बीजगणितम् (भास्कराचार्य द्वितीय - प्राचीन भारतीय समीकरण एवं बीजगणित सूत्र सटीक)

करणीषड्विधम् २१ करणीषट्के तिसृणां दशसु चतुसृणां तिथिषु च पञ्चानाम् । रूपकृतेः प्रोह्य पदं ग्राह्यं चेदन्यथा न सत् क्वापि ॥ २१ ॥ = ३ + (√५ × ३ × ४ + √६ × ३ × ४

• √७ × ३ × ४ + √८ × ३ × ४
• (√५ + √६ + √७ + √८)२ तथा (√५ + √६ + √७ + √८)२ = ५ + √६ × ५ × ४ + √७ × ५ × ४
• √८ × ५ × ४) + (√६ + √७ + √८)२ तथा (√६ + √७ + √८)२ = ६ + (√७ × ६ × ४ + √८ × ६ × ४)
• (√७ + √८)२ एवं (√७ + √८)२ = ७ + √८ × ७ × ४
• ८ ततः पूर्ववर्गे (२ + ३ + ५ + ६ + ७ + ८)
• (√३ × २ × ४ + √५ × २ × ४ + √६ × २ × ४
• √७ × २ × ४ + √८ × २ × ४
• (√५ × ३ × ४ + √६ × ३ × ४ + √७ × ३ × ४
• √८ × ३ × ४
• (√६ × ५ × ४ + √७ × ५ × ४ + √८ × ५ × ४)
• (√७ × ६ × ४ + √८ × ६ × ४)
• √८ × ७ × ४ अत्र प्रथमषड्द्वयस्थकरणीतुल्यानां रूपाणां यदि योगः क्रियत तदा योग = ४ × २ (३ + ५ + ६ + ७ + ८) = २ . (३ + ५ + ६ + ७ + ८) अनयोर्वधश्चतुर्गुण । रूपाणि = २ + (३ + ५ + ६ + ७ + ८) तयासमम् । अत्र “धनुर्गुणस्य च नरस्य युतिवर्गस्य चान्तरम्” इत्यादिना प्रथमम् २, (३ × ५ × ६ × ७ + ८) अनयोर्मन तत (३ + ५ × ६ + ७ + ८) एतद्द्वयवान् मूलंन्य षट्द्वयस्थकरणासु शङ्कयुतेन ३, (५ + ६ + ७

३२ बीजगणिते उत्तरस्यानयान्त्यं वा मूलकरण्‌याऽन्यया चतुर्गुणया । यासामपवर्त्तः स्याद्रूपकृतेस्ता विशोध्याः स्युः ॥ २२ ॥ अपवर्त्तादपि लब्धा मूलकरण्यो भवन्ति ताश्चापि । शेषविधिना न यदि ता भवन्ति मूलं तदा तदसत् ॥ २३ ॥ करणीवर्गराशौ रूपैरवश्यं भवितव्यम् । एककरण्या वर्गे रूपाण्येव, द्वयोः सरूपैका करणी, तिसृणां तिस्रः, चतुसृणां षट् । पञ्चानां दश षण्णां पञ्चदश इत्यादि । अतो द्वयादीनां करणीनां वर्गेषु एकादिसंकलितमितानि करणी- नां खण्डानि रूपाणि च यथाक्रमं स्युः । अथ यदि उदाहरणे तावन्ति न भवन्ति तदाऽसौ योगकरणी विशोध्या वा भवतीति कृत्वा मूलं ग्राह्यमित्यर्थः । वर्गे करणीत्रितये करणीद्वितयस्य तुल्यरूपाणीति स्पष्टार्थम् । उदाहरणम् वर्गे यत्र करण्यो द्वित्रैः सप्ताङ्गजैर्मिताः पृथक् । रूपैर्दशभिरुपेताः किं मूलं ब्रूहि तस्य स्यात् ॥ १ ॥

• ८ ) अनयोरनेनेवमग्रेऽपि बोध्यम् । अतो मूले यावन्ति करणीखण्डान्यागच्छन्ति निरुक्तसमानां करणीखण्डानां योगो रूपकृतेरपास्यः । _ मूले कियन्ति करणीखण्डानि स्युरेतज्ज्ञानमतो द्वयादीनां करणीनां वर्गे, एकादिसं- कलितमितानि करणीनां खण्डानि इत्याद्याचार्येणोक्त्या । अतो यदा वर्गे करणीत्रितयं तदा द्वयस्य सङ्कलितं त्रयमतो मूले त्रीणि करणीखण्डान्यागच्छेयुरतः करणीद्वित- यस्य तुल्यरूपाणि स्वरूपकृतेः शोध्यानि । एवं त्रयस्य सङ्कलितं = ६, चतुर्णां = १०, पञ्चानां = १५, अत आचार्योक्ताः शोधननियमाः शोभनाः । वर्गे यावन्ति करणीख- ण्डानि स्युर्यत्सङ्कलिते तत्करणीखण्डसमं भवेत् तन्मितानां करणीखण्डानां रूपाणां योग- म एव रूपकृतेर्विशोध्यो भवतीति पूर्वोक्त्या फलितमिति । अथ यावन्ति करणीखण्ड- ानि प्रथमं रूपकृतेः शुद्धानि तत्र प्रत्येकं मूलस्थस्य प्रथमकरणखण्डस्यान्यतमरा- शेन चतुर्गुणेन तासां करणीनामपवर्त्ते लब्धसमा मूले शेषकरण्यश्च भवन्तीति । रूप- कृतेरल्पपूर्वाणां करणीखण्डरूपाणां योगो यदि शोध्यस्तदा मूले चाल्पपूर्वा करण्य एवाय- च्छेयुरतो मूलेऽथ बह्वीकरणी तयोर्यादिकाख्य न कुत्रापि व्यभिचार इति कृपादिवशोक्तं युक्तियुक्तमेव यतोऽल्पपूर्वाणां करणीखण्डरूपाणां योगेऽल्पतमत्वादस्मिन् रूपकृतेर्विशोधिते शेषं महत्तमं तन्मूलं च महत्तमं तस्मिन् रूपेभ्यो विशोधिते शेषमल्प- तमं स्यादेतं नान्यतममतोऽल्पपूर्वा एव करण्यो मूले समागच्छन्ति ।

