बीजगणितम् (भास्कराचार्य द्वितीय - प्राचीन भारतीय समीकरण एवं बीजगणित सूत्र सटीक)

उदाहरणम् । को वर्गोऽष्टहतः सैकः कृतिः स्याद्गणकोच्यताम् । एकादशगुणः को वा वर्गः सैकः कृतिर्भवेत् ॥ १ ॥ प्रथमोदाहरणे न्यासः प्र ८ । क्षे १ । अत्रैकमिष्टं ह्रस्वं प्रकल्प्य जाते मूले सक्षेपे क १ ज्ये ३ क्षे १ । एषां भावनार्थं न्यासः प्र ८ क १ ज्ये ३ क्षे १ । क १ ज्ये ३ क्षे १ । 'वज्राभ्यासौ ज्येष्ठलध्वोरित्या' दिना प्रथम कनिष्ठद्वितीयज्येष्ठमू- लाभ्यासः ३ । द्वितीयकनिष्ठप्रथमज्येष्ठमूलाभ्यासः ३ । अनयोरैक्यं ६ कनिष्ठपदं स्यात् । कनिष्ठयोराहतिः १ प्रकृतिगुणा ८ ज्येष्ठयोरभ्यासेन ९ अनेन युता १७ ज्येष्ठपदं स्यात् । क्षेपयोराहतिः क्षेपकः स्यात् १ । प्राङ्मूलक्षेपाणामेभिः सह भावनार्थं न्यासः— प्र ८ क १ ज्ये ३ क्षे १ । क ६ ज्ये १७ क्षे १ । भावनया लब्धे मूले क ३५ ज्ये ९९ क्षे १ । एवं पदानामानन्त्यम् । द्वितीयोदाहरणे रूपमिष्टं कनिष्ठं प्रकल्प्य तद्वर्गात् प्रकृतिगुणात् ११ रूपद्वयमपास्य मूलं ज्येष्ठम् ३ । अत्र भावनार्थं न्यासः—प्र ११ क १ ज्ये ३ क्षे २॑ । क १ ज्ये ३ क्षे २॑ । प्राग्वल्लब्धे चतुःक्षेपमूले क ६ ज्ये २० क्षे ४ । “इष्टवर्गहृतः क्षेप.” इत्यादिना जाते रूपक्षेपमूले क ३ ज्ये १० क्षे १ । अतस्तुल्य- वा प्र (क/इ)² + क्षे/इ² = (ज्ये/इ)² वा प्र. क́² + क्षे́ = ज्ये́² । यदि क/इ = क́, ज्ये/इ = ज्ये́, क्षे/इ² = क्षे́ । एवं (१) समीकरणं यदि इ² अनेन गुण्यते तदाऽवशिष्टमुपपद्यत एवे- 'तेष्टवर्गहृतः क्षेप इत्याद्युपपद्यते । अथ यदि कनिष्ठं इष्टं कल्प्यते तदा इ² - प्र, क्षेपे ज्येष्ठम् = इ ततः समासभा- वनया (इ - प्र)² क्षेपे कनिष्ठम् = २ इ, तत इष्टवर्गहृतः क्षेप इत्यादिना रूपक्षेपे कनिष्ठम् = २ इ / (इ² - प्र) अत्र उपपत्तिमिष्टवर्गहृतस्यौचित्यं चेन्न वा भवेदित्यादि ।

Here is the line-by-line transcription of the page into Unicode Devanagari:

३६ बीजगणिते भावनया वा कनिष्ठज्येष्ठमूले जाते क ६० ज्ये १९९ क्षे १ । एवमनन्त- मूलानि । अथवा रूपं कनिष्ठं प्रकल्प्य जाते पञ्चक्षेपपदे क १ ज्ये ४ क्षे ५ अतस्तुल्यभावनया मूले क ८ ज्ये २७ क्षे २५ । "इष्टवर्गहृतः" इत्यादिना पञ्चकमिष्टं प्रकल्प्य जाते रूपक्षेपपदे क ८/५ ज्ये २७/५ क्षे १ । अनयोः पूर्वमूलाभ्यां सह भावनार्थं न्यासः— प्र ११ क ८/५ ज्ये २७/५ क्षे १ । क ३ ज्ये १० क्षे १ । भावनया लब्धे मूले क १६१/५ ज्ये ५३४/५ क्षे १ । अथवा ह्रस्वं वज्राभ्यासयोरन्तरमित्यादिना अनयया भावनया जाते मूले क १/५ ज्ये ६/५ क्षे १ । एवमनेकधा "इष्टवर्गप्रकृत्योर्यद्विवरं तेन वा भजेत्" इत्यादि

