बीजगणितम् (भास्कराचार्य द्वितीय - प्राचीन भारतीय समीकरण एवं बीजगणित सूत्र सटीक)

क्षेत्रस्य फलम् = १५० एतद्विषमत्र्यस्रचतुष्टयेन कर्णसमं चतु- र्भुजं क्षेत्रमन्यत् कर्णज्ञानार्थं कल्पितम् । (१) वि० श०—भास्कराचार्येणाद्यार्धवत् कल्पना कृता तावतैवातिपरिचि- ताऽऽसीत् तर्हि मध्यमाहरणसम्बन्धमात्रप्रदर्शनं ग्रन्थकृतां प्रागुक्त पूज्यचरणानामिह वा- सना रुचिरा । (२) वि० श०—अत्र रूढस्य तत्कृतियोगपदमिति व्यक्तगणिताज्जायमानस्या- स्य भुजकोटिवर्गयोगपदरूपाया सुखैवोपपत्तिरत्रानेति । (३) वि० श०—रे० ६ प्र० ८ मी-प्रतिज्ञावदिति । (४) वि० श०—सजातीये भवत इति ।

This is accurate, strictly follows the image, and fulfills all user requirements.अव्यक्तवर्गादिसमीकरणम् । ६९ इयं (१)कल्पना गणितेऽतिपरिचिता स्यात् । उदाहरणम् । [L

७८ बीजगणिते एवं मध्ये चतुर्भुजमुत्पन्नमथ कोटिभुजान्तरसमं भुजमानम् = ५ । अस्य फलम् = २५ । भुजकोटिग्धो द्विगुणस्त्र्यस्राणां चतुर्णां फलम् = ६०० । एतद्योगः सर्वं बृहत्क्षेत्रफलम् = ६२५ । एतद्यावत्तावद्वर्गसमं कृत्वा लब्धं कर्ण मानम् = २५ । यत्र व्यक्तस्य न पदं तत्र करणीगतः कर्णः । एतत्करणसूत्रे वृत्तम् । दो.कोट्यन्तरवर्गेण द्विघ्नो घातः समन्वितः । वर्गयोगसमः स स्याद्द्वयोरव्यक्तयोर्यथा ॥ १४ ॥ अतो लाघवार्थं (१)दोःकोटिवर्गयोगस्य पदं कर्ण इत्युपपन्नम्। तत्र तान्येव क्षेत्रस्य खण्डान्यन्यथा विन्यस्य दर्शनम् । (१) वि० रा०-दो कोट्यन्तरवर्गेण युतश्च द्विघ्नभुजकोटिघातस्तस्यैक्यस्य श्रुतिरिति ।

अव्यक्तवर्गादिसमीकरणम् ७१ उदाहरणम् । भुजात् त्र्यूनात् पदं व्येकं कोटिकर्णान्तरं सखे । यत्र तत्र वद क्षेत्रे दोःकोटि-(१)श्रवणाम्मम॥ १५ ॥ अत्र कोटिकर्णान्तरमिष्टम्=२। अतो विलोमेन भुजः=१२। तद्यथा गदितमिष्टम्=२। अस्य सरूपस्य ३ वर्गः=९। त्रियुतः=१२। अस्य वर्गः=१४४। तत्कोटिकर्णवर्गान्तरम्। अतो "राश्योर्वर्गान्तरं योगा- न्तरघातसमं स्यात्" वर्गो हि समचतुरस्रक्षेत्रफलम्। अयं किल सप्तवर्गः ४९। (१) वि० दा०-श्रवणं श्रुनिश्चयतः श्रवण इति विशद इति शिष्टप्रमुख परम्परीणः ।

७२ बीजगणिते अस्मात् पञ्चवर्गं २५ विशोध्य शेषस्य २४ दर्शनम् । इहान्तरं द्वौ २। योगो द्वादश १२। योगान्तरघातसम-२४ कोष्ठ- कानि वर्तन्ते । तद्दर्शनम् । इत्युपपन्नं "वर्गान्तरं योगान्तरघातसमम्" इति । अत इदं वर्गा- न्तरं १४४ कल्पितकोटिकर्णान्तरेण २ भक्तं जातम् = ७२ । अयं योगो द्विधाऽन्तरेणोनयुतोऽर्धित इति संक्रमणेन जातौ कोटिकर्णौ ३५, ३७। एवमेकेन भुजकोटिकर्णाः ७, २४, २५। त्रिभिः १२, १३५/६, १५३/६ । चतुर्भिर्वा २८, ९६, १०० । एवमनेकधा । एवं सर्वत्र । अस्य सूत्रं वृत्तम् । वर्गयोगस्य यद्राश्योर्युतिवर्गस्य चान्तरम् । द्विघ्नघातसमं स्यादुक्तयोरव्यक्तयोर्यथा ॥ १६ ॥ अत्र राशी ३, ५। अनयोर्युतिवर्गः=६४ । तयोर्वर्ग

