६ नी² + ३ ई रूपव रूपव / ६ नी अत्रापि यदि ई³ / ६, ३ ई. रूपव / ६ एतद्द्वयमभिन्नं भवेत् तदा कालकमानमवश्यमभिन्नं भवेत्तेन मूलोक्तं गतं च यस्याङ्कस्य घनो हरभक्तः शुध्यतीत्याद्युपपन्नं भवति। अथाचार्योक्तोदाहरणे यद्वर्गः पञ्चभिः क्षुण्ण इत्यस्मिन् यथोक्तवत् कृत्वाऽद्य- पक्षमूलम् या ५, परपक्षे च का ८० रू १५ अस्मिन् कालकमानमभिन्नमतः पञ्चगुणितं कालकमानमप्यभिन्नम् तेन का ५ = नी इति कल्पयितुं शक्यते ऽतः का ८० रू १५ = नी १६ रू १५ इदं भवितुमर्हति तत्र वर्णान्तरविन्यासेन किं, किमप्यव्यक्तं कल्पनीयं लाघवादाचार्येण कालकमेव कल्पितमित्युपपन्नं "हित्वा क्षिप्त्वा च पदं यन्नाद्यस्येदं भवति सत्रापि" इत्यादि।

उत्थापितो जातो राशिः २१ वा ३३७४/३ । Wait, "६४ उत्थापितो" - let's check: In line 20: "अस्य घनेन ६४ उत्थापितो जातो राशिः २१ वा ३३७४/३ ।" Yes, exactly: "६४ उत्थापितो जातो राशिः २१ वा ३३७४/३ ।"

Line 21: उदाहरणम् ।

Line 22: वर्गान्तरं कयोः राश्योः पृथक् त्रित्रिगुणं त्रियुक् ।

Line 23: वर्गौ स्यातां वद क्षिप्रं षट्कपञ्चकयोरिव ॥ ३ ॥

Line 24: क्वचिदादेः क्वचिन्मध्यात् क्वचिदन्त्यात् क्रिया बुधैः ।

Line 25: आरभ्यते यथा लघ्वी निर्वहेच्च यथा तथा ॥

Line 26: अत्रोभयवर्गान्तरम् या १ । एतद्द्विष्ठं त्रिगुतं या ३ रू ३ वर्ग Wait, is it "त्रिगुतं" or "त्रिहतं"? Let's look at the letter between 'त्रि' and 'तं': It has a top bar, a vertical going down, curving right... wait

character: It has a curve on the left, but wait: is it ONE character or TWO? Wait, there is a space before 'म्मानं'? No, look: there is a character, then 'म्मानं' (mmānaṁ). Wait, is the character 'ध'? Could the word be 'अधुना मानं'? Could it be 'तन्मानं'? Could it be 'एवम्मानं'? Wait, let's look at the standard Bījagaṇita text for this verse! The verse is: "को वर्गश्चतुरूनः सन् सप्तभक्तो विशुध्यति । त्रिंशदूनाऽथवा कः स्याद्वदि वेत्सि वद द्रुतम् ॥" Let's trace the prose commentary of this verse in Bhāskara's Bījagaṇita: Problem: x^2 - 4 = 7 k x^2 = 7 k + 4 x = sqrt(7 k + 4) Using the rule "वर्गाद्यौ हरस्तेन गुणितं यदि जायते...": 7 k + 4 is equated to a square. Let 7 k + 4 = (7 n + 2)^2 = 49 n^2 + 28 n + 4. Then 7 k = 49 n^2 + 28 n, so k = 7 n^2 + 4 n. The root is

