बीजगणितम् (भास्कराचार्य द्वितीय - प्राचीन भारतीय समीकरण एवं बीजगणित सूत्र सटीक)

or d/द)? In Bijaganita, the formula is: "वर्गादेर्दो हरस्तेन पदं प्रकृतितो हरः ।" (from the section on Varga-prakriti / Kuttaka). Yes, "वर्गादेर्दो हरस्तेन"! But here, the letter looks like 'र्दो' or 'र्शो'. Let's look closely: it is 'र्दो' (द with repha and o-kar)!

Wait, let's check line 28: "ऽनेनोत्थापितौ जातौ राशी ह ३१५ रु ९६, ह ३७८ रु ११६ ।" Yes, perfect.

Wait, let's check line 29-30: "(२) वि० द्वयो राश्योरेकष्टगुणहराणां घातो वा हराणामपवर्त्यो यदि क्षिप्यते तदा-" Wait, "एकष्टगुणहराणां"? Look closely: "द्वयो राश्योरेकष्टगुणहराणां" or "द्वयो राश्योरेकैकगुणहराणां"? Wait, look at the letters: "द्वयो राश्योरे" then 'क' then 'ष्ट' or 'क'? Wait, 'कै' with aikara? Let's zoom into line 29: "द्वयो राश्योरे" - then 'क' - then 'ै' (two slants above) - 'क'? Wait,

९० बीजगणिते स हरितकेनानेन ह ७ गुणितस्तस्य क्षेपः स्यादिति जातः प्रथमः क्षेपः ह ३१५ रु ५१। अथवा प्रथममेकं व्यक्तं प्रकल्प्य द्वितीयः साध्यो वा जातौ राशी रु ५१, (१) श्वे १२६ रु ८० । उदाहरणम् । नवभिः सप्तभिः क्षुण्णः को राशिस्त्रिंशता हृतः । यदग्रैक्यं फलैक्याढ्यं भवेत् षड्‌विंशतेर्मितम् ॥ १० ॥ अत्रैकहरत्वाच्छेपयोः फलयोर्युतिदर्शनाच्च गुणयोगो गुणकः कल्पितः रु १६ । राशिः = या १ । लब्ध्यैकप्रमाणं कालकस्तद्गुणितं हरं गुणगुणिताद्राशेरपास्य जातं शेषम् या १६ का ३०̇ । एतत् फलेन कालकेन युतं या १६ का २९̇ षड्‌विंशतिसमं कृत्वा कुट्टकेन प्राग्व- ज्जातं यावत्तावन्मानम् नी २९ रु २७ । (२) अत्र लब्ध्यग्रयोगस्यैक- तानिर्देशात् क्षेपो न देयः । उदाहरणम् । कस्त्रिसप्तनयक्षुण्णो राशिस्त्रिंशद्विभाजितः । यदग्रैक्यमपि त्रिंशत्कृतमेकादशाग्रकम् ॥ ११ ॥ (१) वि०-कल्पने प्रथमो राशिर्व्यक्त = व्य, पञ्चभक्त एकाग्र । द्वितीयोऽव्यक्त = ६या + २ तदा द्वितीयालापेन यावत्तावदुन्मितिः या = (३का + व्य)/६, तृतीयालापेन यावत्तावदुन्मितिः या = (९नी + ३ - व्य)/६ अतः कुट्टकयुक्त्या यः प्रथमो राशिर्व्यक्त- कल्पितः स त्रिभिरपवर्त्य इति सिध्यति चतुर्थालापबलेन सप्तभिरनपवर्त्यश्चेति सुधी- भिर्भृशं विमृश्यम् । तत पूर्वयुक्त्या प्रथमो राशिर्व्यक्तो ३६ भवितुमर्हति ततो द्वितीयः श्वे १२६ रु १०४ । ३६ अयमाचार्यकल्पिता-५१ दस्मादल्प (१) इति । (२) वि०-टी०-कालकमानं पूर्वकुट्टकादेव का = नी १६ रु १४ । अथात्र क्षेपश्च = नी २९ अयं चेद्दीयते तदा या = ५६, तत्रैव का = ३० । किन्तु लब्धि- योगे शेषयोगयुक्ते षड्‌विंशतिर्निर्देश सा क्षेपदानान्न भवेदित्यतः "क्षेपो न देय" इति युक्तमेव । (१) वि० टी०-भास्कराचार्यप्रदर्शितराशी ५१, ८० ज्ञातव्यौ । विशेषप्रद- र्शितः समुचितो राशिः = ३६ । अयं चेत् प्रथमस्तदाऽन्य शताधिकः = १०४।