अव्यक्तवर्गादिसमीकरणम्। ७३ तं स्वरूपाणि यथा— अव्यक्त करणसूत्रं वृत्तम्। चतुर्गुणस्य घातस्य युतिवर्गस्य चान्तरम्। राश्यन्तरकृतेस्तुल्यं द्वयोरव्यक्तयोर्यथा ॥ १७ ॥ अत्र राशी ३, ५। अनयोर्युतिवर्गात् चतुर्षु कोणेषु घातचतुष्टये- ऽपनीते मध्ये राश्यन्तरवर्गसमानि कोष्ठकानि दृश्यन्त इत्युपपन्नम्। १०

७४ बीजगणिते तद्दर्शनम् । उदाहरणम् । चत्वारिंशद्युतिर्येषां दोःकोटिश्रयसां वद । भुजकोटिवधो येषु शतं विंशतिसंयुतम् ॥ १८ ॥ अत्र किल भुजकोट्योर्वधो द्विगुणः = २४० । तद्युतिवर्गस्य वर्गयो- श्चान्तरं यो हि भुजकोट्योर्वर्गयोगः स एव कर्णवर्गः । अतो भुज- कोटियुतिवर्गस्य कर्णवर्गस्य चान्तरमिदं २४० योगान्तरघातसमं स्यात् । अत इदमन्तरं २४० योगेनानेन ४० भक्तं जातं भुजकोटियु- तिकर्णान्तरम् = ६ । "योगोऽन्तरेणोनयुतोऽर्धित" इत्यादिना संक्रमणेन जातो भुजकोटियोगः = २३ । कर्णः = १७ । "चतुर्गुणस्य घातस्य" इति भुजकोटियुतिवर्गादस्मात् ५२९ चतुर्गुणघातेऽस्मिन् ४८० शोधिते शेषं जातो दोःकोट्यन्तरवर्गः = ४९ । अस्य मूलम् ७

अव्यक्तवर्गादिसमीकरणम् । ७५ अनयोरन्तरम्=यां ११२ रू ३१३६। एतद्विघातस्यास्य ८४००/या १ । सममिति समच्छेदीकृत्य छेदगमे जातौ पक्षौ याव ११२ या ३१३६ रू ० । याव ० या ० रू ८४०० । एतौ द्वादशाधिकशतेनापवर्त्य शोधितौ जातौ याव १ या २८ रू ० । याव ० या ० रू ७५ । एतौ रूपेण संगुण्य चतुर्दशवर्गसमरूपाणि प्रक्षिप्य मूले या १ रू · १४ । या ० रू ११ । उक्तवच्छोधने कृते लब्धं यावत्तावन्मानम्=२५। अत्र विकल्पेन द्वितीयं कर्णमानम्=३ उत्पद्यते। एतदनुपपन्नत्वान्न ग्राह्यम्। अत्र पृच्छायां घातः=४२००। कर्ण-२५भक्तो जातो भुजकोटिवधः=१६८। तथैवं भुज

७६ बीजगणिते थोदाहरणमानीयते । अव्यक्तकल्पनया तु महती क्रिया भवति । इति भास्करीये बीजगणितेऽव्यक्तवर्गादिसमीकरणं (एकवर्णसम्ब- न्धि मध्यमाहरण) समाप्तम् । ─────────────────────── अथानेकवर्णसमीकरणं बीजम् । यत्र सूत्रं सार्धवृत्तत्रयम् । आद्यं वर्णं शोधयेदन्यपक्षा- दन्यान् रूपाण्यन्यतश्चाद्यभक्ते । पक्षेऽन्यस्मिन्नाद्यवर्णोन्मितिः स्याद्- वर्णस्यैकस्योन्मितीनां बहुत्वे ॥ १ ॥ समीरतच्छेदगमे तु ताभ्य- स्तदन्यवर्णोन्मितयः प्रसाध्याः । अन्त्योन्मितौ कुट्टविधेर्गुणाप्ती ते भाज्यतद्भाजकवर्णमाने ॥ २ ॥ अन्येऽपि भाज्ये यदि सन्ति वर्णा- स्तन्मानमिष्टं परिकल्प्य साध्ये । विलोमकोत्थापनतोऽन्यवर्ण- मानानि भिन्नं यदि मानमेवम् ॥ ३ ॥ भूयः कार्यः कुट्टकोऽत्रान्त्यवर्णं तेनोत्थाप्योत्थापयेद्व्यस्तमाद्यन् ॥ इदमनेकवर्णसमीकरणं बीजम् । यत्रोदाहरणे द्वित्र्यादयोऽव्यक्तर- शयो भवन्ति तेषां यावत्तावदादयो वर्णा मानेषु कल्प्यास्तेऽत्र पूर्वाचार्यैः कल्पिता । यावत्तावत्,-कालक,-नीलक,-पीतक,-लोहि- तक,-हरितक,-श्वेतक,-चित्रक,-कपिलक,-पिङ्गलक,-धूम्रक,-पाटलक,