करणीषड्विधम् २३ न्यासः । रू १० क ३२ क २४ क ८ । अत्र वर्गे करणीत्रितये करणीद्वितस्यैव तुल्यानि रूपाणि प्रथमं रूपङ्क्तेरपास्य मूलं ग्राह्यं पुनरेकस्या एवं क्रियमाणेऽत्र पदं नास्ती- त्यतोऽस्य करणीगतमूलाभावः । अथानियमेन सर्वकरणीतुल्यानि रूपाण्यपास्य मूलमानीयते तदिदम् क २ क ८ समागच्छति इदम- सद्यतोऽस्य वर्गोऽयम् रू १८ । अथ वा दन्तगजमितयोर्योगं कृत्वा रू १० क ७२ क २४ । आनी- यते तर्हिदमप्यसत् रू २ क ६ । उदाहरणम् । (१) वर्गे यत्र करण्यस्तिथिविश्वहुताशनैश्चतुर्गुणितैः । तुल्या दशरूपाढ्याः किं मूलं ब्रूहि तस्य स्यात् ॥ २ ॥ न्यासः । रू १० क ६० क ५२ क १२ । अत्र किल वर्गे करणीत्रयमस्तीति तत्करणीद्वयस्य द्विपञ्चाशद्द्वा- दशमितस्य क५२क१२ तुल्यरूपण्यपास्य ये मूलकरण्यावुत्पद्येते क८ क २ । तयोरल्पयाऽनया २ चतुर्गुण्या ८ द्विपञ्चाशद्द्वादशमितयो- रपवर्त्तो न स्यादतस्ते न शोध्ये यत उक्तमुत्सृज्यमानयैवमित्यादि । अत्राऽल्पयेत्युपलक्षणं तेन क्वचिन्महत्याऽपि तदा मूलकरणी रूपाणि प्रकल्प्याभ्ये करणीखण्डे साध्ये सा महती प्रकल्प्येत्यर्थः । तथा कृते मूलम् क २ क ३ क ५ । इदमप्यसद्यतोऽस्य वर्गोऽयम् रू १० क २४ क ४० क ६० । उदाहरणम् । (२) अष्टौ षट्पञ्चाशत् षष्टिः करणीत्रयं कृतौ यत्र । रूपैर्दशभिरुपेतं किं मूलं ब्रूहि तस्य स्यात् ॥ ३ ॥ न्यासः । रू १० क ८ क ५६ क ६० । अत्राद्यखण्डद्वये क ८ क ५६ । शोधिते उत्पन्नयाऽल्पया चतुर्गु- णया ८ तयोः खण्डयोरपवर्त्तनलब्धे खण्डे १ । ७ परं शेषविधिना मूलकरण्यौ नोत्पद्येते अतस्ते खण्डे न शोध्ये अन्यथा तु शोधने कृते मूल मानानीयतस्तदसत् । (१) वि० पु०—अथोत्सृज्यमानयैवमित्येतद्रूपदीपनम् । (२) वि० पु०—अथ नागागाभं स्यादेतत्प्रत्युदाहरणम् ।