चक्रवालम् । ३७ कें = इ. क + ज्ये । ज्ये = क. प्र + इ. ज्ये । क्षे' = क्षे ( इ² - प्र ) इष्टवर्गहतः क्षेप इत्यादिना क्षे इष्टं प्रकल्प्य जाताः कनिष्ठज्येष्ठक्षेपाः कें = (इ.क + ज्ये) / क्षे । ज्ये' = (प्र. क + इ.ज्ये) / क्षे । क्षे' = (इ² - प्र) / क्षे, अतोऽत्र चेत् कनिष्ठम- भिन्नमपेक्षितं तदा प्रथमकनिष्ठं तथा केन चिदिष्टेन गुण्यं ज्येष्ठयुक्तं यथा विशुद्ध्येत तदर्थमा- चार्येण कुट्टकः कृतः । अत उपपन्नं ह्रस्वज्येष्ठपदक्षेपानित्यादि। एवमभिन्नं यत् कनिष्ठमुत्प- द्यते तत्र क्षेपश्च (इ² - प्र) / क्षे अयम् । अत्र भाज्यसंख्या यदि विपरीतशोधनेन सिद्धा स्यात् तदा क्षेपहता लब्धिः क्षेपविजातीयाऽतो व्यस्त-प्रकृतितस्तद्युत इति युक्तमुक्तमाचार्यैः। अथ नूतनः क्षेपः = (इ² - प्र) / क्षे अयं सर्वदाऽभिन्न एवागच्छति तेन इ² - प्र इदं क्षे- पेण निःशेषं भवतीत्यस्य कारणज्ञानार्थं कल्प्यते अ, क, संख्ये मिथो दृढे, क, ग अन- योर्घातश्च असंख्यया शुध्यति तदा अ, संख्यया ग, संख्या निःशेषा भवति । अ < क इति कल्पनीयं तथा परस्परभजनाल्लब्धयः ल, ल', ल'', इत्यादयः शे, शे', शे'' इत्यादयः शेषाश्च कल्प्यास्तदा क = अ ल + शे, अ = शे. ल' + शे' शे = शे' ल'' + शे'', प्रत्येकं ग संख्यया सङ्गुण्य असंख्यया यदि विभज्यते तदा (क. ग) / अ = ग. ल + (ग. शे) / अ । ग = (ग. शे) / अ × ल' + (ग. शे') / अ (ग. शे) / अ = (ग. शे') / अ × ल'' + (ग. शे'') / अ , ... ... अथ (क. ग) / अ इयं संख्या ह्यभिन्ना तेन (ग. शे) / अ इयमपि अभिन्ना भवेत् ततः (ग. शे') / अ इयं चाभिन्ना ततः (ग. शे'') / अ इयमप्यभिन्ना सिद्ध्यति । एवं सर्वे शेषा ग-गुणिताः अ-हृताः शुध्यन्तीति सिध्यति । अथ अ, क संख्ये मिथो दृढे तेनान्तिमः शेषो रूपसमस्तद्गुणिता गसंख्या यस्माऽसौ ग. संख्या, अ-हता शुद्धा भवतीति सिद्ध्यति । अथ पूर्वकनिष्ठज्येष्ठवधेन पूर्वक्षेपः = प्र. क² - ज्ये² अतो ज्येष्ठकनिष्ठमहत्समापवर्तनवर्गेण क्षेपोऽपवर्त्य- स्तेनेष्टवर्गहत. क्षेप इत्यादिना लघुक्षेपे सुखेन कनिष्ठज्येष्ठे ज्ञातुं शक्येते, एवं यदा- ऽपवर्त्तनाभावस्तदैव लघुतमक्षेपे तत्कनिष्ठज्येष्ठे गृहीत्वा ततो ह्रस्वज्येष्ठपदक्षेपेभ्यः पर-

३८ बीजगणिते चतुर्द्धार्कयुताद्येयमभिन्ने भवतः पदे । चतुर्द्विक्षेपमूलाभ्यां रूपक्षेपार्थभावना ॥ ४ ॥ उदाहरणम् । का सप्तषष्टिगुणिता कृतिरेकयुक्ता का चैकषष्टिगुणिता च सखे सरूपा । स्यान्मूलदा यदि कृतिप्रकृतिर्नितान्तं त्वच्चेतसि प्रवद तात तता लतायत् ॥ १ ॥ स्वैर्हृतेभ्यः कुट्टकः कर्त्तव्यः । अतोऽत्र ये कनिष्ठज्येष्ठक्षेपास्ते परस्परं दृढा एव । ततोऽभिन्नं नूतनकनिष्ठम् = इ. क + ज्ये ───────────────────── क्षे अस्मादिष्टमानम् = नू.क क्षे - ज्ये ───────────────── । अनेन नूतनज्येष्ठस्य क प्र क + इ.ज्ये ───────────── अस्यांशमाने स्थापने कृते जातमंशमानम् क्ष = ज्ये. नू.क. क्ष