= क^२ + २ भु.को, अतः   यो^२ - २यो.क = २ भु. को = २ ष / क   अतः
यो^२क - २ यो. क^२ = २ व. ∴ २क^२. यो - यो^२. क = - २ व ।
अतः क^२ - (यो ० क / २) + (यो / ४)^२ = (यो / ४)^२ - ष / या . ∴ क - यो / ४ = य . ∴ क =
+ प  यो / ४ - अतो विशेषोऽयमुपपन्नम् ।

अनेकवर्णसमीकरणम् । •७७ शवलक,-श्यामलक,-मेचक,-इत्यादि अथवा । (१) कादीन्यक्षराणि अ- व्यक्तानां संज्ञा असंकरार्थं कल्प्याः । अतः प्राग्वदुद्देशकालापविधिं कुर्वता गणकेन पक्षौ समौ कार्यौ पक्षा वा समाः कार्याः । ततः सूत्रावतारोऽयम् । तयोः समयोरेकस्मात् पक्षादितरपक्षस्याद्यं वर्णं शोधयेत् तदन्य- वर्णान् रूपाणि च इतरपक्षाच्छोधयेत् । तत आद्यवर्णशेषेणेतरपक्षे भक्ते भाजकवर्णोन्मितिः । बहुषु पक्षेषु ययोर्द्वयोः साम्यमस्ति तयोरेवं कृते सति अन्या उन्मितयः स्युः । ततस्तासून्मितिषु एकवर्णोन्मितयो यद्यनेकधा भवन्ति ततस्तासां मध्ये द्वयोर्द्वयोः समीकृतच्छेदगमेनाद्यं वर्णं शोधयेदित्यादिनाऽन्यवर्णोन्मितयः स्युः । एवं (क) यावत्तावत्स- म्भवः । ततोऽन्त्योन्मितौ भाज्यवर्णो योऽङ्कः स भाज्यराशिर्यो भाज- के स भाजकः । रूपाणि क्षेपः । अतः कुट्टकविधिना यो गुण उत्पद्यते तद्भाज्यवर्णमानं या लब्धिस्तद्भाजकवर्णमानं तयोर्मानयोर्दृढभाजक- भाज्याविष्टेन वर्णेन गुणितौ क्षेपकौ कल्प्यौ । ततः स्वस्वमानेन सक्षे- पेण पूर्ववर्णोन्मितौ वर्णावुत्थाप्य स्वच्छेदेन हरणे यल्लभ्यते तत्पूर्व- वर्णस्य मानम् । एवं विलोमकोत्थापनेतोऽन्यवर्णमानानि भवन्ति । यदि त्वन्त्योन्मितौ द्वयादयो वर्णा भवन्ति तदा तेषामिष्टानि मानानि कृत्वा स्वस्वमानैस्तानुत्थाप्य रूपेषु प्रक्षिप्य कुट्टकः कार्यः । अथ यदि विलोमकोत्थापने क्रियमाणे पूर्ववर्णोन्मितौ तन्मि- तिर्भिन्ना लभ्यते तदा कुट्टकविधिना यो गुण उत्पद्यते सक्षेपः स भाज्यवर्णमानं तेनान्त्यवर्णमानेषु तं वर्णमुत्थाप्य पूर्वोन्मितिषु विलो- मकोत्थापनप्रकारेणान्यवर्णमानानि साध्यानि । इह यस्य वर्णस्य यन्मानमागतं व्यक्तमव्यक्तं व्यक्ताव्यक्तं वा तस्य मानस्य व्यक्ताङ्केन गुणने कृते तद्वर्णाक्षरस्य निरसनमुत्थापनमुच्यते । उदाहरणानि । माणिक्यश्यामलनीलमौक्तिकमितीरिति ॥ १ ॥ (१) वि०सं०-"अथ या-का-दीन्यक्षराणि" इति पाठो युक्तः यतो "नामैकदेशग्र- हणे नामग्रहणम्" इत्यतः या,का,नी,पी,इत्यादीन्यक्षराणि अव्यक्तानां संज्ञा असंकरार्थं पृथग्भूतार्थं कल्प्या इति । अत्र "अथवा कादीन्यक्षराणि" क, ख, ग-इत्याद्यक्षराणि एवमर्थं विधाय परम्परात्- पाठः स्वीक्रियते इति विद्वद्भिर्विवेचनीयम् । (क) वि.सं.-"एवं तावद्यावत्संभवम्" इति साधुः पाठः ।