भाजकः या २३! YES! या २३ IS THE DENOMINATOR! "यावत्तावत् २३"! In Sanskrit algebra manuscripts, the unknown whose value is being sought often has its coefficient written as या २३ in the denominator! Wait, but what is after the fraction bar? ऽनया कुट्टकमानेन यावत्तावन्मानमनेकरूपा सिध्यतीति "ऽनया" = अनया (स्त्रीलिङ्ग, तृतीया)! "अनया कुट्टकमानेन..." wait, "अनया यावत्तावदुन्मित्या कुट्टकमानेन यावत्तावन्मानमनेकरूपा सिध्यतीति"! "यावत्तावदुन्मित्या— [fraction] ऽनया कुट्टकमानेन..." "यावत्तावदुन्मित्या [fraction] अनया कुट्टकमानेन यावत्तावन्मानमनेकरूपा सिध्यतीति" WOW! That is SO elegant and makes 100% sense!

4. Handling Fractions without LaTeX Math Syntax:
   • The prompt instructions:
     • "Transcribe the image ... line by line into pure, clean Markdown in Unicode Devanagari."
     • "Do NOT output LaTeX math syntax."
     • "Prefix each line with line marker like , ."
   • How to transcribe visual fraction lines? Option A: Inline

भागलब्धस्य नो कल्प्या क्रिया (१)व्यभिचरेत् तथा ॥ - अतोऽन्यथा यतितव्यम् । अत्र स्वस्वभागहारान्न्यूने शेषे यथा भवतो यथा चाखिलं स्यात् तथा शेषयोगं विभज्य क्रिया कार्या । तथा कल्पिते शेषे ४०, ६० । राशिः या १ । एष त्रयोविंशतिगुणः पञ्चहृतः फलं कालकस्तद्गुणं हरं शेषयुतमस्य या २३ समं कृत्वा लब्धं यावत्तावन्मानम् या = फा ६० रु ४० / २३ । एवमन्यत् या = नी ८० रु ६० / २३ । अनयोः समीकरणे कुट्टकेन लब्धे कालकनीलकमाने का = पी ४ रु ३ । नी = पी ३ रु २ । आभ्यामुत्थापने यावत्तावन्मानं मिश्रं स्यादिति कुट्टकेनाभिन्नं जा- तम् = लो २४० रु २० । अथ वा शेषे ३०, ७० । आभ्यां राशिः = लो २४० रु ९० । उदाहरणम् कः पञ्चगुण

अनेकवर्णसमीकरणम् । ९३ (१)अतोऽत्रान्यथा(२)यतितव्यम्। अत्र किल हरतुल्ये राशौ कल्पिते १३ राशिफलयोरेनानेन १८ यदि इदं ५ फलं तदा त्रिंशता किमिति लब्धं फलम् २५/३ । एतत्.त्रिंशतोऽपास्य शेषं जातो राशिः ६५/३ । (३)अथायोदाहरणम् षट्शतकाः क्रीत्या समार्घेण फलानि ये । विक्रीय च पुनः शेषमेकैकं पञ्चभिः पणैः । जाताः समपणास्तेषां कः क्रयो विक्रयश्च कः ॥ १४ ॥ एष तृतीयो राशिः स्वीक्रियते तेन तां क्रियां न योजयेत् न विदध्यादिति । या पक्षा- न्तरे क्षेपं योजयेत् तदा सा कथं प्रवर्तेत इति । (१) अत्र राशिः या १ पञ्चगुणितो या ५ विडरहतो लब्धं कालकस्ततो लब्धि- गुणो हरो भाग्यसम इति जातौ पक्षौ या ५ का ० } या ० का १३ } ततो यावत्तावदुन्मितिः या = का १३/५ , कल्प्यौशेन युता त्रिंशत्समेति जातौ पक्षौ या १ का १ रू ० } या ० का ० रू ३० } ततो यावत्तावदुन्मितिःया = का १̇ रू ३० पुनरेषयावत्तावदुन्मितिभ्यां लब्धं कालकमानम् का = २५/३ एवमत्र न निराधारा क्रिया भवेत् । (२) वि० टो० —अन्यथाऽव्यक्तगणितमार्गमुपेक्ष्य व्यक्तगणितपक्षमाश्रित इत्यर्थो भास्करगमये तादृशव्यक्तगणितस्याप्रकारोऽपि इहतोत्तरं कथमपि दातव्यमिति बुद्ध्या अन्यथा कल्पितव्यं यत्नः कर्तव्य इति । (१) वि०—अत्र फलमानानि क्रमेण प्र, द्वि, तृ क्रयविक्रयमाने क्रमेण क्र, वि, प्रत्ययेन क्रमेण रू१, नी१, पी१, शेषविक्रयमानम् दे(क) १/शे (३) वि०टो०—६५/३ फलानां समर्घेकं फलं हरैकेन पणेन विक्रीतेऽष्टादश- शं लब्धं हरकैकस्य रूपं ३०-१/३ ।