? Look at सृ: it has the loop of 'स' and 'ृ': सृणमिष्टं` (an error for 'ऋणमिष्टं' or 'मृणमिष्टं' -> 'सृण' = स-ऋण = with negative sign! Yes! स-ऋण = ऋण सहित!). "सृणम्" = स + ऋणम् = negative! "रूपद्वय-२ सृणमिष्टं प्रकल्प्य" -> literally "taking an optional number -2 (two units, negative)". That is brilliant Sanskrit: "सृणम्" (स-ऋणम्)!

Let's check line 16: पड्युते vs षड्युते: षड्युते - in Devanagari typesets, ष and प can look similar, but here it's definitely षड्युते (6 added, since क्षेप is 6: 67 * 5^2 + 6 = 67 * 25 + 6 = 1675 + 6 = 1681 = 41^2!). Yes, 6 is षट्, so षड्युते = 6 added!

Let's check line 9: तक्षगाभ्यां or तक्षणाभ्यां? Wait, look at the letter: त क्ष गा or णा? It has

४० बीजगणिते द्वितीयोदाहरणे न्यासः—प्र ६१ क १ ज्ये ८ क्षे ३ । कुट्टकार्थे न्यासः—भा १ हा ३ क्षे ८ । 'ह्रस्वघ्ने धनक्षेपे" इति लब्धिगुणौ ३/१ । इष्टाहतेति द्वाभ्यामुत्थाप्य जातौ लब्धिगुणौ ५/७ । गुणवर्गे ४९ । प्रकृतेः शोधिते १२ व्यस्त इति ऋणम् १२ इदं क्षेपहृतं जातः क्षेपः ४ं । अतः प्राग्वज्जाते चतुःक्षेप- मूले क ५ ज्ये ३९ । इष्टवर्गहृतः क्षेपः स्यादित्युत्पन्नरूपशुद्धिमूलयोर्भावनार्थं न्यासः— क ५/२ ज्ये ३९/२ क्षे १ं । क ५/२ ज्ये ३९/२ क्षे १ं ।

• अतो भावनया जाते रूपक्षेपमूले क १९५/२ ज्ये १५२३/२ । अनयोः पुनः रूपशुद्धिपदाभ्यां भावनार्थं न्यासः क ५/२ ज्ये ३९/२ क्षे १ं । [

चक्रवालम् । ४१ अखिले कृतिमूलाभ्यां द्विधा रूपं विभाजितम् ॥ ५ ॥ द्विधा ह्रस्वपदं ज्येष्ठं ततो रूपविशोधने । पूर्ववद्वा प्रसाध्येते पदे रूपविशोधने ॥ ६ ॥ उदाहरणम्— त्रयोदशगुणो वर्गो निरेकः कः कृतिर्भवेत् । को वाऽष्टगुणितो वर्गो निरेको मूलदो वद ॥ २ ॥ अत्र प्रकृतिर्द्विकत्रिकयोर्वर्गयोर्योगः १३ । अतो द्विकेन रूपं हृतं रूप- शुद्धौ कनिष्ठं पदं १/२ स्यात् । अस्य वर्गात् प्रकृतिगुणादेकोनान्मूलं ज्येष्ठम् ३/२ । अथवा त्रिकेन रूपं हृतं कनिष्ठं १/३ स्यात् । अतो ज्येष्ठम् २/३ । अथवा कनिष्ठम् १ । अस्य वर्गात् प्रकृतिगुणाच्चतुरूनान्मूलं ज्येष्ठम् ३ । क्रमेण न्यासः क १ ज्ये ३ क्षे ४ । इष्टवर्गहृतः क्षेप इत्यादिना जाते रूपशुद्धौ पदे क १/२ ज्ये, ३/२ । अथवा प्रकृतेर्नव व्यस्त