अनेकवर्णमध्यमाहरणभेदाः । १२१ अथ चाऽन्यवर्णकल्पनायां मन्दावबोधार्थं पूर्वैरुपायः पठितः । तत्र सूत्राणि । हरभक्ता यस्य कृतिः शुध्यति सोऽपि द्विरूपपदगुणितः तेनाहतोऽन्यवर्णो रूपपदेनान्वितः कल्प्यः ॥ १६ ॥ न यदि पदं रूपाणां क्षिपेद्धरं तेषु हारतष्टेषु । यावद्याद्वर्गो भवति न चेदेवमपि खिलं तर्हि ॥ १७ ॥ हित्वा क्षिप्त्वा च पदं यत्राद्यस्येह भवति तत्रापि । आलापित एव हरो रूपाणि तु शोधनादिसिद्धानि ॥ १८ ॥ , हरभक्तेति । यस्याङ्कस्य कृतिर्हरभक्ता सती शुध्यतीति निःशेषा भवति अपि च सोऽप्यङ्को द्वाभ्यां रूपपदेन च गुणितो हरभक्तः सन् शुध्यति तदा तेनाङ्केन हतोऽन्यवर्णस्तेन रूपेणान्वितः कल्प्यः । यदि तु रूपाणां पदं न तदा तेषु हरतष्टेषु रूपेषु तावद्धरं क्षिपेत् यावद्वर्गो भवेत् तन्मूलं रूपपदं भवेत् । एवमपि कृते चेद्वर्गः कदाचिन्न भवेत् तदा तदुदाहरणं खिलं स्यात् । यत्र तु आद्यपक्षस्य मूलं "हित्वा क्षिप्त्वा" (१)इत्यादिना लभ्यते तदा हर आलापित एव ग्राह्यो न तु गुणितो विभक्तो वा । रूपाणि तु समशोधने कृते शोधनादिसिद्धानि यानि तान्येव ग्राह्याणि । एवं घनेऽपि योज्यं तद्यथा यस्याङ्कस्य घनो हरभक्तः शुध्यति तथा च सोऽप्यङ्कस्त्रिभी रूपाणां घनमूलेन च गुणितो हरभक्तः शुध्यति तदा तेनाङ्केन हतोऽन्यवर्णो रूपाणां घनमूलेन चान्वितः कल्प्यः । यदि रूपाणां घनमूलं न लभ्यते तदा तेषु रूपेषु हरतष्टेषु तावद्धरं क्षिपेद्यावद्धनो भवेत् । तच्च घनमूलं रूपपदं स्यात् । एवमपि कृते च घनः कदाचिन्न भवेत् तदुदाहरणं खिलं स्यादित्यग्रेऽपि योज्यमिति शेषः । अथ द्वितीयोदाहरणे राशिः या १ । अस्य यथोक्तं कृत्वाऽऽद्यपक्षस्य मूलम् या १ । परपक्षस्यास्य का ७ रु ३० । "न यदि पदं रूपाणाम्"- इत्यादिकरणेन हारतष्टरूपेषु द्विगुणं(२) हरं प्रक्षिप्य मूलम् ४ । एतद- धिकनीलकसप्तकवर्गसमीकरणादिना प्राग्वज्जातो राशिः नी ७ रु ४ । ( १ ) वि० दा०- "त्यक्त्वा क्षिप्ता नाऽपि-"इत्यादिपूर्वपाठ । ( २ ) वि० दा०-एकगुणं हरं प्रक्षिप्यापि मूलम् ३ । एतदधिकनीलकसप्तक- वर्गसमीकरणादिनाऽपि राशि नी ७ रु ३ । १६

१२२ बीजगणिते अथ यदि ऋणरूपैरन्वितं नीलकसप्तकं नी ७ रू ४ परिकल्प्या- नीयते तदाऽन्योऽपि राशिः ३ स्यात्। उदाहरणम्। षड्भिरूनो घनः कस्य पञ्चमो विशुध्यति। तं वदाशु तथाऽलं चेदभ्यासो घनकुट्टके॥ २॥ अत्र राशिः या १। अस्य यथोक्तं कृत्वाऽद्यपक्षस्य घनमूलम् या १। परपक्षस्यास्य का ५ रू ६ हरभक्तो यस्य घनः शुध्यति सोऽपि त्रि- रूपपदगुणित इत्यादियुक्त्या नीलकपञ्चकस्य रूपषट्काधिकस्य घनेन साम्यं कृत्वा प्राग्वज्जातो राशिः सक्षेपः नी ५ रू ६। उत्थापने कृते जातो राशिः ६ वा ११। उदाहरणम्। यद्वर्गः पञ्चभिः क्षुण्णस्त्रियुक्तः षोडशोद्धृतः। शुद्धिमेति तमाचक्ष्व दक्षोऽसि गणिते यदि॥ ३॥ - अत्र राशिः या १

or two slants. Here there's definitely two slants or one? Let's look: it looks like 'सर्वराशिवधेस्तुल्यो' or 'सर्वराशिवधैस्तुल्यो'. Let's look at the glyph: actually it looks like one slanted stroke on top of ध, making it धे, or maybe two very close together. Wait! Could it be "सर्वराशिवधेस्तुल्यो"? In some manuscripts/editions, errors like वधेस्तुल्यो (for वधैस्तुल्यो) exist. Let's look at the image: there is ONE slant on ध. Wait, no, look at line 23: above ध, there is a stroke, and to its left another faint stroke? No, it's very clear: one slant. Wait, look at 'ते' in 'निगद्यताम्': no, 'ज्ञ'. Let's check line 24: अत्र राशिः या १ । शेषा दृष्टाः ५, ४, २ । अतः प्रथमबीजेन लब्धं यावत्तावन्मानम् ११ । एवं जाता राशयः ११, ५, ४, २ । वा २८, १०, ३, १ । वा ५५, ६, ४, १ । वा ६०, ८, ३, १ । एवं बहुधा ।

Now footnote section: (१) वि० श०—प्रदर्शितपक्षौ ४

$y=17$: $xy = 187$. $x+y = 28$. $x^2+y^2 = 121 + 289 = 410$. Sum = $187 + 28 + 410 = 625$. $\sqrt{625} = 25$. $25 + x + y = 25 + 28 = 53$! Yes! 11 and 17 give 53!