७८ बीजगणिते अथ माणिक्यादीनां मौल्यानि यावत्तावदादीनि प्रकल्प्य तद्गु- णरत्नसंख्यां च कृत्वा रूपाणि च प्रक्षिप्य समशोधनार्थं न्यासः—या ५ का ८ नी ७ रू ९० । या ७ का ९ नी ६ रू ६२ । आद्यं वर्णं शोधयेदित्यादिना जाता यावत्तावदुन्मितिः या = का १̇ नी १ रू २८ २ इयमेकैव, एकत्वादियमेवान्यतोऽद्य कुट्टकः कार्यः । इह भाज्ये वर्णद्वयं वर्त्ततेऽतो नीलकमानमिष्टं रूपं १ कल्पितम् । अनेन नीलक- मुत्थाप्य रूपेषु प्रक्षिप्य जातम् या = का १̇ रू २९ २ अतः कुट्टकविधिना "हरतष्टे धनक्षेपे"—इत्यादिना गुजाती सक्षेपे पी २ रू १ । पी १̇ रू १४ । अत्र शून्येन पीतकमुत्थाप्य जातानि माणिक्यादीनां मौल्यानि १४, १, १ । अथवैकेन १३, ३, १ । द्वाभ्यां वा १२, ५, १ । त्रिभिर्वा ११, ७, १ । एवमिष्टवशादानन्त्यम्(१) । उदाहरणम् । एको ब्रवीति मम देहि शतमिति ॥ २ ॥ अत्र धने या १, का १ । परधनाच्छतमपास्य पूर्वधने शतं प्रक्षि- प्य जातं या १ रू १००, का १ रू १००̇ परधनादाद्यं द्विगुणमिति परधनेन द्विगुणेन समं कृत्वा लब्धा यावत्तावदुन्मितिः या = का २ रू ३००̇ पुनराद्यधनाद्दशस्वपनीतेषु परधने क्षिप्तेषु जातम् या १ रू १०̇ । का १ रू १० । (१) वि०सं०—चतुर्दशमिते पीतकमाने कल्पिते यामाने शून्यमत इष्टवशादान- न्त्यमित्यसमञ्जसमिव । उक्तोदाहरणे या = का १̇ नी रू २८ / २ अत्र भाज्यस्थवर्णयोर्वा का-मानमिष्टं परिकल्प्य यामानमानीयते तदेष्टवशादानन्त्यमिति साधु ।

अनेकवर्णसमीकरणम् । ७९ आद्यादपरः षड्गुण इति आद्यं षड्गुणं परसमं कृत्वा लब्धं यावत्तावदुन्मानम् या=का १ रु ७०/६ । अनयोः कृतसमच्छेदयोश्छेदगमे समीकरणं तत्रानेन वा एक- वर्णत्वात् पूर्वबीजेनागतं कालकवर्णमानम् का=१७० । अनेन यावत्तावदुन्मानद्वयेऽपि कालकमुत्थाप्य रूपाणि प्रक्षिप्य स्वच्छेदेन विभज्य लब्धं यावत्तावदुन्मानम् या=४० । उदाहरणम् । अश्वाः पञ्चगुणाङ्गमङ्गलमिता येषां चतुर्णां धना- न्युष्ट्राश्च द्विमुनिश्रुतीक्षितिमिता अष्टद्रिभूपावकाः । तेषामश्वतरा वृषा मुनिमहीनेत्रेन्दुसंख्याः क्रमात् सर्वे तुल्यधनाश्च ते वद सपञ्चाश्वादिमौल्यानि मे ॥ ३ ॥ अश्वाश्वादीनां मौल्यानि यावत्तावदादीनि प्रकल्प्य तद्गुणगुणि- तायामश्वादिसंख्यायां जातानि चतुर्णां धनानि । प्रध=या ५ का २ नी ८ पी ७ । द्विध=या ३ का ७ नी २ पी १ । तृध=या ६ का ४ नी १ पी २ । चध=या ८ का १ नी ३ पी १ । एतान् समानीत्येषां प्रथमद्वितीययोः साम्यकरणाल्लब्धा याव- त्तावदुन्मितिः या=का ५ नी ६ं पी ६ं/-२ । द्वितीयतृतीययोरप्येवं लब्धा यावत्तावदुन्मितिः या=का ३ नी १ पी १ं/३ । एवं तृतीयचतुर्थयोः या=का ३ नी २ं पी १/२ । पुनरासां मध्ये प्रथमद्वितीययोः समीकृतच्छेदगमे साम्यकरणेन लब्धा कालकोन्मितिः का=नी २० पी १६/९ । एवं द्वितीयतृतीययोरपि का=नी ८ पी ४/३ ।