४२ बीजगणिते गुणे पञ्चसप्ततिमिते क्षेपे ५, १५। दशगुणे जाते त्रिशतीक्षेपे १०, ३०। अथेच्छायानीतपदयोः रूपक्षेपपदानयनदर्शने सूत्रं सार्धवृत्तम्। स्वबुद्ध्यैव पदे ज्ञेये बहुक्षेपविशोधने । तयोर्भावनयाऽऽनन्त्यं रूपक्षेपपदोत्थया * ॥ वर्गाच्छिन्ने गुणे ह्रस्वं तत्पदेन विभाजयेत् ॥ ७ ॥ उदाहरणम् । द्वात्रिंशद्गुणितो वर्गः कः सैको मूलदो वद । न्यासः प्र ३२ । अतः प्राग्वत् कनिष्ठज्येष्ठे १, ३ । अथ वा "वर्गाच्छिन्ने गुणे ह्रस्वं तत्पदेन विभाजयेत्' इति प्रकृतिः ३२ । चतुश्छिन्ना लब्धम् ८। अस्यां प्रकृतौ कनिष्ठज्येष्ठे १, ३ । येन वर्गेण ४ प्रकृतिश्छिन्ना तस्य पदेन २ कनिष्ठे भक्ते जाते ते एव पदे क १/२ ज्ये ३ । अथ वर्गरूपायां प्रकृतौ भावनाव्यतिरेकेणानेकपदानयने करण- सूत्रं वृत्तम् । ( १ ) इष्टभक्तो द्विधा क्षेप इष्टोनाढ्यो दलीकृतः । गुणमूलहृतश्चाद्यो ह्रस्वज्येष्ठे क्रमात् पदे ॥ ८ ॥ उदाहरणम् । का कृतिर्नवभिः क्षुण्णा द्विपञ्चाशद्युता कृतिः को वा चतुर्गुणो वर्गस्त्र्यधिकत्रिंशयुतः कृतिः ॥ ४ ॥

• वि०- कल्पते यस्मिन्प्रति क्षेपे प्रकृतौ कनिष्ठं क, ज्येष्ठं ज्ये तदा प्र . क² + क्षे = ज्ये² या, गु² . प्र क² / गु² + क्षे = ज्ये² या, गु² . प्र ( क / गु )² + क्षे = ज्ये² अत्र यदि गु² . प्र इयमन्या प्रकृतिस्तदा तत्सम्बन्धि कनिष्ठं क / गु स्यादित्युपपन्नं वर्गाच्छिन्ने गुणे ह्रस्वमित्यादि । • ( १ ) वर्गान्तरं योगान्तरापगममित्यादिना क्षेपं वर्गान्तरमितं इष्टमन्तरं च प्रक- ल्प्य कर्मणा सूत्रेण इष्टेनेति ।

एकवर्णसमीकरणम् । ४३ अत्र प्रथमोदाहरणे क्षेपः ५२ । द्विकेनेष्टेन हृतो द्विष्टः । इष्टोनाढ्यो दलीकृतो जातः १२, १४ । अनयोराद्यः प्रकृतिमूलेन भक्तो जाते ह्रस्व- ज्येष्ठे ४, १४ । अथ वा क्षेपं ५२ चतुर्भिर्विभज्य एवं जाते ह्रस्व- ज्येष्ठे ३/२, १७/२ । द्वितीयोदाहरणे क्षेपम् ३३ एकेनेष्टेन विभज्यैवं जाते ह्रस्वज्येष्ठे ८, १७ । त्रिभिर्जाते २, ७ । अथ वा प्रकृतिसमक्षेपे उदाहरणम् । त्रयोदशगुणो वर्गस्त्रयोदशविवर्जितः । त्रयोदशयुतो वा स्याद्वर्ग एव निगद्यताम् ॥ ५ ॥ प्रथमोदाहरणे प्रकृतिः १३ । जाते कनिष्ठज्येष्ठे १, ० । अत्रेष्टवर्ग- प्रकृत्योर्यद्विवरम्” इत्यादिना रूपक्षेपमूले ३/२, ११/२ । आभ्यां भावनया त्रयोदशर्णक्षेपमूले ११/२, ३९/२

is under the top bar with 'े'. Before 'दे', there is 'त' or 'स'? Let's look at the letters:

• First glyph: 'ब्ध'
• Second glyph: 'ते' (त with stroke on top)
• Third glyph: 'त'
• Fourth glyph: 'दे' Wait, does that say "ब्धते तदेकस्य"? Or does it say "ब्धं तदेकस्याव्यक्तस्य"? Wait, look closely: Glyph 1: ब्ध Glyph 2: त (with e-matra? Yes, 'ते') Glyph 3: wait, is glyph 3 'त'? Wait, compare glyph 2 and glyph 3 with 'ते' in 'जायते' (later in the same line). In 'जायते': 'जा' 'य' 'ते' । The 'ते' has a loop-less 'त' with 'े'. Now look at the start of L19: Glyph 1: ब्ध Glyph 2: it is 'त' with 'े' = 'ते'. Glyph 3: wait, is that a 'त' or 'प'? Wait, could it be "ब्धं"? Where is 'तदेकस्य'? Wait, let's read the whole line: "ब्धते तदेकस्याव्यक्तस्य मानं व्यक्तं जायते । तेन कल्पितोऽ