तः(no, that's त्र). Look atअथात्रin line 15:अ थ ा त ् र. The त्रhas a loop or slant:त्र. In line 18, after ना, is it व? It is व! ना व ा ह ा र->नावाहार? Wait, why would it be नावाहार? Wait, could it be नानाहार? Wait, what if it's भाज्यहारौ->हारौ->नानाहार? Wait, let's look at ना: could it be भा? No, it's ना. Wait, look at: नावाहार इत्याचार्य्यकल्पना? Wait, could it be: नापहार? But there is a letter between नाandा? Wait, let's zoom in to maximum on line 18: मुद्दिष्टमेव" इत्यनेन नावाहार इत्याचार्यकल्पनाWait, look at the letter betweenनाandह: It is वा! ना वा ह ा र? Wait! Could it be नात्राहार? Wait, could it be नात्रापहार`

अनेकवर्णसमीकरणम् । ०५ विलोकनीयम् । मदीयस्वल्पनायुक्त्या च बहवः प्रश्नाः सुखेन साध्या भवन्तीति । अत्र मदीयप्रकारे क्षे = ५ । धनाना- ६, ८, १०० मपवर्त्तनम् = २ । तेन भा ५ क्षे १ / हार ततो गुणः = १, लब्धि. = २, इष्टाहतस्वस्वहारेण युक्ते इत्यनेन २५ इष्टं प्रकल्प्य गुणः ५१, लब्धिः १२७ ६ × १२७ = ७६२ ∴ ७६२ / ५१ = १४, ४८ / ५१ सर्वधनम् = ४८ × ५ + १४ = २५४ एवं सर्वत्र समानम् । अत्र विष्णुदैवज्ञोक्तं सूत्रम् । "(ग) शेषविक्रयहतेष्टविक्रयः शीतरश्मिरहितो भवेत् क्रयः । पुंधनादधिक इष्टविक्रयः कल्प्य इत्थमवगम्य धीमता" ॥ (ग) वि० श०-पञ्चशतकाः संत्वेति । अत्र प्रथमादिधनानि = प्र, द्वि, तृ । यत्र प्र > द्वि > तृ । अत्र क्रयमानम् = क = या । विक्रयमानम् = वि । फलानि समार्घेण क्रीत्वा विक्रीय च लब्धयः क्रमेण का, नी, पी । शेषमेककं पञ्चभिः पञ्चभिः पणैर्विक्रीतमेव सर्वे समधना अभूवन् । शेषविक्रयमानम् = शे । अतः समधनानि प्रथमलब्धिग्रहणात् ततो द्वितीयादिलब्धितः— सम = शे. प्र. क - का. शे. वि + का = शे. प्र. क - का (शे. वि - १) " = शे. द्वि. क - नी. शे. वि + नी = शे. द्वि. क - नी (शे. वि - १) " = शे. तृ. क - पी. शे. वि + पी = शे. तृ. क - पी (शे. वि - १) { (नी - का) (शे. वि - १) = क. शे (द्वि - प्र) । अतः { (पी - का) (शे. वि - १) = क. शे (तृ - प्र) । { (पी - नी) (शे. वि - १) = क. शे (तृ - द्वि) । अतः क = (नी - का) (शे. वि - १) / शे (द्वि - प्र) = (पी - का) (शे. वि - १) / शे (तृ - प्र) = (पी - नी) (शे. वि - १) / शे. (तृ - द्वि)