८० बीजगणिते , अनयोः समच्छेदीकृतयोः साम्यकरणेन लब्धं नीलकोन्मानम् नी = पी ३१ / ४ । (१) अन्योन्मितौ कुट्टविधेर्गुणाप्ती इति कुट्टककरणेन लब्धो गुणकः सक्षेपः = लो ४ रु ० एतत् पीतकमानम् । लब्धिः = लो ३१ रु ० एतन्नी- लकमानम् । कालकोन्मानेन नीलकपीतौ स्वस्वमानेनोत्थाप्य स्वच्छे- देन विभज्य लब्धं कालकमानम् = लो ७६ रु ० । अथ यावत्तावन्माने कालकादीन् स्वस्वमानेनोत्थाप्य स्वच्छेदेन विभज्य लब्धं यावत्ताव- न्मानम् = लो ८५ रु ० । लोहिते रूपेणैकेनोत्थापिते जातानि यावत्ता वदादीनां परिमाणानि ८५, ७६, ३१, ४ । द्विकेनेष्टेन १७०, १५२, ६२, ८ । त्रिकेण २५५, २२८, ९३, १२ । एवमिष्टवशादानन्त्यम् । उदाहरणम् । (२) त्रिभिः पारावताः पञ्च पञ्चभिः सप्त सारसाः । सप्तभिर्नव हंसाश्च नवभिर्बर्हिणां त्रयम् ॥ ४ ॥ द्रम्मैर्व्याप्यते द्रम्मशतेन शतमानय । एषां पारावतादीनां विनोदार्थं महीपते ॥ ५ ॥ (१) वि० टी० — अत्र नीलकमानमभिन्नमपेक्षते चेत्तदंशं पीतकमानं चतुरर्हो न भवेत् तथा चतुरपवर्त्तनीयमप्यतो यदि पी = ४ । तदा नी = ३१, का = ७६, या = ८५ एव कुट्टकं विनाऽपीति । (२) वि० ३, ५, ७, ९ द्रम्माः । ५, ७, ९, ३ पक्षिणः । अत्र कपोतादीनां मूल्यानि क्रमेण या १, का १, नी १, पी १, इति कल्प्यते त्रैराशिकेन कपोतादीनां मानानि या ५ / ३ , का ७ / ५ , नी ९ / ७ , पी ३ / ९ तत्र या १ का १ नी १ पी १ रु ० / = रु १०० } इदमेकम् । या ५ / ३ + का ७ / ५ + नी ९ / ७ + पी ३ / ९ + रु ०

अनेकवर्णसमीकरणम् । ८१ या ०+का ०+नी ०+पी ०+रु १०० । इदमन्यत् समीकरण च जातम्। तत समच्छेदादिना जाते यावत्तावदुन्मिती या=का १ नी १ पी १ रु १०० का १४७ नी १३५ पी ३५ रु १०५०० या= --------------------------------- १०५ अनयोश्छेदगमेन जातौ पक्षौ का १०५ नी १०५ पी १०५ रु १०५०० का १४७ नी १३५ पी ३५ रु १०५०० नी ४० पी १४० रु ७००० समशोधनेन कालकोन्मिति का= ------------------------ (१) २८

ना १० पा ३५ रु १७५० ( १ ) वि०ज्ञा०— = ------------------------ अत्र "अन्येऽपि भा- ७ ज्ये—" इत्यतो नीलकरपीतकयोरन्यतरस्य व्यक्तमानकल्पनमुचितम् । तत्र पूर्वं कल्पित पीतकसम-निरवयवमयूरमूल्यलब्धा मयूरा आपि निरवयवा शतान्त र्वर्त्तिनस्त्रिगुणिताङ्क समाना एव । अथ 'शतेन शतमानय' इति नियमात् त्रिंश त्सम पीतकमाने कल्पितेऽसगतिरत पा=३३ तदा नी १० ( रु ३३ X ३५ ) रु १७५० नी १० रु ५९५ का = --------------------------------- = ---------------- अत्र 'क्षेपा- ७ ७ भायोऽथ वा यत्र क्षेप शुद्धेद्भरोद्धृत ।" इत्यतो वल्ल्यादिविडम्बनां विनैव लब्धिगुणी ८५ । ० वा { ल=रु ८५ । } संक्षेपौ { लो १० रु ८५ = का । } अत्र षट्पर्यन्त { गु=रु ० } { लो ७ रु ० = नी । } लोहितकमाने कल्पितेऽसगतिरतो यदि लो = ७ तदा { का = १५ { नी = ४९ { पी = ३३ उत या = ३ ( १ ) । यदि लो = ८ तदा { का = ५ { नी = ५६ अत या = ६ ( २ ) । { पी = ३३ नी १० रु ४९० अथ यदि पी = ३६ तदा का = -------------- अत ७ का = लो १० रु ७० । अत्र यदि लो = १ तदा { का = ४० नी = लो ७ रु ० । { नी = २१ २२