एकवर्णसमीकरणम् । ४५ अत्राश्वमौल्यमज्ञातं तस्य मानं यावत्तावदेकं प्रकल्पितम् या १ । तत्र त्रैराशिकं यद्येकस्य यावत्तावन्मूल्यं तदा षण्णां किमिति फल- मिच्छागुणं प्रमाणभक्तं लब्धं षण्णामश्वानां मूल्यम् । या ६ । अत्र रूपशतत्रये प्रक्षिप्ते जातमाद्यस्य धनम् या ६ रु ३००। एवं दशानां मौ- ल्यम् या १०। अत्र रूपशते ऋणंगते प्रक्षिप्ते जातं द्वितीयस्य धनम् या १० रु १००। एतौ समधनाविति पक्षौ स्वत एव समौ जातौ समशोधनार्थे न्यासः—*या ६ रु ३०० । या १० रु १०० । अथ एकाव्यक्तं शोधयेदन्यपक्षादिति आद्यपक्षाद्व्यक्तेऽन्यपक्षा- द्व्यक्ताच्छोधिते शेषम् या ४ । द्वितीयपक्षरूपेषु आद्यपक्षरूपेभ्यः शोधि- तेषु शेषम् रु ४०० । अव्यक्तराशिशेषेण या ४ रूपशेषे रु ४०० उद्धृते लब्धमेकस्य यावत्तावतो मानं व्यक्तम् १००। यद्येकाश्वस्येदं मौल्यं तदा षण्णां किमिति त्रैराशिकेन लब्धं षण्णां मौल्यं ६०० रूपशतत्रय- युतं ९०० जातमाद्यस्य धनम् । एवं द्वितीयस्यापि ९०० । अथ द्वितीयोदाहरणे प्रथमद्वितीययोस्ते एव धने या ६ रु ३०० । या १० रु १०० । अत्राद्यपक्षधनाद्धेन द्वियुकेन तुल्यमन्यस्य धनमुदाहृतमत आ- द्यधनार्धे द्वियुते अथवाऽन्यधने द्विहीने द्विगुणे कृते पक्षौ समौ भवत- स्तथा कृते शोधनार्थे न्यासः—या ३ रु १५२ । } अथवा { या ६ रु ३०० । या १० रु १०० । } { या २० रु २०४ । उभयोरपि शोधनार्थे कृते लब्धं यावत्तावन्मानम् ३६ । अनेन पूर्ववदुत्थापने कृते जाते धने ५१६, २६० । अथ तृतीयोदाहरणे ते एव धने । अत्राद्यधनत्र्यंशः परधनमिति परं त्रिगुणीकृत्य

• वि० टी०—संप्रति ६या + ३०० = १०या - १०० ∴ ४०० = ४या ∴ या = १०० एवं समीकरणानि सर्वत्र भिद्यंते ।

४६ बीजगणिते न्यासः । या ६ रु ३०० । या ३० रु ३००̇ । समक्रियया लब्धं यावत्तावन्मानम् २५ । अनेनोत्थापिते जाते धने ४५०, १५० । उदाहरणम् माणिक्यामलमनीलमौक्तिकमितिः पञ्चाष्टसप्तक्रमा- देकस्यान्यतरस्य सप्त नव षट् तद्रत्नसंख्या सखे । रूपाणां नवतिर्द्विषष्टिरनयोस्तौ तुल्यवित्तौ तथा धीमन् प्रतिरत्नजानि सुमते मूल्यानि शीघ्रं वद ॥ ३ ॥ अत्राव्यक्तानां बहुत्वे कल्पितानि माणिक्यादीनां मूल्यानि या(१) ३, या २, या १ । यदि एकस्य रत्नस्य इदं मूल्यं तदोद्दिष्टानां किमिति लब्धानां यावत्तावतां योगे स्वस्वरूपयुते जातौ पक्षौ या १५, या १६, या ७ रु ९० । या २१, या १८, या ६ रु ६२ । एते अनयोर्धने इति समशोधने कृते लब्धं यावत्तावन्मानम् ४ । अनेनोत्थापितानि माणिक्यादीनां मूल्यानि १२, ८, ४ । एवं समं धनम् २५२ । अथ वा माणिक्यमानं यावत्तावन्नीलमुक्ताफलयोर्मूल्ये व्यक्ते एव कल्पिते ५, ३ । अतः समीकरणेन लब्धं यावत्तावन्मानम् १३ । अनेनोत्थापिते जातं समधनम् २१६। एवं कल्पनावशादनेकधा । उदाहरणम् । एको ब्रवीति मम देहि शतं धनेन त्वत्तो भवामि हि सखे द्विगुणस्ततोऽन्यः । ब्रूते दशार्पयसि चेन्मम षड्गुणोऽहं त्वत्तस्तयोर्वद धने मम किंप्रमाणे ॥ ४ ॥ ( १ ) वि० टी०—"अव्यक्तानां द्व्यादिकानामपीह यावत्तावद्द्व्यादिनिघ्नं हतं वा" इत्यतः ३या, २या, या एव मानं माणिक्यादीनां तदैव भवितुमर्हति यदि मौक्तिकमूल्यान्नीलमूल्यं द्विगुणं माणिक्यमूल्यं त्रिगुणमन्यथैकवर्णसमीकृतिर्विधि- रिति स्पष्टम् ।