९६ बीजगणिते अत्र यदि भवेत् क = शे. वि - १ तदा नी - का = शे (द्वि - प्र)। एवम् पी - का = शे (तृ - प्र)। अथैवम् पी - नी = शे (तृ - द्वि) अतः नी - का = १०, पी - का = ४००। पी - नी = ३९०। पूर्वं समधनानि शे. प्र. क - का (शे. वि - १) = शे. द्वि. क - नी (शे. वि - १) = शे. तृ. क - पी (शे. वि - १)। क = शे. वि - १ अतः शे. प्र - का = शे. द्वि. - नी = शे. तृ. - पी अतः शे. प्र - का = ३० - का। शे. द्वि - नी = ४० - नी। शे. तृ - पी = ५०० - पी। यद्यन्तरम् ३० - का इत्यादि एकं कल्प्यते तदा का = २९, नी = ३९, पी = ४९९ तत्र सप = शे. वि - १ = क अत एव विष्णुदैवज्ञेन मतिमतोक्तं "शेषविक्रयहृतेष्टविक्रयः शीतरश्मिरहितो भवेत् कयः।" अथ यदि क = शे. वि - १ तदा प्र. क = प्र. शे. वि - प्र अतो विक्रयेण ह्रियते प्र. क / वि = प्र. शे. वि - प्र / वि = प्र. शे. - प्र / वि ततो यदि वि > प्र, द्वि, तृ, तदा का = प्र. शे - १ = २९ } अत्रापि यदि " नी = द्वि. शे - १ = ३९ } " पी = तृ. शे - १ = ४९९ } वि > प्र, द्वि, तृ तदैव पूर्वदर्शितसमधनरूपेषु का, नी, पी इत्येषां वर्णानां मानैः प्र. शे - १, द्वि. शे - १, तृ. शे - १ एभिस्तथाप्यते च प्रत्यक्षतः समताऽवलोक्य- तेऽतः "पृथगनाधिक इष्टविक्रयः कल्प्य इत्यमवगम्य धीमता" इत्युत्तरार्धमपि सुसं- गोपपन्नम्। अथ क = शे. वि - १ अतः वि = क + १ / शे = क + १ / ५ अत्र प्रथमलब्धिः का = २९ तत्र शेषफलानि अ, द्वितीयलब्धिः नी = ३९, अत्र शेषफ = इ, एवं तृतीयलब्धिः पी = ४९९, अत्र शेषफ = उ, अतः अ = सध - २९ / ५, इ = सध - ३९ / ५ उ = सध - ४९९ / ५ अतो निधीयते नवनवाब्धि-४९९ भ्योऽधिकेनैव सर्वधनेन भवितव्यम्। यस्मा- न्नवनवाब्धीन् विशोध्य पञ्चभिर्नि शेषा लब्धिर्भवेत् तथा कल्प्यते पञ्चाधिकनवनवाब्धि-

An exact, line-by-line transcription of the Sanskrit mathematics page into clean Devanagari text:

९८ बीजगणिते अत्र क्रयः या १ । विक्रय इष्टं दशाधिकशतम् ११० । क्रयः षड्गु- णितो विक्रयेण हृतो लब्धिः कालकः १ । लब्धिगुण हरं षड्गुणिता- द्भाशेरपास्य जातम् या ६ का ११० । इदं पञ्चगुण लब्धियुतं जाताः प्रथमस्य पणाः या ३० का ५४९/५५० । एवं द्वितीयतृतीययोरपि पणाः साध्यास्तत्र लब्धिरनुपातेन यदि पण्णां कालकस्तदाऽष्टानां शतस्य च किमिति लब्धिरणानां का ४/३ शतस्य च का ५०/३ । लब्धि- गुणं हरं भाज्यादपास्य शेषं पञ्चगुणं लब्धियुतं जाता द्वितीयस्य पणाः या १२०/३ का २१९४/३ । एवं तृतीयस्य या १५००/३ का २७४५०/३ । एते सर्वे समा इति समच्छेदीकृत्य छेदगमे प्रथमद्वितीयपक्षयोर्द्वितीय- [L

प्रकृत्या विषयो यथा स्यात्तथा सुधीभिर्बहुधा विचिन्त्यम् । बीजं मतिर्विविधवर्णसहायनी हि मन्दावबोधविधये विबुधैर्निजाऽऽद्यैः । विस्तारिता गणकतामरशांशुमद्भि- र्यां सैव बीजगणिताह्वयतामुपैता ॥ ३ ॥ (१) वि०-अत्र यावत्तावदुन्मितिद्वयं तन यावत्तावन्नीलयोर्मानं शून्यसममेकथैव भवति । अत आचार्यकल्पना न(ग)समी चीनेति । (ग) वि० टि०-अत्राचार्यकल्पनया केवलं कयमानम्=५४९ इत्याद्युक्तं प्रमादाधीनमेव

Everything is clear and accurate.अनेकवर्णमध्यमाहरणभेदाः । ९९ तृतीययोः समीकरणेन च लब्धा (१) यावत्तावदुन्मितिरुन्मुल्यैव या = का ५४९ / ३० । अत्र कुट्टकालुब्धं यावत्तावन्मानम् नी ५४१ रु ० । नीलकमैके- नोत्थाप्य जातः कय