८२ बीजगणिते अतः या = ३ ( ३ ) । " क्षे = ४ " { का = १० नी = २८ " या = ६ ( ४ ) । " क्षे = ५ " { का = १० नी = ३५ " या = ९ ( ५ ) । " क्षे = ६ " { का = १० " या = १२ ( ६ ) । नी = ४२ नी १० रु १८५ अथ यदि पी = १९ तदा का = ------------ अतः ७ का = क्षे १० रु ५५ | अत्र यदि क्षे = १ तदा { का = ४५ नी = क्षे ७ रु ० | नी = ७ अतः या = ९ ( ७ )* | " क्षे = २ " { का = ३५ नी = १४ " या = १२ ( ८ ) | " क्षे = ३ " { का = २५ नी = २१ " या = १५ ( ९ ) | " क्षे = ४ " { का = १५ नी = २८ " या = १८ ( १० ) | " क्षे = ५ " { का = ५ [L20

अनेकवर्णसमीकरणम् । ८३ अतः या = ३३ (१५) ” लो = २ ” } का = ५ ” या = ३६ (१६) नी = १४ एवं पारावतादीनां शतान्तर्वर्तीनि निरवयवमूल्यानि षोडशधा, ततः शतान्तर्व- र्तिनः पक्षिणोऽपि तन्मूल्यलब्धाः षोडशधैव । नी १० पी ३५ रू १७५० अथ पूर्वदर्शितकालकमानम् = का = ----------------------- ७ १७५० - १० नी - ३५ पी ३ नी = ----------------------- = २५० - ५ पी - नी - ----- ७ ७ अतो नीलकमानं सप्तगुणमेव भवेदतः कल्प्यते यदि नी = ७ तदा का = २५० - ५ पी - १० = २४० - ५ पी । ” नी = १४ ” का = २५० - ५ पी - १४ - ६ = २३० - ५ पी । ” नी = २१ ” का = २५० - ५ पी - २१ - ९ = २२० - ५ पी । ” नी = २८ ” का = २५० - ५ पी - २८ - १२ = २१० - ५ पी । ” नी = ३५ ” का = २५० - ५ पी - ३५ - १५ = २०० - ५ पी । ” नी = ४२ ” का = २५० - ५ पी - ४२ - १८ = १९० - ५ पी । ” नी = ४९ ” का = २५० - ५ पी - ४९ - २१ = १८० - ५ पी । ” नी = ५६ ” का = २५० - ५ पी - ५६ - २४ = १७० - ५ पी । प्रथमं नी = ७ कल्पिते यदि तत्र पीतकमानं किमपि त्रिगुणितमेव तत् षट्त्रिंशत्- पञ्चासप्ततिरेवातो यदि पी = ३९ ” का = ४५ अतः या = ९ (१) ” पी = ४२ ” का = ३० ” या = २१ (२) ” पी = ४५ ” का = १५ ” या = ३३ (३) यदि पी = ३९ ” नी = १४ तदा का = ३५ अतः या = १३ (४) ” पी = ४२ ” नी = १४ ” का = २० ” या = २५ (५) ” पी = ४५ ” नी = १४ ” का = ५ ” या = ३७ (६) यदि पी = ३६ ” नी = २१ तदा का = २२० - ५ × ३६ = ४० अतः या = १ (७)

रूपचतुष्टय? Wait, if it was 4 values, why does footnote say १, २, ३, ४, ५? Wait! Footnote says: अत्र पीतकस्य, १, २, ३, ४५ ।Wait, is it४, ५or४?Look at footnote:१, २, ३, ४, ५ ।Wait, could L15 sayरूपपञ्चकं? Look at L15: रू प च तु ष्ट यं->रूपचतुष्टयं! Yes, it literally spells रूपचतुष्टयं! Wait, why रूपचतुष्टयं? In Bhaskara's Bijaganita, original text might have said रूपचतुष्टयं(taking 1, 2, 3, 4), and the commentator added 5! Notice the footnote starts with:( १ ) वि—(वि = टिप्पणीकार/विद्वज्जन/विवरण). The commentator writes:अत्र पीतकस्य, १, २, ३, ४, ५ । एभि रुत्थापने कृते जाता पञ्चविधा कालकोन्मितयYes, "वि—अत्र पीतकस्य..." is the footnote comment on(१)रूपचतुष्टयं! And पञ्चविधा` because he included 5! That explains it perfectly!