२४ बीजगणिते उदाहरणम्। (१) चतुर्गुणाः सूर्यतिथीषुरुद्रनागर्तवो यत्र कृतौ करण्यः। सविंशरूपा यद् तत्पदं मे वद्यस्ति बीजे पटुताभिमानः ॥ ४॥ न्यासः। रु १३ क ४८ क ६० क २० क ४४ क ३२ क २४। अत्र करणीषट्के तिसृणां करणीनां तुल्यानि रूपाणि प्रथमं रूप- कृतेरपास्य मूलं ग्राह्यं पश्चाद्द्वयोस्तत एकस्या एवं कृतेऽत्र मूलाभावः। अथान्यथा तु प्रथममाद्यकरण्योस्तुल्यानि रूपाण्यपास्य पश्चाद्वितीय- तृतीययोस्ततः शेषाणां द्वपहते विशोध्यानीति तन्मूलम् क १ क २ क ५ क ५। तदिदमप्यसत् यतोऽस्य वर्गोंऽयम् रु १३ क ८ क ८० क १६०। यैरस्य मूलानयनस्य नियमो न कृतस्तेषामिदं दूषणम्। एवंविधवर्गे कर- णीनामासन्नमूलकरणेन मूलान्यानीय रूपेषु प्रक्षिप्य मूले वाच्यम्। अथ महती रूपाणीत्युपलक्षणम्। यतः क्वचिदल्पाऽपि। तत्रोदाहरणम्। चत्वारिंशदशीतिद्विशतीतुंल्याः करण्यश्चेत्। सप्तदशरूपयुक्तास्तत्र कृतौ किं पदं ब्रूहि ॥ ५ ॥ न्यासः। रु १७ क ४० क ८० क २००। शोधिते जाते खण्डे क १० क ७। पुनल्लँघ्वीं करणीं रूपाणि कृत्वा लब्धे करण्यौ क ५ क २। एवं मूलकरणीनां न्यासः क १० क ५ क २। इति करणीषड्विधम्। इति षड्विंशत्परिकर्माणि। अथ कुट्टकः। (२) भाज्यो हारः क्षेपकश्चापवर्त्यः केनाप्यादौ संभवे कुट्टकार्थम्। येनच्छिन्नौ भाज्यहारौ न तेन क्षेपश्चेत्तद्दुष्टमुद्दिष्टमेव ॥ १ ॥ (१) वि० दृ०— यदि चेदन्यथा कश्चिन्नियममभिसमीक्ष्य मूलं दत्ते तदप्यसत्, इत्येतदर्थमुदाहरणम्। (२) मङ्गलमापकश्लोकानां रेखागणितस्य सप्तमाध्यायस्य प्रथमेनेन वा मदीयं विस्तीर्णोपपत्तिसहितयुक्त्या स्फुटा। इह संक्षेपार्थं नूतनहेतुनैव विलिख्यते, तत्र, कुट्टकप्रश्नानुसारेण, ४७ = (१०० या + क्षे) / ९१ या = गुणः } या = लब्धि }

कुट्टकः । परस्परं भाजितयोर्ययोर्यः शे(१)षस्तयोः स्यादपवर्तनं सः । तेनापवर्तेन विभाजितौ यौ तौ भाज्यहारौ दृढसंज्ञितौ स्तः ॥ २ ॥ मिथो भजेत् तौ दृढभाज्यहारौ यावद्विभाज्ये भवतीह रूपम् । फलान्यधोधस्तदधो निवेश्यः क्षेपस्तथाऽन्ते खमुपान्तिमेन ॥ ३ ॥ स्वोर्ध्वं हतेऽन्त्येन युते तदन्त्यं त्यज्येन्मुहुः स्यादिति राशियुग्मम् । ऊर्ध्वो विभाज्येन दृढेन (२)तष्टः फलं गुणः स्यादधरो हरेण ॥ ४ ॥ तद्यथा या = १०० या + क्षे / ६३ = या + ३७ या + क्षे / ६३ = या + नी यदि नी = ३७ या + क्षे / ६३ तदा, या = ६३ नी - क्षे / ३७ = नी + पी यदि पी = ११ पी + क्षे / २६ तदा पी = २६ लो - क्षे / ११ = २ लो + ह यदि ह = ४ लो - क्षे / ११ तदा, लो = ११ ह + क्षे / ४ = २ ह + खे यदि खे = ३ ह + क्षे / ४ तदा ह = ४ खे - क्षे / ३ = खे + चि यदि चि = खे - क्षे / ३ तदा खे = ३ चि + क्षे / १ = क्षे यदि चि = ० अत्र यावत्तावत्कालकनीलगुणरूपेण जाता वल्ली, ततोऽन्यदुत्थापनेन, 'स्वोर्ध्वं हतेऽन्त्येन युते तदन्त्य'मित्याद्युपपन्नं भवति, 'पूर्वलेखितसमीकरणेन स्फुटं दृश्यते यद्य- दा समा वल्ली तदा धनक्षेपेऽन्यथा ऋणक्षेपे गुणलब्धी यावत्तावद्राश्यात्मके भवत इति । (१) वि० श०—शेषो निःशेषशरतोऽङ्कः स तयोरपवर्त्तनं महत्समावर्त्तनमिति । एवमव्यक्तेऽपि कल्प्येते राशी क - ६ क + ८ । ४ क³ - २१ क² + १५ क + २० अत्र “माञ्जाच्छेदः” इत्यादिना क² - ६ क + ८ ) ४ क³ - २१ क + १५ क + २० ( ४ क + ३ । अत्र शेषः क - ४ ) क² - ६ क + ८ (क - २ अतोऽत्र शेषाभावा- न्निःशेषशरकम् क - ४ इदमत्र तयोः कल्पितयोर्महत्समापवर्त्तनमित्यस्य प्रायः पाश्चात्त्य- गणिते बहुधा प्रदर्शितः । (२) वि० श०—भागहरणे यत्र शेषस्यैव प्रयोजनं तत्र तष्ट इत्यत्र तष्ट इति । दृढेने लब्धेशतक्षणं भाज्यराशिगुणस्य तक्षणं हर इति । ४