Line 17: एवमेकस्मिन् व्यक्ते राशौ कल्पिते सति बहुनाऽऽयासेनाभिन्नौ

Line 18: राशी ज्ञायेते।

Line 19: अथ तौ यथाऽल्पायासेन भवतस्तथोच्यते। तत्र सूत्रं सार्धवृत्तद्वयम्।

Line 20: भावितं * पक्षतोऽभीष्टात् त्यक्त्वा वर्णौ सरूपकौ।

Line 21: अन्यतो भाविताङ्केन ततः पक्षौ विभज्य च ॥ २ ॥

Line 22: Horizontal separator line.

Line 23: * यदि इ. या + ई का + रु = या. का., यत्र यावत्तावत्प्रकट्यते, व्यभिन्ने स्तः । Wait, let's look at `

भावितम् । १२५ वर्णाङ्काहतिरूपैक्यं भक्त्वेष्टेनेष्टतत्फले । एताभ्यां संयुतावूनौ कर्त्तव्यौ स्वेच्छया च तौ ॥ ३ ॥ वर्णाङ्कौ वर्णयोर्माने ज्ञातव्ये ते विपर्ययात् । समयोः पक्षयोरेकस्माद्भावितमपास्यान्यतो वर्णौ रूपाणि च ततो भाविताङ्केन पक्षावपवर्त्य द्वितीयपक्षे वर्णाङ्कयोर्घातं रूपयुतं केनचिदिष्टेन विभज्य तदिष्टं तत्फलं च द्वे अपि वर्णाङ्काभ्यां स्वेच्छया युक्ते सती वर्णयोर्माने विपर्ययेण ज्ञातव्ये । यत्र कालकाङ्को योजित- स्तद्यावत्तावन्मानं यत्र यावत्तावदङ्कस्तत्कालकमानमित्यर्थः । यत्र तु इयत्तावशादेवं कृते सत्यालापो न घटते तत्रेष्टफलाभ्यां वर्णाङ्कावूनीतौ व्यत्ययान्माने भवतः । अथ प्रथमोदाहरणम् । चतुस्त्रिगुणयो राश्योः संयुतिर्द्वियुता तयोः । राशिघातेन तुल्येति ॥ तत्र यथोक्ते कृते पक्षौ { या ४ का ३ रू २ । वर्णाङ्काहतिरूपैक्यम् { या.का.भा १ १४ एतदेकेनेष्टेन हृतं जाते इष्टफले १, १४ । एते वर्णाङ्काभ्यां ४, ३ स्वेच्छया युते जाते यावत्तावत्कालकमाने ५, १८ वा १७, ५ । द्विकेन ५, ११ वा १०, ६ । अस्योपपत्तिः । सा च द्विधा सर्वत्र स्यादेका क्षेत्रगताऽन्या राशिगतेति । तत्र क्षेत्रगतोच्यते । द्वितीयपक्षः किल भावितसमो वर्तते भावितं स्वायतचतुरस्रक्षेत्रफलं तत्र वर्णौ भुजकोटी । = इ.नी + इ ई + ई. पी + ई. इ + रू समशोधनेन नी.पी = इ. ई + रू ततः पी = (इ. ई + रू) / नी , अत्र नीलकस्य तथाऽभिन्नं मानं कल्प्यं यथा पीतकमा- नमभिन्नं स्यात् । ततो नीलकपीतकमानाभ्यामुत्थापनेन यावत्तावत्कालकमाने भवतः । यदि इ.ई + रू इदं धनात्मकं भवेत् तदा नीलकस्य ऋणमानकल्पने पीतकस्यापि ऋणमानमागच्छेत् तदा या = ई - नी । का = इ - पी । एतेन सर्वं मूलोक्तं पद्यमुपपद्यते ।

१२६ बीजगणिते न्यासः । का (ऊर्ध्वम्), या १ (दक्षे) [चित्रम् १] अत्र क्षेत्रान्तर्यावत्सावच्चतुष्टयं वर्त्तते कालकत्रयं द्वे च रूपे । अतः क्षेत्रा- द्यावत्तावच्चतुष्टये रूपचतुष्टयोनका-* लके स्वाङ्कगुणे चापनीते जातम् (१)। द्वितीयपक्षे च तथा कृते जातम् न्यासः । ४ (ऊर्ध्वम्), या (वामे), ३ (दक्षे), का (अधः) [चित्रम् २] १४ । एतद्भावितक्षेत्रान्तर्वर्त्तिनो- ऽवशिष्टक्षेत्रस्याधस्तनस्य फलं तद्भु- जकोटिवधाज्जातम्। ते चात्र ज्ञातव्ये। अत इष्टो भुजः कल्पितस्तेन फलेऽस्मिन् १४ भक्ते कोटिर्लभ्यते अनयोर्भुजकोट्योरेकतरा यावत्तावदङ्कतुल्यै रूपैः ४ अधिकतरा सती भावितक्षेत्रस्य कोटिर्भवति यतो भावितक्षेत्राद्यावच्चतुष्टयेऽपनीते तत्कोटिश्चतुरूना जाता। एवं कालकतुल्यै रूपैः ३ अधिकतरो भुजो भवति ते एव यावत्तावत्कालकमाने।