१०० बीजगणिते यत्र पक्षयोः शोधने कृते सति अव्यक्तवर्गादिकमवशेषं भवति तत्र पूर्ववत् पक्षौ तदङ्केन निहत्येत्यादिना एकस्य पक्षस्य मूलं ग्राह्यम् । अन्यपक्षे यद्यव्यक्तवर्गः सरूपो वर्तते तदा तस्य पक्षस्य वर्गप्र- कृत्या मूले साध्ये । तत्र वर्णवर्गे योऽङ्कः सा प्रकृतिः । रूपाणि क्षेपः प्रकल्प्यः । एवं यत् कनिष्ठपदं तत् प्रकृतिवर्णमानं यज्ज्येष्ठं तस्य वर्गस्य मूलम् । अतस्तत् पूर्वपक्षमूलेन समं कृत्वा पूर्ववर्णमानं साध्यम् । अथ यद्यन्यपक्षे व्यक्तवर्गः साव्यकोऽव्यक्तमेव सरूपमरूपं वा वर्त्तते तदा वर्गप्रकृतेर्न विषयः कथं तत्र मूलमित्यत आह । वर्गप्रकृ- त्या इति । तदाऽन्यवर्णवर्गसमं कृत्वा प्राग्वदेकस्य पक्षस्य मूलं ग्राह्यं तदन्यपक्षस्य वर्गप्रकृत्या मूले साध्ये तत्रापि कनिष्ठं प्रकृतिवर्णमानं ज्येष्ठं तत्पक्षस्य पदमिति पदाना

अनेकवर्णमध्यमाहरणभेदाः । १०१ ज्येष्ठं तयोः प्रथमपक्षपदेन तुल्यं प्रद्योतयेत् प्रथमवर्णमितिस्तु साध्या ह्रस्वं भवेत् प्रकृतिवर्णमितिः सुधीभि- रेवं कृतिप्रकृतिरत्र नियोजनीया ॥ ५ ॥ उदाहरणम् । कौ राशीद्विगुणो राशिवर्गैः षड्भिः समन्वितः । मूलदो जायते बीजगणितज्ञ वदाशु तम् ॥ १ ॥ अत्र यावत्तावद्राशिर्द्विगुणो वर्गैः षड्भिः समन्वितः याव ६ या २ । एष वर्ग इति इति कालकवर्गेण समीकरणार्थं न्यासः—याव ६ या २ काव ० । याव ० या ० काव १ । अत्र समशोधने जातौ पक्षौ याव ६ या २, काव १ । अथैतौ षड्भिः संगुण्य रूपं प्रक्षिप्य प्राग्वत् प्रथमपक्षमूलम् या ६ रु १ । अथ द्वितीयपक्षस्यास्य काव ६ रु १ । वर्गप्रकृत्या मूले क २

१०२ बीजगणिते समशोधने कृते पक्षौ यावत्तावताऽपवर्थ्य रूपं प्रक्षिप्य प्रथमप- क्षमूलम् या २ रू १ । परपक्षस्यास्य काव १२ रू १ । वर्गप्रकृत्या मूले क २ ज्ये ७ वा क २८ ज्ये ९७ । कनिष्ठं कालकमानम् । ज्येष्ठमस्य या २ रू १ समं कृत्वा लब्धं यावत्तावन्मानम् ३ वा ४८ । स्वस्वमा- नेनोत्थापने कृते जातौ राशी १, ५ वा २०, ७६ इत्यादि । अथान्यत् सूत्रं सार्धवृत्तम् । (१) द्वितीयपक्षे सति सम्भवे तु कृत्याऽपवर्त्याथ पदे प्रसाध्ये । ज्येष्ठं कनिष्ठेन तदा निहन्याच्चेद्वर्गवर्गेण कृतोऽपवर्त्तः ॥ ६ ॥ कनिष्ठवर्गेण तदा निहन्याज्ज्येष्ठं ततः पूर्ववदेव शेषम् । स्पष्टार्थम् । (१) वि०-कल्प्येते समौ पक्षौ काव १ यावव. ६ । याव. ६ । अत्र प्रथमपक्षस्य मूलं का १ द्वितीयपक्षस्यास्य यावव. ६ । याव. ६ । मूलेन सम- मिति । तत्र द्वितीयपक्षस्य मूलं च का = √यावव. ६ । याव. ६ । = या √याव. ६ । ६ । अत इदं याव. ६ । ६ । मूलदं ततो वर्गप्रकृतिविषयो यथा को वर्गः ६, गुणः ६, युतो मूलद इति ह्रस्वं यावत्तावन्मानं ज्येष्ठं यस्य याव. ६ । ६ । मूलेन सममिति पूर्वपक्षस्य मूलं का = या √याव. ६ । ६ । = ह × ज्ये । एवं यदि का = √यावव × याव. ६ । याव. ६ । = याव √याव. ६ । ६ । अतस्तदा का = हव × ज्ये । एवं यदा का = √६. या⁶ + ६. या⁴ = या³ √६. या² + ६ = ह³ × ज्ये एवं बहुधा बुद्धिमाद्भिरूह्यमिति सर्वमुपपन्नम् ।