ुद्घे गुणाप्ती स्तो वियोगजे । धनभाज्योद्भवे तद्वद्भवेतामृणभाज्यजे ॥ ७ ॥ गुणलब्ध्योः समं ग्राह्यं धीमता तक्षणे फलम् । ह्रतशेषे धनक्षेपे गुणलब्धी तु पूर्ववत् ॥ ८ ॥ क्षेपतक्षणलाभाढ्या लब्धिः शुद्धौ तु वर्जिता । अथ वा भागहारेण तयोः क्षेपभाज्ययोः ॥ ९ ॥ गुणः प्राग्वत् ततो लब्धिर्भाज्याद्धतयुतोद्धृतात् । क्षेपाभावेऽथ वा यत्र क्षेपः शुद्धयेद्धरोद्धृतः ॥ १० ॥ ज्ञेयः शून्यं गुणस्तत्र क्षेपो हारहृतः फलम् । इष्टाहतस्वस्वहरेण युक्ते ते वा भवेतां बहुधा गुणाप्ती ॥११॥ अथ पूर्ववत्समीकरणेन, हा. ल=भा. गु+क्षे ... ... ( १ ) इहाभा=इ. भा. हा. ... ... ( २ ) अत्र प्रथमाद्द्वितीयस्य शोधनेन हा (

अथ (२) हाल = भा. गु ± क्षे, अत्र यदि भा = इ. भां, क्षे = इ. क्षें तदा, ल = इ ( भा. गु ± क्षै' ) / हा , अथात्र इ, हा, द्वौ परस्परं दृढौ तेन गु ± क्षै अयं हारेण निःशेषो भवति ( रेखागणितस्य सप्तमाध्याययुक्त्या या दृढाङ्क- सिद्धान्तानुसारेण ) । कल्प्यते सा च लब्धिः = लं तदा ल = इ ( भा. गु ± क्षे' ) / हा = इ. लं, पुनर्यदि हा = हा. इ, क्षे = क्षं. इ तदा ल = भा. गु ± क्षे'. इ / हा'. इ = भा. गु / इ ± क्षे' / हा' अत्र भाज्यः, इ अनेन न निःशेषो भवति तेन गु, अयमपि इ अनेन निःशेषो भवेत् अन्यथा निरवयवसावयवयोगो न निरवयवसमः । ∴ हा. ल = भा. गु / इ + क्षे, अत्र कल्प्यते गु = गुं. इ तदा पूर्वसमीकरणरूपम् ल = भा

२०! Wait, is there a २० below २३? Look at २३: below २३ there is २०? No, look at the space: Wait, between २३ and वा इत्यादि: There is ३८? Wait, above: २३, below: nothing? Wait, look at २३ ।: Wait, there's २३ then a vertical line । then ३६ or ३८ or ५६? Wait, look at: २३ then । then ३८? No, ५६! Wait, why 23 and 38, or 23 and 20? Wait, let's look at २३: Wait, is it २३ on top and २० on bottom? Look at the image carefully: Line 12: वा लब्धिगुणौ २३ । ३६ वा इत्यादि । Wait, could it be २३ and २०? Where is २०? Wait, look at: २३ followed by । (danda). Then ५६ or ३६? Wait, let's look at the characters: २ ३ `

? LOOK AT THAT NUMBER: It is ३० over १८! YES! ३० on top, १८ on bottom! Let's verify: In line 2: ... तावेव ३० over १८! Look at it: ३० १८! YES, top is ३०, bottom is १८! Now everything makes 100% mathematical sense! Let's re-verify: Reduced equation: 100 x + 10 = 7 y. 100 / 7 = 14, remainder 2. Now we need 2 x + 10 = 7 y'. 2 / 7? We divide 7 by 2: 7 / 2 = 3, remainder 1. Quotients: 14, 3! Now remainder is 1, divisor was 2, kshepa is 10. Choose mati = 0: (1 * 0 + 10) / 2 = 5! So mati = 0, quotient = 5. Or mati = 10! Wait, look at the valli: १४ ३ (Wait, look at the glyph, it is ३ or ५? No, if quotients are 14,