• अत्र मूले लेखकप्रमादाद्धेतुदोषे काचित् त्रुटि(१)रस्ति तदर्थं कृष्णदैव- ज्ञकृता नवाङ्कुराख्या बीजगणितटीका विलोक्या । ( १ ) वि० श०-स्पष्टार्थं कल्प्यते यथा भु = या, को = का । एते भावितक्षेत्रस्य भुजकोटी इति । तत भा.क्षे.फ. = या. का । अस्मात् क्षेत्राद्यादि ४ या, ३ (का - ४) एतद्द्वयं विशोध्यते शेषमानम् = या. का - ४या - ३ (का - ४) = (या - ३) (का - ४) । अथ या. का = ४ या + ३ का + २ । अतः शेषमानम् = (४या + ३का + २) - ४या - ३का + १२ = १४ एतद् वर्णाङ्कयोर्घातेन रूपयुतेन वर्ज. वैभं + रू अनेन समानमिति । ( १ ) वि०श०-“रूपचतुष्टयोनकालके स्वाङ्कगुणे” वा “कालके रूपचतुष्टयो- नेऽथ स्वाङ्कगुणे” इह न का चित् त्रुटिरस्ति । वस्तुतो नवाङ्कुराटीकाकारस्य कृष्णदैव- ज्ञस्य यावद्बाहुल्यतोऽन्यत् किमपि न सारमिति विद्भिर्विवेचनीयम् ।

भावितम् । १२७, अथ राशिगतोपपत्तिरुच्यते साऽपि क्षेत्रमूलान्तर्भूता । तत्र याव- त्तावत्कालकभुजकोटिमानात्मकक्षेत्रान्तर्गतस्य लघुक्षेत्रस्य भुजकोटि- माने अन्यवर्णौ कल्पितौ नी १, पी १। अत एतयोरेकतरो(१)यावत्तावद- ङ्कतुल्यैः रूपैरधिको वहिःक्षेत्रकोटेः कालकस्य मानम् । अन्यः कालक- तुल्यैः रूपैरधिको भुजस्य यावत्तावतो मानं कल्पितम् । का=नी १ रू४, या=पी १ रू ३ । आभ्यां पक्षयोर्यावत्तावत्कालकवर्णावुत्थाप्योप- रितनपक्षे नी ३ पी ४ रू २६ । भावितपक्षे च नी. पी. भा १ । नी ३ पी ४ रू १२ । एतयोः- समशोधने कृते जातमधः नी. पी. भा १ । ऊर्ध्वपक्षे रू १४ । इदमेव तदन्तःक्षेत्रफलमेतद्वर्णाङ्कयोर्घातस्य रूपयुतस्य समं स्यादतो वर्णमाने भवतस्तत् प्रागुक्तमेव । इयमेव क्रिया पूर्वाचार्यैः संक्षिप्तपाठेन निबद्धा । ये क्षेत्रगतामुपपत्तिं न बुद्ध्यन्ति तेषामियं राशिगता दर्शनीया । उपपत्त्युतं बीजगणितं गणका जगुः । न चेदेवं विशेषोऽस्ति न पाटीबीजयोर्यतः ॥ अत इयं भावितोपपत्तिर्द्विविधा दर्शिता । यत् तूक्तं वर्णाङ्कयोर्घातो रूपैर्युतो भावितक्षेत्रान्तर्वर्त्तिनोऽन्यक्षेत्रस्य कोणस्थस्य फलमिति तत् क्वचिदन्यथा स्यात् । यथा वर्णाङ्कौ ऋणगतौ भवतस्तदा तस्यै- वान्तर्भावितक्षेत्रं कोणे दृश्यते यदा तु भावितक्षेत्रे भुजकोटिभ्यां वर्णाङ्कावधिकौ धनगतौ भवतस्तदा भावितक्षेत्राद्वहिःकोणस्थं क्षेत्रं स्यात् तद्यथा । न्यासः । [चित्रे- नी, पी, या, का; ३, का, या, नी, पी] यदीदृशं तदेष्टफलाभ्यामूनितौ वर्णाङ्कौ यावत्तावत्कालकयो- र्माने भवतः । ( १ ) वि० श० एकतरो वर्ण इति ।