)) What if it is: पृ (v) थक् (-) पृ (v) थक् (-) -> wait! In पृथक्पृथक्: हि (4, v) पृ (5, v) थक् (6, -) पृ (7, v) थग् (8, -) Wait! 4, 5, 6, 7, 8: हि (v) पृ (v) थक् (-) पृ (v) थग् (-) This is: v v - v - ! Then syllables 9, 10, 11 must be: v v v! And 12 must be: - ! What is 9, 10, 11, 12? "यदि गणिते": य (9, v) दि (10, v) ग (11, v) णि (12)? No, ते (13)! Wait: य (v) दि (v) ग (v) णि (v)? But 12 must be long (-)! So "यदि गणिते" has णि (short), that wouldn't make 12 long! Wait, what word is in the image? Look at line 14: "मौल्यं ब्रूहि पृथक्पृथग्दीह गणिते कल्याऽसि कल्याणिनि ॥ ५ ॥" Wait, look at "दीह": Is it "दीह" or "

४८ बीजगणिते. उदाहरणम् । पञ्चांशोऽलिकुलात् कदम्बमगमत् त्र्यंशः शिलीन्ध्रं तयो- र्विश्लेषस्त्रिगुणो मृगाक्षि कुटजं डोलायमानोऽपरः । कान्ते केतकमालतीपरिमलप्राप्तैककालप्रिया- दूताहूत इतस्ततो भ्रमति खे भृङ्गोऽलिसंख्यां वद ॥ ६ ॥ अत्रालिकुलप्रमाणं यावत्तावत् १ । अतः कदम्बादिगतालिप्रमाणं यावत्तावत् १४/१५ । एतदृष्टेन भ्रमरेण युतमलिप्रमाणमिति न्यासः—या १४/१५ रू १ । या १ रू ० । एतौ समच्छेदीकृत्य छेदगमे पूर्ववल्लब्धं यावत्तावन्मानम् १५ । एतदलिप्रमाणम् । अथान्यमेकमप्युदाहरणं क्रियालाघवार्थं प्रदर्श्यते । पञ्चकशताद्दत्तधनात् फलस्य वर्गं विशोध्य परिशिष्टम् । दत्तं दशकश

एकवर्णसमीकरणम् । ४९ (१) अथ वा प्रथमप्रमाणफलेन द्वितीयप्रमाणफले विभक्ते यल्ल- भ्यते तद्गुणगुणितेन द्वितीयमूलधनेन तुल्यमेव प्रथममूलधनं स्यात् कथमन्यथा समे काले समं फलं स्यात् । अतो द्वितीयस्यायं गुणः २ । एकगुणं द्वितीयमूलधनमेकोनगुणगुणितं फलवर्गे वर्त्ततेऽत एकोन गुणेन इष्टकल्पितफलान्तरस्य वर्गे भक्ते द्वितीयमूलधनं स्यात् । तत् फलवर्गयुतं प्रथममूलधनं स्यात् । अत्र कल्पितफलवर्गः ४ । अतः प्रथमद्वितीयमूलधने ८, ४ । फलम् २ । यदि शतस्य पञ्च फलान्तरं तदाऽष्टानां किमिति लब्धमेकमासेऽष्टानां फलम् २/५ । यद्यनेनैको मास- स्तदा द्विकेन किमिति लब्धा मासाः ५ । उदाहरणम् । एककशताद्दत्तधनात् फलस्य वर्गं विशोध्य परिशिष्टम् । पञ्चकशतेन दत्तं तुल्यः कालः फलं च तयोः ॥ ८ ॥ अत्र गुणकः ५ । एकोनेगुणेन ४ इष्टफलस्यास्य वर्गे १६ भक्ते जातं द्वितीयधनम् ४ । इदं फलवर्गयुतं जातं प्रथमधनम् २० अतोऽनुपातद्वयेन कालः २० । एवं स्वबुद्ध्यैवेदं सिद्ध्यति