३० बीजगणिते उदाहरणम् । अष्टादशहताः केन दशाढ्या वा दशोनिताः । शुद्धं भागं प्रयच्छन्ति रूपगैकादशोद्धृताः ॥ १० ॥ न्यासः । भा १८ । हा ११ क्षे १० । अत्र भाजकस्य धनत्वं प्रकल्प्य साधितौ लब्धगुणौ १४/८ । एतावेव ऋणभाजके किन्तु लब्धेः पूर्ववदृणत्वं ज्ञेयं तथा कृते जातौ लब्धि- गुणौ -१४/८ ऋणक्षेपे तु योगजे तक्षणाच्छुद्धे इत्यादिना लब्धिगुणौ ४/३ । भाजकस्य धनत्वे ऋणत्वे वा लब्धिगुणावेतावेव परन्तु भाजके भाज्ये वा ऋणगते लब्धेर्ऋणत्वं सर्वत्र ज्ञेयम् । उदाहरणम् । येन संगुणिताः पञ्च त्रयोविंशतिसंयुताः । वर्जिता वा त्रिभिर्भक्ता निरग्राः स्युः स को गुणः ॥ ११ ॥ न्यासः । भा ५ । हा ३ । क्षे २३ । अत्र वल्ली १/१/२३/० पूर्ववज्जातं राशिद्वयम् ४६/२३ । अत्र तक्षणेऽधोराशौ सप्त लभ्यन्ते ऊर्ध्वराशौ तु नव लभ्यन्ते ते नव न ग्राह्याः "गुणलब्ध्योः समं ग्राह्यं धीमता तक्षणे फलम्" इत्यतः सप्तैव ग्राह्या इति जातौ लब्धिगुणौ ११/२ योगजौ । एतौ स्वस्वतक्षणाभ्यां शोधितौ जातौ ऋण क्षेपे -१/-२ । "इष्टाहतस्वस्वह- रेण युक्ते" इति द्विगुणितौ स्वस्वहारौ क्षेप्यौ यथा धनलब्धिः स्या- दिति कृते जातौ लब्धिगुणौ ४/७ । एवं सर्वत्र ज्ञेयम् । अथ वा "हरतष्टे धनक्षेपे" इति न्यासः । भा ५ हा ३ । क्षे २ । पूर्ववज्जातौ लब्धिगुणौ योगजौ १/१ । एतौ स्वस्वतक्षणाभ्यां शुद्धौ ३/२ जातौ वियोगजौ । क्षेपतक्षणलाभाढ्या लब्धिरिति क्षेपतक्षणलाभेन ७ योगजलब्धियुता ११ जाता योगजैव लब्धिः । "शुद्धौ तु वर्जिता" "ऊर्ध्वं विभाजयेत्" इत्यादिना लब्धि ६, गुण = २ । अत एते एव गुणाप्ती ६/२ । अत्र परो- क्तसूत्रम् "द्वौ राशी क्षिपेत् तत्र" तन्न गुणादियेयदि द्वौ राशी हरभाज्याङ्कप्रमितौ क्षि- पेत् तदा भास्करवचनान् ३९/२५ एते गुणाप्ती यत्रास्मिन् १५ गुणे १९ अनया सङ्ख्या भवितव्यम् । वस्तुतो यथार्था लब्धिस्तु ६९ अनेनरोनसप्ततिरेव । तावता न व्यभिचार- इति गणितहृद्विवेचनीयं मैथिलपण्डितश्रीबभ्रूनाथशर्मणाऽपि स्वटीकायां वलाद्व्यभिचार एव प्रदर्शित इति ।

इति तक्षणलाभेन ७ लब्धिरियं १ वर्जिता ६ धनलब्ध्यर्थं द्विगुणे हरे क्षि- प्ते जातौ तावेव लब्धिगुणौ ६/७ । "अथ वा भागहारेण तष्टयोः" इति । न्यासः । भा २ । हा ३ । क्षे २ । अत्रापि जातं राशित्रयम् २/१ । अत्रापि जातः पूर्व एव गुणः २ । लब्धिस्तु "भाज्याद्धतयुतोद्धृतात्" इति गुणः २ । गुणितो भाज्यः १० । क्षेप-२३ युतो ३३ हरभक्तो लब्धिः सैव ११ । उदाहरणम् । येन पञ्च गुणिताः खसंयुताः पञ्चषष्टिसहिताश्च तेऽथ वा । स्युस्त्रयोदशहृता निरग्रकास्तं गुणं गणक कीर्त्तयाशु मे ॥२८५॥ न्यासः । भा ५ । हा १३ । क्षे ० । क्षेपाभावे गुणाप्ती ० । एवं पञ्चषष्टिक्षेपे ५/० वा १०/१३ इत्यादि । अथ स्थिरकुट्टके सूत्र वृत्तम् । (१

वर्गप्रकृतिः। ३३ अथ संश्लिष्टकुट्टके करणसूत्रं वृत्तम्। *एको हरश्चेद्गुणकौ विभिन्नौ तदा गुणैक्यं परिकल्प्य भाज्यम्। अग्रैक्यमग्रं कृत उक्तवद्यः संश्लिष्टसंज्ञः स्फुटकुट्टकोऽसौ ॥ १३॥ उदाहरणम्। कः पञ्चनिघ्नो विहृतस्त्रिषष्ट्या सप्तावशेषोऽथ स एव राशिः। दशाहतः स्याद्विहृतस्त्रिषष्ट्या चतुर्दशाग्रो वद राशिमेनम् ॥ १ ॥ अत्र गुणैक्यं भाज्योऽयमेव राशिः। अग्रैक्यं शुद्धिरिति। न्यासः-भा १५। हा ६३। क्षेपः २१। पूर्ववज्जातो गुणः १४। लब्धिः ३। इति श्रीभास्कराचार्यविरचिते बीजगणिते कुट्टकाध्यायः। अथ वर्गप्रकृतिः। तत्र रूपक्षेपपदार्थे तावत् करणसूत्राणि सार्धपञ्चवृत्तानि। इष्टं ह्रस्वं तस्य वर्गः प्रकृत्या क्षुण्णो युक्तो वर्जितो वा स येन। मूलं दद्यात् क्षेपकं तं धनर्णं मूलं तच्च ज्येष्ठमूलं वदन्ति ॥ १ ॥