१२८ बीजगणिते उदाहरणम् । द्विगुणेन कयोः राश्योर्घातेन सदृशं भवेत् । दशेन्द्रहृतराश्यैक्यं व्यूनषष्टिविवर्जितम् ॥ १ ॥ अत्र राशी या १, का १ । अनयोर्यथोक्ते कृते भाविताङ्केन भक्ते जातम् या ५ का ७ रु २६ । अत्र वर्णाङ्काहतिरूपैक्य ६ द्विहतमि- ष्टफले २, ३ । आभ्यां वर्णाङ्कौ युतौ राशी १०, ७ वा ९, ८ । वा ऊनितौ जातौ ४, ३ वा ५, २ । उदाहरणम् । त्रिपञ्चगुणराशिभ्यां युतो राश्योर्वधः कयोः । द्विषष्टिप्रमितो जातो राशिं त्वं वेत्सि चेद्वद ॥ २ ॥ अत्र यथोक्ते कृते जातौ पक्षौ { या ३ का ५ रु ६२ । वर्णाङ्काह- या.का.भा तिरूपैक्यम् ७७ । इष्टतत्फले ७, ११ । आभ्यां वर्णाङ्कौ युतावेव कार्यौ इष्टतत्फलाभ्यामाभ्याम् ७, ११ ऊनितौ चेद्विधीयेते तदा ऋणगतौ भवतोऽत आभ्यां ७, ११ युतौ जातौ राशी ६, ४ वा २, ८ । ऊनि- तौ १२, १४, वा १६, १० । अथ पूर्वचतुर्थोदाहरणम् । यौ राशी किल या च राशिनिहतिर्या राशिवर्गौ तथा तेषामैक्यपदं सराशियुगलमिति । अत्र राशी या १, का १ । अनयोर्घातयुतिवर्गाणा योगः याव १ काव १ या का भा १ या १ का १ । अस्य मूलाभावाद्रा- शिद्वयोनायास्त्रयोविंशते. या १ का १ रु २३ वर्गेणानेन याव १ काव १ या. का. भा २ या ४६ का ४६ रु ५२९, साम्यम् । तत्र समयोगवियोगादी समतैनेति समयवर्गगमे शोधने च कृते भाविताङ्केन हृते जातम्— या ४७ का ४७ रु ५२९ । अत्र वर्णाङ्काहति रूपयुता १६८० । इयं चत्वारिंशतेष्टेन हृता फलम् ४२, इष्टम् ४० । अत्रेष्टफलाभ्यामाभ्यां वर्णाङ्कावूनावेव कार्यो तेन जातौ राशी ७, ५ । युतौ चेत् क्रियेते तर्हि जाता त्रयोविंशतिरिति पूर्वार्लापे न घटते । पूर्वोदाहरणम् । पञ्चाशत् त्रियुताऽथ वेति ।

ग्रन्थसमाप्तिः । १२९ अत्रोदाहरणे यथोक्तकृतभाविताङ्केन विभक्ते जातम् या १०७ का १०७ रू २८०९ । अत्र वर्णाङ्काहतिरूपैक्यम् ८६४० । इष्टफले ९०, ९६ । आभ्यां वर्णाङ्कावूनितौ राशी ११, १७ । एवमन्यत्रापि । क्वचिद्बहुषु साम्येषु भावितोन्मितीरानीय ताभ्यः समीकृतच्छेद- गमाभ्यः साम्ये पूर्वबीजक्रिययैव राशी ज्ञायेते । अत्र राशी इति द्वि- वचनादन्येषां त्र्यादिवर्णानामिष्टानि मानानि कल्प्यानीत्यर्थात् सिद्धम् । इति श्रीभास्कराचार्यविरचिते बीजगणिते भावितं समाप्तम् । आसीन्महेश्वर इति प्रथितः पृथिव्या- माचार्यवर्यपदवीं विदुषां प्रपन्नः । लब्ध्वाऽवबोधकलिकां तत एव चक्रे तज्जेन बीजगणितं लघु भास्करेण ॥ ब्रह्माह्वयश्रीधरपद्मनाभबीजानि यस्मादतिविस्तृतानि । आदाय तत्सारमकारि नूनं सयुक्तियुक्तं लघु शिष्यतुष्ट्यै ॥ अत्रानुष्टुब्सहस्रं हि ससूत्रोद्देशके मितिः । क्वचित् सूत्रार्थविषयं व्याप्तिं दर्शयितुं क्वचित् ॥ क्वचिच्च कल्पनाभेदं क्वचिद्युक्तमुदाहृतम् । न ह्युदाहरणान्तोऽस्ति स्तोकमुक्तमिदं यतः ॥ दुस्तरः स्तोकबृद्धीनां शास्त्रविस्तारवारिधिः । अथवा शास्त्रविस्तृत्या कि कार्यं सुधियामपि ॥ उपदेशलथं शास्त्रं कुरुते धीमतो यतः । तत् तु प्राप्यैव विस्तारं स्वयमेवोपगच्छति ॥ यथोक्तं यन्त्राध्याये । जले तैलं खले गुह्यं पात्रे दानं मनागपि । प्राज्ञे शास्त्रं स्वयं याति विस्तारं वस्तुशक्तितः ॥ १७

ि द्ध्यै->प्रौढिसिद्ध्यै. Wait, in : उल्लसदमलमतीनां त्रैराशिकमात्रमेव पाटी बुद्धिरैव बीजम् । Is itबुद्धिरैव`? Yes, clearly written with two matras on 'र'.