Let's check पञ्चविधा कालकोन्मितय:

अनेकवर्णसमीकरणम् । ८५ कल्पितम्। अनेन पीतकमुत्थाप्य रूपेषु प्रक्षिप्य जातम् का=नी २ रू १४ (१) अतः कुट्टकविधिना लब्धिगुणौ सक्षेपौ लो २ रू १४=ल० लो १ रू ०=गु० यावत्तावदुन्माने स्वस्वमानेन कालकादीनुत्थाप्य स्वस्वच्छेदेन विभज्य लब्धं यावत्तावन्मानम् या=लो १ रू २ । लोहितकमिष्टं रूपत्र- येणोत्थाप्य जातानि यावत्तावदादीनां मानानि १, ८, ३, ४ । एभिर्मौ- ल्थानि जीवाश्चोत्थापिताः (पारावतादयः शतान्तर्वर्त्तिनः) । पक्षिणः ५, ५६, २४, १२ । मौल्यानि ३, ४०, २१, ३६ । अथवा चतुष्केणेष्टेन मानानि २, ६, ४, ४ । उत्थापिते जाताः पक्षिणः शतान्तर्वर्त्तिनः १०, ४२, ३६, १२ । मौल्यानि ६, ३०, २८, ३६ । अथवा पञ्चकेन मानानि ३, ४, ५, ४ । एभिरुत्थापने कृते जाताः पृ १५, २८, ४५, १२ । } एवमिष्टवशादनेकधा (२) । मौ ९, २०, ३५, ३६ । } उदाहरणम् । षड्भक्तः पञ्चाग्रः पञ्चविभक्तो भवेच्चतुष्काग्रः । चतुरुद्धृतस्त्रिकाग्रो द्वयग्रस्त्रिसमुद्धृतः कः स्यात् ॥ ६ ॥ अत्र राशिः या १ । अयं षड्भक्तः पञ्चाग्र इति षड्भिर्भागे ह्रिय- नी = लो १ रू० , लो १ रू० , लो १ रू० , लो १ रू० , लो १ रू०, पी = लो ० रू१ , लो ० रू२ , लो ० रू३ , लो ० रू४ , लो ० रू५ अत्र संख्यात्मकं धनमानार्थं प्रथममानत्रयमकिञ्चित्करं चतुर्थे लोहितकस्य ३, ४, ५, ६ एभिरुत्थापने कृते चत्वारि मानानि, पञ्चमे च लोहितकस्य १, २, साभ्यामुत्थापने कृते मानद्वयम् । एवं यावत्तावदादीनां षण्मानान्वेव भवन्ति भास्कर- प्रदर्शितगणितेन । (१) वि० टी०—यद्वा भाज्ये रूपमात्रं हरस्तत्र कुट्टकवचनमप्रमेय । भाज्य- स्याल्पत्वात्पूर्वं वर्णान्तरेणोत्थाप्य भाज्यपूर्ववर्णमानानि गुणेन हन्यन्ते । (२) वि० टी०—अत्र निष्पार षोडशौयेति ।

संक्षेपे" Then: ह ४ रू ३=लो । -> Wait, letter is ह or इ? Wait, look at line 18: "एतद्धरितकमानम्।" -> हरितक = ह! So the variable is हरितक, abbreviated as ह! Wait, look at the letter in L13: Is it ह? Wait, look at line 13: ह ४ रू ३=लो । Wait, let's check: ४ * ह + ३ = लो? If लो = ४ ह + ३: Then पी = (३ लो - १)/४ = (३(४ ह + ३) - १)/४ = (१२ ह + ९ - १)/४ = (१२ ह + ८)/४ = ३ ह + २. Look at line 14: ह ३ रू २=पी । EXACT MATCH! ह ३ रू २ = पी! So line 13 is ह ४ रू ३=लो । (wait, or is it ह ४ रू ३ = लो?) Wait, in line 13: ह ४ रू ३=लो । Wait, look at the letter before ४ in line 13: It looks like ह with a loop, wait, or इ? No, it's ह!