• वि०--अत्र प्रश्नानुसारेणाधोलिखितं समीकरणद्वयमुत्पद्यते(१) प्रगु. या - प्रशे प्रल= ────────── हा द्विगु. या - द्विशे द्विल= ────────── हा अतः प्रल. हा = प्रगु या - प्रशे द्विल. हा = द्विगु. या -- द्विशे प्रथमं द्वितीयगुणेन द्वितीयं प्रथमगुणेन निहत्य जातं समीकरणद्वयम्। . द्विगु. प्रल. हा. = द्विगु. प्रगु. या - द्विगु. प्रशे प्रगु. द्विल. हा = द्विगु. प्रगु. या - प्रगु. द्विशे अनयोरन्तरे कृते हा (द्विगु. प्रल - प्रगु. द्विल) = प्रगु. द्विशे - द्विगु. प्रशे, अतो मिथो गुणगुणितछेद- (१) वि० श०--प्रल + द्विल = प्रगु. या - प्रशे + द्विगु. या - द्विशे ──────────────────── हा या (प्रगु + द्विगु) - (प्रशे + द्विशे) = ──────────────────── हा ततः सामान्यकुट्टकरीत्या'या' इत्यव्यक्तराशेर्मानं व्यक्तमिति मूलसूत्रमुपपद्यते । .

३४ बीजगणिते ह्रस्वज्येष्ठक्षेपकान् न्यस्य तेषां तानन्यान् वाऽधो निवेश्य क्रमेण । साध्यान्येभ्यो भावनाभिर्बहूनि मूलान्येषां भावना प्रोच्यतेऽतः ॥ २ ॥ (२)वज्राभ्यासौ ज्येष्ठलघ्वोस्तदैक्यं ह्रस्वं लघ्वोराहतिश्च प्रकृत्या । क्षुण्णा ज्येष्ठाभ्यासयुग् ज्येष्ठमूलं तत्राभ्यासः क्षेपयोः क्षेपतः स्यात् ॥३॥ ह्रस्वं वज्राभ्यासयोरन्तरं वा लघ्वोर्घातो यः प्रकृत्या विनिघ्नः । घातो यश्च ज्येष्ठयोस्तद्वियोगो ज्येष्ठं क्षेपोऽत्रापि च क्षेपघातः ॥ ४ ॥ इष्टवर्गहृतः क्षेपः क्षेपः स्यादिष्टभाजिते । मूले ते स्तोऽथवा क्षेपः क्षुण्णः क्षुष्णे तदा पदे ॥ ५ ॥ इष्टवर्गप्रकृत्योर्यद्विवरं तेन वा भजेत् । द्विघ्नमिष्टं कनिष्ठं तत् पदं स्यादेकसंयुतौ । ततो ज्येष्ठ

उदाहरणम् । को वर्गोऽष्टहतः सैकः कृतिः स्याद्गणकोच्यताम् । एकादशगुणः को वा वर्गः सैकः कृतिर्भवेत् ॥ १ ॥ प्रथमोदाहरणे न्यासः प्र ८ । क्षे १ । अत्रैकमिष्टं ह्रस्वं प्रकल्प्य जाते मूले सक्षेपे क १ ज्ये ३ क्षे १ । एषां भावनार्थं न्यासः प्र ८ क १ ज्ये ३ क्षे १ । क १ ज्ये ३ क्षे १ । 'वज्राभ्यासौ ज्येष्ठलध्वोरित्या' दिना प्रथम कनिष्ठद्वितीयज्येष्ठमू- लाभ्यासः ३ । द्वितीयकनिष्ठप्रथमज्येष्ठमूलाभ्यासः ३ । अनयोरैक्यं ६ कनिष्ठपदं स्यात् । कनिष्ठयोराहतिः १ प्रकृतिगुणा ८ ज्येष्ठयोरभ्यासेन ९ अनेन युता १७ ज्येष्ठपदं स्यात् । क्षेपयोराहतिः क्षेपकः स्यात् १ । प्राङ्मूलक्षेपाणामेभिः सह भावनार्थं न्यासः— प्र ८ क १ ज्ये ३ क्षे १ । क ६ ज्ये १७ क्षे १ । भावनया लब्धे मूले क ३५ ज्ये ९९ क्षे १ । एवं पदानामानन्त्यम् । द्वितीयोदाहरणे रूपमिष्टं कनिष्ठं प्रकल्प्य तद्वर्गात् प्रकृतिगुणात् ११ रूपद्वयमपास्य मूलं ज्येष्ठम् ३ । अत्र भावनार्थं न्यासः—प्र ११ क १ ज्ये ३ क्षे २॑ । क १ ज्ये ३ क्षे २॑ । प्राग्वल्लब्धे चतुःक्षेपमूले क ६ ज्ये २० क्षे ४ । “इष्टवर्गहृतः क्षेप.” इत्यादिना जाते रूपक्षेपमूले क ३ ज्ये १० क्षे १ । अतस्तुल्य- वा प्र (क/इ)² + क्षे/इ² = (ज्ये/इ)² वा प्र. क́² + क्षे́ = ज्ये́² । यदि क/इ = क́, ज्ये/इ = ज्ये́, क्षे/इ² = क्षे́ । एवं (१) समीकरणं यदि इ² अनेन गुण्यते तदाऽवशिष्टमुपपद्यत एवे- 'तेष्टवर्गहृतः क्षेप इत्याद्युपपद्यते । अथ यदि कनिष्ठं इष्टं कल्प्यते तदा इ² - प्र, क्षेपे ज्येष्ठम् = इ ततः समासभा- वनया (इ - प्र)² क्षेपे कनिष्ठम् = २ इ, तत इष्टवर्गहृतः क्षेप इत्यादिना रूपक्षेपे कनिष्ठम् = २ इ / (इ² - प्र) अत्र उपपत्तिमिष्टवर्गहृतस्यौचित्यं चेन्न वा भवेदित्यादि ।