Check :
`सब प्रकार की संस्कृत पुस्तको के मिलने का एकमात्र पताः—`
Everything looks extremely accurate and faithful to the image.१३० बीजगणिते

तथा गोले मयोक्तम् । उल्लसदमलमतीनां त्रैराशिकमात्रमेव पाटी बुद्धिरैव बीजम् । तथा गोलाध्याये मयोक्तम् । अस्ति त्रैराशिकं पाटी बीजं च विमला मतिः । किमतावत् सुबुद्धीनामतो मन्दार्थमुच्यते ॥ गणकभणितिरम्यं बाललीलावगम्यं सकलगणितसारं सोपपत्तिप्रकारम् । इति बहुगुणयुक्तं सर्वदोषैर्विमुक्तं पठ पठ मतिवृद्ध्यै लघ्विदं प्रौढिसिद्ध्यै ॥ इति श्रीभास्कराचार्यविरचिते सिद्धान्तशिरोमण

प्रक्षिप्तविषयाः । १३१ प्रक्षिप्तविषयाः । विशेष — अथ प्रसङ्गाद्ग्रहगणितोपयुक्तत्वादासन्नमानार्थं क्रिया प्रदर्श्यते, १००/६३ = १ + ३७/६३ = १ + १/(६३/३७) = १ + १/(१ + २६/३७) = १ + १/(१ + १/(३७/२६)) = १ + १/(१ + १/(१ + ११/२६)) = १ + १/(१ + १/(१ + १/(२६/११))) = १ + १/(१ + १/(१ + १/(२ + ४/११))) = १ + १/(१ + १/(१ + १/(२ + १/(११/४)))) = १ + १/(१ + १/(१ + १/(२ + १/(२ + ३/४))))

१३२ बीजगणिते = १ + १

१ + १

१ + १

२ + १

२ + १

४

३ = १ + १

१ + १

१ + १

२ + १

२ + १

१ + १

३ १ १ अत्र प्रथमलब्धिग्रहणेन मानम् = --- = --- १ १ १ २ प्रथमलब्धिद्वयग्रहणेन मानम् = १ + --- = --- १ १ १ ३ प्रथमलब्धित्रयग्रहणेन मानम् = १ + --------- = --- १ २ १ + - १ १ ८ प्रथमलब्धिचतुष्टयग्रहणेन मानम् = १ + ------------- = --- १ ५ १ + --------- १ १ + - २ १ १९ प्रथमलब्धिपञ्चकग्रहणेन मानम् = १ + ----------------- = ---- १ १२ १ + ------------- १ १ + --------- १ २ + - २

प्रक्षिप्तविषयाः । १३३ १ प्रथमलब्धिषट्कग्रहणेन मानम् = --------------------------------- = २७/१७ १ + १

१ + १

१ + १

२ + १

२ + १

१

१ १ २ ३ ८ १९ २७ एवमत्र, -, -, -, -, --, --, एतानि १ १ २ ५ १२ १७ १०० वास्तवभिन्नस्य ----- अस्य सन्नमानानि कथ्यन्ते । ६३ १ अत्र - इदं मानं वास्तवभिन्नमानादल्पम् । १ २

• इदं चाधिकं द्वितीयखण्डस्याधिक्यात् । १ ३
• इदं चाल्पं तृतीयखण्डस्याल्पत्वात् । २ एवं पाठ्युक्तभजनरीत्या स्फुटमवगम्यते यद्विषमासन्नमानानि वास्तवभिन्नादल्पानि समानि चाधिकानि भवन्तीति । एवं वर्णविन्यासेन अ १ -- = ग + --------------------------------------- क घ + १

च + १

छ + १

ज + १

त + १

द + १

न + ... पूर्ववल्लब्धिग्रहणेनासन्नमानानि ग ग.घ + १ च (ग.घ + १) + ग -, -------, ---------------, १ घ घ.च + १

१३४ बीजगणिते

   छ { च( ग.घ + १ ) + ग } + ( गघ + १ )

--------------------------------------------------------- , इत्यादि । छ ( च.घ + १ ) + घ

अत्र तृतीयमाने तृतीयलब्धिद्वितीयमानाशवधः प्रथममानाशयुक्तो ऽंशः । तृतीयलब्धिद्वितीयमानहरवध प्रथममानहरयुक्तो हि हर इति दृश्यते, एवं चतुर्थमाना- दिषु च रीतिर्दृश्यते तेनासन्नमानद्वयज्ञानाल्ललब्धिभ्योऽन्यान्यासन्नमानानि सुखेन ज्ञायन्ते ।