अनेकवर्णमध्यमाहरणभेदाः । १०३

उदाहरणम्।

यस्य वर्गकृतिः पञ्चगुणा वर्गशतोनिता। मूलदा जायते राशिं गणितज्ञ वदाशु तम् ॥ १ ॥

अत्र राशिः=या १ । अस्य वर्गकृतिः पञ्चगुणा वर्गशतेनोना यावव ५ याव १०० । अयं वर्ग इति कालकवर्गसमं कृत्वा गृहीतं कालकवर्गस्य मूलम् का १। द्वितीयपक्षस्यास्य यावव ५ याव १०० । यावत्तावद्वर्गेणापवर्त्य वर्गप्रकृत्या मूले क १० ज्ये २० वा क १७० ज्ये ३८०। कृत्याऽपवर्त्ते कृते "ज्येष्ठं कनिष्ठेन तदा निहन्यात्" इति जातम् ज्ये २०० वा ज्ये ६४६००। इदं कालकमानं कनिष्ठं प्रकृतिवर्णमानं स एव राशिः १० वा १७० ।

उदाहरणम्।

कयोः स्यादन्तरे वर्गो वर्गयोगो ययोर्घनः। तौ राशी कथयाश्वक्षि बहुधा बीजवित्तम ॥ २ ॥

अथ राशी या १, का १ । अनयोरन्तरं या १ं का १ नीलकवर्गसमं कृत्वा लब्धं यावत्तावन्मानम् का १ नीव १ं । अनेन यावत्तावदुत्थाप्य जातौ राशी का १ नीव१ं, का १ । अनयोर्वर्गयोगः काव २ नीवकाभा २

१०४ बीजगणिते (१)साव्यक्तरूपो यदि वर्णवर्गस्तदाऽन्यवर्णस्य कृतेः समं तम्। कृत्वा पदं तस्य तदन्यपक्षे वर्गप्रकृत्याऽप्तवदेव मूले। कनिष्ठमाद्येन पदेन तुल्यं ज्येष्ठं द्वितीयेन समं विदध्यात् ॥ ८॥ अत्र प्रथमपक्षमूले गृहीते सत्यन्यपक्षे साव्यक्ताऽव्यक्तकृतिः सरू- पारूपा वा भवति तत्राद्यपक्षस्यान्यवर्णवर्गसमीकरणं कृत्वा मूले। तयोः कनिष्ठमाद्यस्य पदेन ज्येष्ठं द्वितीयपक्षपदेन च समं कृत्वा वर्णमाने साध्ये । उदाहरणम्। त्रिकादियुत्तरश्रेढ्यां गच्छे क्वापि च यत् फलम्। तदेव त्रिगुणं कस्मिन्नन्यगच्छे भवेद्वद ॥ १ ॥ अत्र श्रेढ्योर्न्यासः । आदि=३, चय.=२, गच्छः-या १। आदिः=३, चय.=२, गच्छः=का १ । अनयोः (क)फले=याव १ या २, काव १ [L1

: 'ई' has that PLUS an anchor/curve on top! Now look at line 19: Does it have an anchor on top? YES, it has an anchor/curve on top! AND DOES IT HAVE A HORIZONTAL STROKE or another mark? Wait! Look at line 14, above the fraction: Between line 14 and 15: There is:

ई.²

४इ.² Wait! In line 14, someone wrote: कल्प्यते नी² = इ.² या² + ई. या. का + [?]² का² Wait, is that [?]² का² or is it ई. का²? Wait, look at line 14: Is the letter before का² in line 14: ई.² का² ? Wait, look at line 14:

• [?]² का² Wait, look at the mark above that letter: It's a '²'! And look at line 15: वा नी² = इ.² या² + ई. या. का + ई.² --- × का² + का² ( [?]² - ई.² / ४इ.² ) ४इ.² Wait! In line 15, inside the bracket: का² ( [?]² - ई.² / ४इ.² ) Wait, what is [?]²? Why would it be [?]² -