Here is the line-by-line transcription of the page into Unicode Devanagari:

३६ बीजगणिते भावनया वा कनिष्ठज्येष्ठमूले जाते क ६० ज्ये १९९ क्षे १ । एवमनन्त- मूलानि । अथवा रूपं कनिष्ठं प्रकल्प्य जाते पञ्चक्षेपपदे क १ ज्ये ४ क्षे ५ अतस्तुल्यभावनया मूले क ८ ज्ये २७ क्षे २५ । "इष्टवर्गहृतः" इत्यादिना पञ्चकमिष्टं प्रकल्प्य जाते रूपक्षेपपदे क ८/५ ज्ये २७/५ क्षे १ । अनयोः पूर्वमूलाभ्यां सह भावनार्थं न्यासः— प्र ११ क ८/५ ज्ये २७/५ क्षे १ । क ३ ज्ये १० क्षे १ । भावनया लब्धे मूले क १६१/५ ज्ये ५३४/५ क्षे १ । अथवा ह्रस्वं वज्राभ्यासयोरन्तरमित्यादिना अनयया भावनया जाते मूले क १/५ ज्ये ६/५ क्षे १ । एवमनेकधा "इष्टवर्गप्रकृत्योर्यद्विवरं तेन वा भजेत्" इत्यादि

चक्रवालम् । ३७ कें = इ. क + ज्ये । ज्ये = क. प्र + इ. ज्ये । क्षे' = क्षे ( इ² - प्र ) इष्टवर्गहतः क्षेप इत्यादिना क्षे इष्टं प्रकल्प्य जाताः कनिष्ठज्येष्ठक्षेपाः कें = (इ.क + ज्ये) / क्षे । ज्ये' = (प्र. क + इ.ज्ये) / क्षे । क्षे' = (इ² - प्र) / क्षे, अतोऽत्र चेत् कनिष्ठम- भिन्नमपेक्षितं तदा प्रथमकनिष्ठं तथा केन चिदिष्टेन गुण्यं ज्येष्ठयुक्तं यथा विशुद्ध्येत तदर्थमा- चार्येण कुट्टकः कृतः । अत उपपन्नं ह्रस्वज्येष्ठपदक्षेपानित्यादि। एवमभिन्नं यत् कनिष्ठमुत्प- द्यते तत्र क्षेपश्च (इ² - प्र) / क्षे अयम् । अत्र भाज्यसंख्या यदि विपरीतशोधनेन सिद्धा स्यात् तदा क्षेपहता लब्धिः क्षेपविजातीयाऽतो व्यस्त-प्रकृतितस्तद्युत इति युक्तमुक्तमाचार्यैः। अथ नूतनः क्षेपः = (इ² - प्र) / क्षे अयं सर्वदाऽभिन्न एवागच्छति तेन इ² - प्र इदं क्षे- पेण निःशेषं भवतीत्यस्य कारणज्ञानार्थं कल्प्यते अ, क, संख्ये मिथो दृढे, क, ग अन- योर्घातश्च असंख्यया शुध्यति तदा अ, संख्यया ग, संख्या निःशेषा भवति । अ < क इति कल्पनीयं तथा परस्परभजनाल्लब्धयः ल, ल', ल'', इत्यादयः शे, शे', शे'' इत्यादयः शेषाश्च कल्प्यास्तदा क = अ ल + शे, अ = शे. ल' + शे' शे = शे' ल'' + शे'', प्रत्येकं ग संख्यया सङ्गुण्य असंख्यया यदि विभज्यते तदा (क. ग) / अ = ग. ल + (ग. शे) / अ । ग = (ग. शे) / अ × ल' + (ग. शे') / अ (ग. शे) / अ = (ग. शे') / अ × ल'' + (ग. शे'') / अ , ... ... अथ (क. ग) / अ इयं संख्या ह्यभिन्ना तेन (ग. शे) / अ इयमपि अभिन्ना भवेत् ततः (ग. शे') / अ इयं चाभिन्ना ततः (ग. शे'') / अ इयमप्यभिन्ना सिद्ध्यति । एवं सर्वे शेषा ग-गुणिताः अ-हृताः शुध्यन्तीति सिध्यति । अथ अ, क संख्ये मिथो दृढे तेनान्तिमः शेषो रूपसमस्तद्गुणिता गसंख्या यस्माऽसौ ग. संख्या, अ-हता शुद्धा भवतीति सिद्ध्यति । अथ पूर्वकनिष्ठज्येष्ठवधेन पूर्वक्षेपः = प्र. क² - ज्ये² अतो ज्येष्ठकनिष्ठमहत्समापवर्तनवर्गेण क्षेपोऽपवर्त्य- स्तेनेष्टवर्गहत. क्षेप इत्यादिना लघुक्षेपे सुखेन कनिष्ठज्येष्ठे ज्ञातुं शक्येते, एवं यदा- ऽपवर्त्तनाभावस्तदैव लघुतमक्षेपे तत्कनिष्ठज्येष्ठे गृहीत्वा ततो ह्रस्वज्येष्ठपदक्षेपेभ्यः पर-