अथ पूर्वावगतप्रथमद्वितीययोरासन्नमानयोरन्तरेण यद्विमृश्यते तत्रांशस्थाने रूपमिति दृश्यते । अथ कल्पन्ते श्रीव्यासन्दर्शितान्यासन्नमानानि

अ₁ अ₂ अ₃ । अ₃ ---- , ---- , ---- । ---- एतत्सम्वन्धिनी लब्धिश्च ल, तदा क₁ क₂ क₃ । क₃

          अ₃      ल.अ₂ + अ₁

पूर्वप्रकारेण ---- = -------------- , क₃ ल.क₂ + क₁

अतः

  अ₂     अ₃       अ₂       ल.अ₂ + अ₁
 ---- ~ ----  =  ----  ~  --------------
  क₂     क₃       क₂       ल.क₂ + क₁

     ल.अ₂.क₂ + अ₂.क₁ ~ ल.अ₂.क₂ + अ₁.क₂
  = -------------------------------------------
                 क₂ ( लक₂ + क₁ )

     अ₂.क₁ ~ अ₁.क₂
  = ------------------ , अत्रांशमानम्
     क₂ ( लक₂ + क₁ )

अ₁ अ₂ ---- , ---- अनयोरन्तरांशमानमममत इष्टपृष्ठस्थयोरन्तरे यदंशमान तदग्रिम- क₁ क₂ मंशयोरन्तरे भव यदंशमानं परन्तु प्रथमद्वितीयासन्नमानयोरन्तरे स्वंशम ने रूपममं पूर्वादर्शं तेनायनस्थयोर्द्वयोरासन्नमानयोरन्तरे सर्वदाऽंशमानं रूपं भवतीति सिध्यति ।

अथ पूर्वयुक्तिनः क₁.अ₂ ~ अ₁.क₂ = १ अतः पूर्वयुक्तिन अ₁ क₁ एतौ वा अ₂ क₂ एतौ परस्परं दृढौ भवनोऽन्यथा तदप्यसंज्ञाद्देन रूपमप्यपवस्यं भवेत् तदयुक्तमित्यन आसन्नमानेषु सर्वगु हरोशौ दृढौ भवत इति सिध्यति ।

              अ₁     अ₂     अ₃

कथ्यन्ते, ---- , ---- , ---- आसन्नप्रथानि मानानि तदा पूर्ववत्, क क₁ क₂

संक्षिप्तविषयाः । १३५ अ₃/क₃ = (ल अ₂ + अ₁) / (ल क₂ + क₁), वास्तवभिन्न च ल, स्थाने ल + इ, इत्यस्योत्थापनेन जातम् = ((ल + इ) अ₂ + अ₁) / ((ल + इ) क₂ + क₁), इ = रूपाऽपसंख्या । अतः भिन्न - अ₂/क₂ = (ल.अ₂ + इ अ₂ + अ₁) / (ल.क₂ + इ क₂ + क₁) - अ₂/क₂ = (ल क₂ अ₂ + इ क₂ अ₂ + क₂ अ₁ - ल क₂ अ₂ - इ क₂ अ₂ - क₁ अ₂) / (क₂ (ल क₂ + इ क₂ + क₁)) = (क₂ अ₁ - क₁ अ₂) / (क₂ (ल क₂ + इ.क₂ + क₁)) = १ / (क₂ { क₂ (ल + इ) + क₁ }) एव अ₃/क₃ - भिन्न = (ल अ₂ + अ₁) / (ल क₂ + क₁) - (ल अ₂ + अ₁ + अ₂ इ) / (ल क₂ + क₁ + क₂ इ) = (ल² क₂ अ₂ + ल क₂ अ₁ + ल क₂ अ₂ इ + ल क₁ अ₁ + अ₁ क₁ + अ₁ क₂ इ

• ल² क₂ अ₂ + ल क₂ अ₁ + ल क₂ अ₂ इ + ल अ₂ क₁ + अ₁ क₁ + क₁ अ₂ इ) / (क₃ (ल क₂ + क₁ + क₂ इ)) = इ (अ₁ क₂ - क₁ अ₂) / (क₃ (ल क₂ + क₁ + क₂ इ)) = इ / (क₃ (ल क₂ + क₁ + क₂ इ)) प्रथमान्तरस्यांशमानादस्या परस्यांशमानमल्पं तदीयहरमानादस्य हरमान चाधि- कमत उन्नत आसन्नमानानि सूक्ष्माणि वास्तवभिन्नस्य निकटस्थत्वादिति स्थितिः । अथैषां सिद्धान्तानां सूत्राणि । आसन्नमानस्य हरांशमाने अग्रं विगुण्य गदिते क्रमेण । पृष्ठस्थिताग्रहरांशकाभ्यां तदा हराशी भवतोऽग्रिमस्य ॥ १ ॥ द्व्यग्रप्रमाणयोराग्रप्रबन्धयोरेकतरं भवेत् । अग्रस्थाने राशौ रूपं निन्यमेतच्च धीमता ॥ २ ॥ सर्वोत्त्वासन्नमानेषु हरांशी भवतो रटौ । तयोत्तरोत्तरं सूक्ष्म आसन्नमानानि भवन्ति हि ॥ ३ ॥ इष्यते- अ/क, इदमग्रप्रमाणं वास्तवभिन्नात् सिद्धिमियम्- रा/र -अग्रं विभज्य हर-