५० बीजगणिते या, अन्योन्यमेकैकं रत्नं दत्त्वा समधना जातास्तेषां मानानि, मा ५ नी १ मु १ घ १ । मा १ नी ७ मु १ घ १ । मा १ नी १ मु ९७ घ १ । मा १ नी १ मु १ घ २ । "समानां (१) समक्षेपे समशुद्धौ समतैव स्यात्" इति एकैकं माणि- क्यादिरत्नं पृथक् पृथगेभ्यो विशोध्य शेषाणि समान्येवं जातानि मा ४, नी ६, मु ९६, घ १ । यद्येकस्य वज्रस्य मूल्यं तदेव माणिक्यचतुष्टयस्य नीलषट्कस्य तदेव मुक्ताफलानां षण्णवतेरत ९६ समधनं प्रकल्प्य पृथगेभिः शेषैर्विभज्य मौल्यानि लभ्यन्ते तथा फलितेनेन ९६ जातानि मौल्यानि माणिक्यादीनाम् २४, १६, १, ९६ । उदाहरणम् । पञ्चकशतेन दत्तं मूलं सफलान्तरं गते वर्षे । [L16

५२ बीजगणिते उदाहरणम् । स्वार्धपञ्चांशनवमैर्युक्ताः के स्युः समाराशयः । अन्यांशद्वयहीनाश्च षष्टिशेषांश्च तान् वद ॥ १४ ॥ अत्र समराशिमानं यावत्तावत् १ । अतो विलोमविधिना "अथ स्वांशाधिकोन" इत्यादिना राशयः या २/३, या ५/६, या ९/१० । इहा- न्यान्भागद्वयेनोनाः सर्वेऽप्येवं शेषाः स्युः या २/५ । एतत् षष्टिसमं कृत्वाऽऽपन्नायावत्तावन्मानेन १५० उत्थापिता जाता राशयः १००, १२५, १३५ । उदाहरणम् । त्रयोदश तथा पञ्च करण्यो भुजयोर्मिती । भूरज्ञाता च चत्वारः फले भूमिं वदाशु मे ॥ १५ ॥ (१) अथ भूमेर्यावत्तावत्कल्पने क्रिया प्रसरतीति स्वेच्छया इय- ती क १३ भूमिः कल्प्यते फलविशेषाभावात् । अतोऽद्य कल्पित

एकवर्णसमीकरणम् । ५३ यावव १ याव ३६ रु ६४ —————————————— अयं भूम्यर्धवर्गगुणो जातः फलवर्गः याव ४ यावव १ याव ३६ रु ६४ —————————————— अयं फलवर्गसम १६ इति पक्षौ समच्छेदीकृत्य छेदवर्गं च विधाय न्यासः यावव १ याव ३६ रु ६४ यावव . याव . रु २५६ समशोधनेन यावव १ याव. ३६ रु ० यावव ० याव ० रु ३२० पक्षयोः ३२४ संयोज्य मूले गृहीत्वा न्यासः--- याव १ रु १८ ⎫ “अव्यक्तमूलंगुणहृत्पत” इत्यादिना याव . रु २ ⎭ लब्धं यावद्वर्गमानं द्विविधम् = रु १६ वा रु २० । ततो यावत्तावन्मानम् रु ४, वा क २० । एवमत्रान्यप्रकल्पने क्रिया प्रसरति । बहिर्लम्बक्रियायाऽऽचार्योक्तविधिनाऽपि भुवो मानमन्यद्विंशति करणीसममायाति मूले तु सुराद्यमाचार्येणान्तर्लम्ब(५)क्रियया भुवो मानं साधितमिति । ( ५ ) वि० सं०-लम्बमानेऽव्यक्ते कल्पिते फं = (लं X भू) / २ ∴ २ फ = लं X भू = या X भू. ∴ २फ/या = भू = ८/या । त्रिभुजे भुजवर्गान्तरमवाधावर्गान्तरसममत भु. व. अं = ८ । ८/या अनया भुवाऽऽबाधायोगमितया हृतं जातमवाधान्तरम् = या ॥ ∴ लध्वाबाधा = ल. आ. = (८ - या²) / २या , बृ. आ. = (८ + या²) / २या । ∴ ल. आ.² = (६४ - २ X ८ या² + या⁴) / ४ या² लघुभुजवर्गात् ५रुस्माच्छोधित आबाधावर्गो लम्बवर्गः = (२० या² - ६४ + २ X ८ या² - या⁴) / ४ या² = या² = ∴ ५या⁴ - ३६या² = - ६४। ∴ या⁴ - (३६/५)या² = - ६४/५ ∴ या⁴ - २ X (३६/१०)या² + (१८/५)² = (१८/५)² - ६४/५ = ४/२५