१०६ बीजगणिते शेषं ततः क्षेपकमुकवच्च मूले विदध्यादसकृत् समत्वे ॥ ९ ॥ सम्भाविते वर्णकृती तु यत्र तन्मूलमादाय च शेष कस्य । इष्टोद्धृतस्येष्टवियर्जितस्य दलेन तुल्यं हि तदेव कार्यम् ॥ १० ॥ यत्र प्रथमपक्षमूले गृहीते द्वितीयपक्षे वर्णयोः कृती सरूपे अरूपे वा भवतस्तत्रैकां वर्णकृतिं प्रकृतिं प्रकल्प्य शेषं क्षेपम् । तत “इष्टं ह्रस्वं तस्य वर्गः प्रकृत्या क्षुण्ण” इत्यादि करणेन क्षेपजातीयं वर्णमेका द्विहतं युतं वा स्वबुद्ध्या कनिष्ठपदं प्रकल्प्य ज्येष्ठं साध्यम् । यथ वर्गगता चेत् प्रकृतिरिति तदा “इष्टभक्तो द्विधा क्षेप” इत्यादिना मूले साध्ये यत्र भावितं च वर्त्तते तत्र “सम्भाविते वर्णकृती तु” इत्यादिना तदन्तर्वर्त्तिनो यावतो मूलमस्ति तावतो मूलं ग्राह्यम् । शेषस्येष्टोद्धृ- तस्येष्टवियर्जितस्य दलेन समं तदेव मूलं कार्यम् । यत्र तु द्वित्र्यादयो वर्णवर्गादयो भवन्ति तत्र द्वाविमौ वर्णौ मुक्त्वाऽन्येषामिष्टानि मानानि कृत्वा मूले साध्ये । एवं तदैव यदाऽसकृत् समीकरणं यदा तु सकृ- देव समीकरणं तदैकं वर्णं मुक्त्वाऽन्येषामिष्टानि मानानि कृत्वा प्रा- ग्वन्मूले । उदाहरणम् । तौ राशी वद यत्कृत्योः सप्ताष्टगुणयोर्युतिः । मूलदा स्याद्वियोगस्तु मूलदो रूपसंयुतः ॥ १ ॥ अत्र राशी या १, का १ । अनयोर्वर्गयोः सप्ताष्टगुणयोर्युतिः याव ७ काव ८ । अयं वर्ग इति नीलकवर्गेण समीकरणार्थं न्यासः— याव ७ काव ८ नीव ० । याव ० काव ० नीव १ । समशोधने कृते कालकवर्गाष्टकं प्रक्षिप्य गृहीतं नीलकपक्षस्य मूलम् नी १ । परपक्षस्यास्य याव ७ काव ८ । वर्गप्रकृत्या मूले तत्र या- वत्ताद्वर्गे योऽङ्कः सा प्रकृतिः शेषं क्षेपः काव ८ । “इष्टं ह्रस्वम्” इत्यादि- ना कालकद्वयमिष्टं प्रकल्प्य जाते मूले कनिष्ठम् का २ । ज्येष्ठम् का ६ । • ज्येष्ठं नीलकमानं कनिष्ठं यावत्तावन्मानं तेन यावत्तावदुत्थाप्य जातौ राशी का २, का १ । पुनरेतद्वर्गयोः सप्ताष्टगुणयोरन्तरं सैकं जातम् काव २० रू १ । एतद्वर्ग इति प्राग्वल्लब्धं कनिष्ठमूलम् २ वा ३६ । एतत्कालमानेनोत्थापितौ जातौ राशी ४, २ वा ७२, ३६

अनेकवर्णमध्यमाहरणभेदाः । १०७ उदाहरणम् । घनवर्गयुतिर्वर्गो ययो राश्योः प्रजायते । समासोऽपि ययोर्वर्गस्तौ राशी शीघ्रमानय ॥ २ ॥ अत्र राशी या १, का १ । अनयोर्वर्गघनयोर्योगः याव १ काघ १ अयं वर्ग इति नीलकवर्गसमं कृत्वा पक्षयोः कालकघनं प्रक्षिप्य नीलकपक्षस्य मूलम् नी १ । परपक्षस्यास्य याव १ काघ १ वर्गप्र- कृत्या मूले तत्र यावत्तावद्वर्गे योऽङ्कः सा प्रकृतिः शेषं क्षेपः प्रकल्प्यः । प्रकृति याव १ । क्षेपः काघ १ । “इष्टभक्तो द्विधा क्षेपः” इत्यादिना कालकेनेष्टेन जाते मूले क= (काव १ का १ं)/२, ज्ये= (काव १ का १)/२ । कनिष्ठ यावत्तावन्मानं तेनो- स्थाप्य जातौ राशी (काव १ का १ं)/२, का १ । अनयोः समासः (काव १ का १)/२ अयं वर्ग इति पीतक