१३६ बीजगणिते माने र, क₁ अस्मादल्पम् तदा स/र अस्मात् इदमेव निकटतरे वास्तवभिन्नस्य, यद्येवं न तर्हि अ₁/क₁, अ₂/क₂ अनयोरन्तरात् स/र, अ₂/क₂, अनयोरन्तरमल्पतरम् । यत अ₁/क₁ < स/र < वा.भि. < अ₂/क₂ (अ₂/क₂ = अग्रिममानम्) अतः अ₁/क₁ ∽ अ₂/क₂ = १/(क₁.क₂) < अ₂/क₂ - स/र वा, १/(क₁.क₂) > (अ₂.र - क₂.स)/(क₂.र) वा, १/क₁ > (अ₂.र - क₂.स)/र अथ क₁ > र अत १ > अ₂.र - क₂.स इदमसम्भवं यतः अ₂. र, क₂.स अनयोरभिन्नसंख्ययोरन्तरं रूपान्यमवशिष्यते — कल्प्यते अ₁/क₁, अ₂/क₂ आसन्नस्थमासन्नमानद्वयं तदा (अ₁.अ₂)/(क₁.क₂) इदं वास्तवभिन्नवर्गादधिकम् यदि अ₁/क₁ > अ₂/क₂, अन्यथाऽल्पमिति अतो यदि सावयवलब्धि = ल तदा वास्तवभिन्नम् = (ल.अ₂ + अ₁) / (ल.क₂ + क₁) अत्र अ₁/(वा.भि. क₁) - (वा.भि. क₂)/अ₂ = क₂/(वा.भि. अ₂) ( (अ₁.अ₂)/(क₁.क₂) - वा.भि ) = अ₁(ल.क₂ + क₁) / क₁(ल.अ₂ + अ₁) - क₂(ल.अ₂ + अ₁) / अ₂(ल.क₂ + क₁) अत्र समच्छेदतोऽन्तरेऽंशानाम् = अ₁.अ₂ (ल.क₂ + क₁)² - क₁.क₂ (ल.अ₂ + अ₁)² = अ₁.अ₂.ल².क₂² + २अ₁.अ₂.ल.क₂.क₁ + अ₁.अ₂.क₁²

• क₁.क₂.ल².अ₂² - २अ₁.अ₂.ल.क₂.क₁ - क₁.क₂.अ₁² = ल².अ₂.क₂ (अ₁.क₂ - अ₂.क₁) - अ₁.क₁ (अ₁.क₂ - अ₂.क₁)

संक्षिप्तविषयाः । १३७ = ( ल².अ₂.क₂ - अ₁.क₁ ) ( अ₁.क₂ - अ₂.क₁ ) अत्र ( ल².अ₂.क₂ - अ₁.क₁ ) इदं सर्वदा धनमेव अ₁.क₂ - अ₂.क₁ = क₁.क₂ ( अ₁/क₁ - अ₂/क₂ ) इदं तु यदा अ₁/क₁ > अ₂/क₂ तदा धनमतस्तदा क₂/(वाभि.अ₂) ( अ₁.अ₂/(क₁.क₂) - वाभि² ) इदं वा अ₁.अ₂/(क₁.क₂) - वाभि² इदं धनं भवति तत अ₁.अ₂/(क₁.क₂) > वाभि² इदमुपपन्नं भवति अत सूत्रावतार । आसन्नमानहरतो यावद्भिघ्नस्य हरो भवेत् । अल्प आसन्नमानात् स्यान्न स सूक्ष्मतरस्ततः ॥ १ द्वयोरासन्नयोरासन्नस्थयोराहतिर्भवेत् । कृतेर्वास्तवाभिख्यस्याधिका पृष्ठेऽधिकेऽग्रिमात् ॥ २ ॥ अथ यथाऽऽसन्नमानोक्तविधिनाऽवर्गस्य मूलमानीयते तदाऽपोलिनियक्रियाप्युच्यते— यथा √११ = √(११ + ०) / १ = ३ + (√११ - ३) / १ = ३ + (√११ - ३)(√११ + ३) / (√११ + ३) = ३ + २ / (√११ + ३) = ३ + १ / ((√११ + ३) / २) = ३ + १ / (३ + (√११ + ३ - ६) / २) = ३ + १ / (३ + (√११ - ३) / २) = ३ + १ / (३ + २ / (२(√११ + ३))) १८