५४ बीजगणिते- न्यासः । स्वाबाधावर्गं स्वभुजवर्गादपास्य जातो लम्बवर्गः=यावं १ं रु १५ क २००ं द्वितीयाबाधावर्गः=याव १ या क ७२ं या २ रु १९ क ७२ं । स्वभुजवर्गात् रु ६ अपास्य जातो द्वितीयो लम्बवर्गः = याव १ं या २ं याक ७२ रु १३ं क ७२ । एतौ (१) समाविति समशोधने कृते जातौ पक्षौ रु २८ं क ५१२ । (२) या २ याक ७२ं । अत्र (३) भाजकस्याव्यक्तशेषस्य याकारस्य प्रयोजनाभावादपगमे कृते भाज्यभाजकौ जातौ "अत्र धनर्णताव्यत्ययमोप्सितायाश्छेदे क- रण्या असकृद्विधाय" इति द्विसप्ततिमितकरण्या धनत्वं प्रकल्प्य क ४ क ७२ । अनया भाज्ये गुणिते जातम् क ३६८६४ क ३१३६ क ५६४४८ क २०४८ । एतास्ते तयोः क ३६८६४ क ३१३६ । मूलं १९२ । ५६ । अनयो- र्योगः रु १३६ । ∴ या = २, √(१६)/५ ∴ भू = ४, √२० अतोऽपि क्रिया प्रसरितेति । ( १ ) वि० श० - लम्बवर्गौ । ( २ ) वि० श०- या २ या० क ७२ं = या ( रु २. क ७२ं ) ( ३ ) वि. श.-अत्राव्यक्तशेषमिदम् = रु २ एवंच अनेन रूपशेषेऽस्मिन् रु २८ं क ५१२ भक्ते जातं या-मानम् या = (रु २८ं क ५१२) / (रु २ क ७२ं) अत्र "भाजकस्याव्यक्तशेषस्य याकारस्य प्रयोजनाभावादपगमे कृते जातौ भाज्यभाजकौ" इत्यन्तं गद्यमरोचकम् । "धनर्णता" इत्यादिमूलोक्तमुचितम् ।

एकवर्णसमीकरणम् । शेषकरण्योरनयोः क ५६४४८, क २०४८ अन्तरं(क) योग इति जातो योगः क ३६१९२। भाजके च क ४६२४ । अनया भाज्ये हृते लब्धं यावत्तावन्मानम् रू २ क ८ । इयमेव लघ्वाबाधा, एतदूना भूरन्याऽबाधा रू १ क २। यावत्ताव- न्मानेन लम्बवर्गानुत्थाप्य स्वाबाधावर्गं स्वभुजवर्गादपास्य वा जातो लम्बवर्ग. रू ३ क ८ । एतस्य मूलसममेव लम्बमानम् रू १ क २ । उदाहरणम् । असमानसमच्छेदान् राशींस्तांश्चतुरो वद । यदैक्यं यद्धनैक्यं वा येषां वर्गैक्यसंमितम् ॥ १७ ॥ अत्र राशयः या १, या २, या ३, या ४ । एषां योग. या १० । वर्गयोगेनानेन याव ३० सम इति पक्षौ यावत्तावताऽपवर्त्य न्यास. । या ३० रू ० । या ० रू १० । समशोधनादिना प्राग्वल्लब्धयावत्तावन्मानेनोत्थापिता राशय १/३, २/३, ३/३ (१), ४/३ । अथ द्वितीयोदाहरणे राशय. या १, या २, या ३, या ४ । एषां घनैक्यम् याघ १०० । एतद्वर्गैक्यमानेन याव ३० सममिति पक्षौ यावद्घ- र्गेणापवर्त्य प्राग्वल्लब्धयावत्तावन्मानेनोत्थापिता जाता राशय. ३/१०, ६/१०, (१) ९/१०, १२/१०, (१) । (क) वि० श०—अत्र “योग करण्योर्महताम्” इत्यादिना द्वयोर्योग = ५८४९६ महती । द्वयोर्घात = ११५६०५५०४, अतो मूलम् = १०७५२ द्विगुणम् = २१५०४ लघु च प्रकॢप्य जातमन्तरम् क ३६१९२ । वा “लब्ध्या हताया” इत्यादिना ५६४४८ / २०४८ हरभाज्याविह गनाडुभिरपवर्तितौ । अत ५६४४८ / २०४८ = ४४१ / १६ अत पदम् = २१ / ४, निरेकम् = १७ / ४ स्वहृतम् = २८९ / १६ । लघुघ्नम् = २८९ × २०४८ / १६ = २८९ × क १२८ = ३६१९२ । (१) वि० श०—एषु नापवर्तनमन्यथोदाहरणीयराशित्वसिद्धिरिति ।