गृहीतम् या ६ का ३। शेषस्यास्य काव २७। इष्टेन कालकेन हत- स्येष्टकालकवर्जितस्य च दलेन का १३। तन्मूलं समं कृत्वा लब्धं यावत्तावन्मानम् का ५/३। अनेन यावत्तावदुत्थाप्य जातौ राशी का ५/३, का १। अनयोर्वर्गयुतेः काव ३४/९ घातयुतायाः काव ४९/९ मू- लम् का ७/३। अनेन राशियोगो का ८/३ गुणितः काव ५६/९ सरूपो जात: (का ५६ रु ९)/९ । अमुं पीतकवर्गसमं कृत्वा समच्छेदीकृत्य पक्ष- योर्नव रूपाणि प्रक्षिप्य लब्धं कनिष्ठमूलम् ६ वा १८०। एतत्कालक- मानमित्यनेनोत्थापितौ जातौ राशी १०, ६। वा ३००, १८०। एवम- नेकधा। अथोदाहरणम्। राश्योर्ययोः कृतियुतिवियुती चैकेन संयुते वर्गौ। रहिते वा तौ राशी गणयित्वा कथय यदि वेत्सि ॥ ४ ॥ अथ प्रथमोदाहरणे कल्पितौ राशिवर्गौ याव ४, याव ५ रु १। अनयोर्योगवियोगौ रूपयुतौ मूलदौ भवतः। कथितप्रथमवर्गस्य मूल- मेको राशिः या २। द्वितीयस्यास्य याव ५ रु १ वर्गप्रकृत्या मूले क १ ज्ये २ वा क १७ ज्ये ३८। अनयोर्ज्येष्ठऽयं द्वितीयराशिः। ह्रस्वे यावत्तावन्मानेनोत्थाप्याद्यराशिः। एवं जातौ राशी २, २ वा ३४, ३८। अथ द्वितीयोदाहरणे तथैव कल्पितः प्रथमराशिः या २। द्विती- यस्यास्य याव ५ रु १। वर्गप्रकृत्या मूले क ४ ज्ये ९ वा क ७२ ज्ये १६१। कनिष्ठेन प्रथम उत्थापितो ज्येष्ठं द्वितीय इति जातौ राशी ८, ९ वा १४४, १६१। यत्रालपराशिद्विगुणेन यो राशिरूनितो युतश्च मूलदः स्यात् स तावद्व्यक्त एव द्वितीयो ज्ञेयः। तस्यानयनेऽप्युपायस्तत्तथा-

अनेकवर्णमध्यमाहरणभेदाः । १०९ कल्पित(१) राशिवर्गः ४ । अनेन द्वितीयराशिरूनितो युतश्च मूलदः स्यादित्ययं द्विगुणः ८ । वर्गान्तरमिदं कयोरपि च योगान्तर- घातसमम् । अतोऽन्तरमिष्टं २ कल्पितं "वर्गान्तरं राशिवियोगभक्तम्" इति जाते वर्गान्तरयोगमूले १, ३ । आद्यस्य वर्गे १ कल्पितराशि- वर्गं ४ प्रक्षिप्य द्वितीयस्य वर्गान् ९ वा विशोध्य जातो द्वितीयः ५ । अत्र चाल्पराशिवर्गस्तथा कल्प्यते यथा द्वितीयराशिरभिन्नः स्यात् । तथाऽन्यः कल्पितः ३६ । द्विगुणः ७२ । इदं वर्गान्तरम् । राश्यन्तर- षट्के कल्पिते जातौ ३, ६ । अन्यवर्गात् ८१ कल्पितं विशोध्य जातो द्वितीयः ४५ । चतुष्केण वा ८५ द्विकेन वा ३२५ । अथान्यथा कल्पने युक्तिः । राश्योर्घातेन द्विगुणेन वर्गयोगो युतो- नितोऽवश्यं मूलदः स्यात् । राशिवधो द्विगुणो यथा वर्गः स्यात् तथैको वर्गोऽन्यो वर्गार्धमिति कल्प्यौ । यतो वर्गयोर्वधो वर्गो भव- तीति तथा कल्पितौ । एको वर्गः १ । अन्यो वर्गार्धम् २ । अनयोर्घा- तो २ द्विगुणः ४ अयं प्रथमः । अयमल्पराशिवर्गः । तयोरेव वर्गयोगः ५ । अयं द्वितीयो राशिः । अथवैको वर्गः ९ । अन्यो वर्गार्धम् २ । अनयोर्घातो १८ द्विगुणः ३६ । अयमल्पराशिवर्गः । अथ तयोरेव वर्गयोगः ८५ । अयं द्वितीयो राशिः । एतौ व्यक्तौ यावत्तावद्वर्गगुणौ कल्पितौ । प्रथमोदाहरणे (१) वि०—कल्प्यते का² = या - इ², नी² = या + इ² तदाऽनयोरन्तरम् नी² - का² = २इ² । अथ यदि नी - का = इ तदा नी + का = २इ² / इ , नी - का = इ २इ²/इ - इ २इ²/इ + इ ततः का = ─────────, नी = ───────── २ २ ताभ्यां या = का² + इ² = नी² - इ², अतः उपपन्नं मूलदत्वं गद्यमिति ।