३८ बीजगणिते चतुर्द्धार्कयुताद्येयमभिन्ने भवतः पदे । चतुर्द्विक्षेपमूलाभ्यां रूपक्षेपार्थभावना ॥ ४ ॥ उदाहरणम् । का सप्तषष्टिगुणिता कृतिरेकयुक्ता का चैकषष्टिगुणिता च सखे सरूपा । स्यान्मूलदा यदि कृतिप्रकृतिर्नितान्तं त्वच्चेतसि प्रवद तात तता लतायत् ॥ १ ॥ स्वैर्हृतेभ्यः कुट्टकः कर्त्तव्यः । अतोऽत्र ये कनिष्ठज्येष्ठक्षेपास्ते परस्परं दृढा एव । ततोऽभिन्नं नूतनकनिष्ठम् = इ. क + ज्ये ───────────────────── क्षे अस्मादिष्टमानम् = नू.क क्षे - ज्ये ───────────────── । अनेन नूतनज्येष्ठस्य क प्र क + इ.ज्ये ───────────── अस्यांशमाने स्थापने कृते जातमंशमानम् क्ष = ज्ये. नू.क. क्ष

? Look at सृ: it has the loop of 'स' and 'ृ': सृणमिष्टं` (an error for 'ऋणमिष्टं' or 'मृणमिष्टं' -> 'सृण' = स-ऋण = with negative sign! Yes! स-ऋण = ऋण सहित!). "सृणम्" = स + ऋणम् = negative! "रूपद्वय-२ सृणमिष्टं प्रकल्प्य" -> literally "taking an optional number -2 (two units, negative)". That is brilliant Sanskrit: "सृणम्" (स-ऋणम्)!

Let's check line 16: पड्युते vs षड्युते: षड्युते - in Devanagari typesets, ष and प can look similar, but here it's definitely षड्युते (6 added, since क्षेप is 6: 67 * 5^2 + 6 = 67 * 25 + 6 = 1675 + 6 = 1681 = 41^2!). Yes, 6 is षट्, so षड्युते = 6 added!

Let's check line 9: तक्षगाभ्यां or तक्षणाभ्यां? Wait, look at the letter: त क्ष गा or णा? It has

४० बीजगणिते द्वितीयोदाहरणे न्यासः—प्र ६१ क १ ज्ये ८ क्षे ३ । कुट्टकार्थे न्यासः—भा १ हा ३ क्षे ८ । 'ह्रस्वघ्ने धनक्षेपे" इति लब्धिगुणौ ३/१ । इष्टाहतेति द्वाभ्यामुत्थाप्य जातौ लब्धिगुणौ ५/७ । गुणवर्गे ४९ । प्रकृतेः शोधिते १२ व्यस्त इति ऋणम् १२ इदं क्षेपहृतं जातः क्षेपः ४ं । अतः प्राग्वज्जाते चतुःक्षेप- मूले क ५ ज्ये ३९ । इष्टवर्गहृतः क्षेपः स्यादित्युत्पन्नरूपशुद्धिमूलयोर्भावनार्थं न्यासः— क ५/२ ज्ये ३९/२ क्षे १ं । क ५/२ ज्ये ३९/२ क्षे १ं ।

• अतो भावनया जाते रूपक्षेपमूले क १९५/२ ज्ये १५२३/२ । अनयोः पुनः रूपशुद्धिपदाभ्यां भावनार्थं न्यासः क ५/२ ज्ये ३९/२ क्षे १ं । [

चक्रवालम् । ४१ अखिले कृतिमूलाभ्यां द्विधा रूपं विभाजितम् ॥ ५ ॥ द्विधा ह्रस्वपदं ज्येष्ठं ततो रूपविशोधने । पूर्ववद्वा प्रसाध्येते पदे रूपविशोधने ॥ ६ ॥ उदाहरणम्— त्रयोदशगुणो वर्गो निरेकः कः कृतिर्भवेत् । को वाऽष्टगुणितो वर्गो निरेको मूलदो वद ॥ २ ॥ अत्र प्रकृतिर्द्विकत्रिकयोर्वर्गयोर्योगः १३ । अतो द्विकेन रूपं हृतं रूप- शुद्धौ कनिष्ठं पदं १/२ स्यात् । अस्य वर्गात् प्रकृतिगुणादेकोनान्मूलं ज्येष्ठम् ३/२ । अथवा त्रिकेन रूपं हृतं कनिष्ठं १/३ स्यात् । अतो ज्येष्ठम् २/३ । अथवा कनिष्ठम् १ । अस्य वर्गात् प्रकृतिगुणाच्चतुरूनान्मूलं ज्येष्ठम् ३ । क्रमेण न्यासः क १ ज्ये ३ क्षे ४ । इष्टवर्गहृतः क्षेप इत्यादिना जाते रूपशुद्धौ पदे क १/२ ज्ये, ३/२ । अथवा प्रकृतेर्नव व्यस्त