अनेकवर्णसमीकरणम् । ८७ अयमेव पञ्चापहतश्चतुरग्र इति लब्धं नीलकं प्रकल्प्य तद्गुणित- हरेण स्वाग्रयुतेन नी ५ रु ४ समीकरणेन जातं कालकमानम् का = (नी ५ रु १ं) / ६ । एतत् कालकमानं भिन्नं लभ्यत इति कुट्टकेनाभिन्नं कालकोन्मा- नम् = पी ५ रु ४ । अनेन पूर्वराशिम् का ६ रु ५ उत्थाप्य जातम् = पी ३० रु २९ । पुनरयं चतुर्भक्तस्त्र्यग्र इति प्राग्वत् साम्ये कृते जातम् पी = (लो ४ रु २ं६) / ३० = (लो २ रु १ं३) / १५ अत्रापि कुट्टकाल्लब्धं पीतकमानम् पी = ह २ रु १ । अनेन पूर्वराशौ पी ३० रु २९ इत्थापिते जातो राशिः ह ६० रु ५९ । पुनरयं त्रिभक्तो द्यग्र इति स्वत एव जातः । शून्यैकाद्युत्थापनाद्बहुधा । उदाहरणम् । स्युः पञ्चसप्तनवभिः क्षुण्णेषु हृतेषु केषु विंशत्या । रूपोत्तराणि शेषाण्यवाप्तयश्चापि शेषसमाः ॥ ७ ॥ अत्र शेषाणि या १, या १ रु १, या १ रु २ । एता एव लब्धयः । प्रथमो राशिः = का १ । अस्मात् पञ्चगुणिताद्राशेर्लब्धिगुणं हरमपास्य जातं शेषम् का ५ या २०ं एतद्यावत्तावत्समं कृत्वा लब्धा यावत्ताव- दुन्मितिः या = का ५ / २१ अथ द्वितीयो राशिः नी १ । अस्मात् सप्तगुणाद्रूपाधिकयावत्ता- वद्गुणहरमपास्य जातम् नी ७ या २०ं रु २०ं । एतदस्य या १ रु १ समं कृत्वा लब्धा यावत्तावदुन्मितिः या = (नी ७ रु २ं१) / २१ एवं तृतीयः = पी १ । अस्मान्नवगुणाल्लब्धि-या १ रु २ गुणहर- मपास्य शेषम् पी ९ या २०ं रु ४०ं । इदमस्य या १ रु २ समं कृत्वा लब्धा यावत्तावदुन्मितिः या = (पी ९ रु ४२ं) / २१ । आसां प्रथमद्वितीययोर्द्वितीयतृतीययोः साम्यकरणेन लब्धे काल कनीलकयोन्मिती

८८ बीजगणिते नी ७ रू २१ पी ९ रू २१ । फा = ──────── नी = ──────── ५ ७ अत्र नीलकोन्मितौ कुट्टकेन नीलपीतकयोर्माने कृत्वा काल- कोन्मितौ नीलके स्वमानेनोत्थापिते कालकमानं भिन्नं लभ्यत इति कुट्टकेनाभिन्ने कालकलोहितकयोर्माने । का = ह ६३ रू ४२ । लो = ह ५ रू ४ । अत्र नीलपीतकयोर्लोहितके स्वमानेनोत्थापिते जाते तन्माने नी = ह ४५ रू ३३ । पी = ह ३५ रू २८ । यथा क्रमेण न्यासः । का = ह ६३ रू ४२ । नी = ह ४५ रू ३३ । पी = ह ३५ रू २८ । अथ यावत्तावदुन्मितिषु कालकादीन् स्वस्वमानेनोत्थाप्य स्व- च्छेदेन विभज्य लब्धं यावत्तावन्मानम् या = ह १५ रू १०। अत्र शेषसमे फले न हि शेषं भागहाराधिकं भवितुमर्हति । अतो हरितकं शून्येनो- त्थाप्य जाता राशयः ४२, ३३, २८ । अग्राणि च १०, ११, १२ । एता एव लब्धयः । उदाहरणम् । एकाग्रो द्विहतः कः स्याद् द्विकाग्रस्त्रिसमुद्धृतः । त्रिकाग्रः पञ्चभिर्भक्तस्तद्वदेव हि लब्धयः ॥ ८ ॥ अत्र राशिः या १ । अयं द्विहत एकाग्र इति तत्फलं च द्विहतमे- काग्रमिति फलप्रमाणम् फा २ रू १ । एतद्गुणं हरं स्वाग्रेण युतं तस्य या १ समं कृत्वा लब्धं यावत्तावन्मानम् = का ४ रू ३ । अस्यै- कालापो घटते पुनरपि त्रिहतो द्वयग्र इति तत्फलं च नी ३ रू २ । एतद्गुणहरमग्रयुतं च नी ६ रू ८ इदमस्य का ४ रू ३ समं कृत्वा कालकमानं भिन्नं कुट्टकेनाभिन्नं जातम् पी ९ रू ८ अनेन काल- कमुत्थाप्य जातो राशिः पी ३६ रू ३५ । अस्यालापद्वयं घटते । पुनरयं पञ्चभक्तस्त्र्यग्र इति तत्फलं च लो ५ रू ३ । एवं हरगुणम्-