बीजगणितम् (भास्कराचार्य द्वितीय - प्राचीन भारतीय समीकरण एवं बीजगणित सूत्र सटीक)

तः(no, that's त्र). Look atअथात्रin line 15:अ थ ा त ् र. The त्रhas a loop or slant:त्र. In line 18, after ना, is it व? It is व! ना व ा ह ा र->नावाहार? Wait, why would it be नावाहार? Wait, could it be नानाहार? Wait, what if it's भाज्यहारौ->हारौ->नानाहार? Wait, let's look at ना: could it be भा? No, it's ना. Wait, look at: नावाहार इत्याचार्य्यकल्पना? Wait, could it be: नापहार? But there is a letter between नाandा? Wait, let's zoom in to maximum on line 18: मुद्दिष्टमेव" इत्यनेन नावाहार इत्याचार्यकल्पनाWait, look at the letter betweenनाandह: It is वा! ना वा ह ा र? Wait! Could it be नात्राहार? Wait, could it be नात्रापहार`

अनेकवर्णसमीकरणम् । ०५ विलोकनीयम् । मदीयस्वल्पनायुक्त्या च बहवः प्रश्नाः सुखेन साध्या भवन्तीति । अत्र मदीयप्रकारे क्षे = ५ । धनाना- ६, ८, १०० मपवर्त्तनम् = २ । तेन भा ५ क्षे १ / हार ततो गुणः = १, लब्धि. = २, इष्टाहतस्वस्वहारेण युक्ते इत्यनेन २५ इष्टं प्रकल्प्य गुणः ५१, लब्धिः १२७ ६ × १२७ = ७६२ ∴ ७६२ / ५१ = १४, ४८ / ५१ सर्वधनम् = ४८ × ५ + १४ = २५४ एवं सर्वत्र समानम् । अत्र विष्णुदैवज्ञोक्तं सूत्रम् । "(ग) शेषविक्रयहतेष्टविक्रयः शीतरश्मिरहितो भवेत् क्रयः । पुंधनादधिक इष्टविक्रयः कल्प्य इत्थमवगम्य धीमता" ॥ (ग) वि० श०-पञ्चशतकाः संत्वेति । अत्र प्रथमादिधनानि = प्र, द्वि, तृ । यत्र प्र > द्वि > तृ । अत्र क्रयमानम् = क = या । विक्रयमानम् = वि । फलानि समार्घेण क्रीत्वा विक्रीय च लब्धयः क्रमेण का, नी, पी । शेषमेककं पञ्चभिः पञ्चभिः पणैर्विक्रीतमेव सर्वे समधना अभूवन् । शेषविक्रयमानम् = शे । अतः समधनानि प्रथमलब्धिग्रहणात् ततो द्वितीयादिलब्धितः— सम = शे. प्र. क - का. शे. वि + का = शे. प्र. क - का (शे. वि - १) " = शे. द्वि. क - नी. शे. वि + नी = शे. द्वि. क - नी (शे. वि - १) " = शे. तृ. क - पी. शे. वि + पी = शे. तृ. क - पी (शे. वि - १) { (नी - का) (शे. वि - १) = क. शे (द्वि - प्र) । अतः { (पी - का) (शे. वि - १) = क. शे (तृ - प्र) । { (पी - नी) (शे. वि - १) = क. शे (तृ - द्वि) । अतः क = (नी - का) (शे. वि - १) / शे (द्वि - प्र) = (पी - का) (शे. वि - १) / शे (तृ - प्र) = (पी - नी) (शे. वि - १) / शे. (तृ - द्वि)

९६ बीजगणिते अत्र यदि भवेत् क = शे. वि - १ तदा नी - का = शे (द्वि - प्र)। एवम् पी - का = शे (तृ - प्र)। अथैवम् पी - नी = शे (तृ - द्वि) अतः नी - का = १०, पी - का = ४००। पी - नी = ३९०। पूर्वं समधनानि शे. प्र. क - का (शे. वि - १) = शे. द्वि. क - नी (शे. वि - १) = शे. तृ. क - पी (शे. वि - १)। क = शे. वि - १ अतः शे. प्र - का = शे. द्वि. - नी = शे. तृ. - पी अतः शे. प्र - का = ३० - का। शे. द्वि - नी = ४० - नी। शे. तृ - पी = ५०० - पी। यद्यन्तरम् ३० - का इत्यादि एकं कल्प्यते तदा का = २९, नी = ३९, पी = ४९९ तत्र सप = शे. वि - १ = क अत एव विष्णुदैवज्ञेन मतिमतोक्तं "शेषविक्रयहृतेष्टविक्रयः शीतरश्मिरहितो भवेत् कयः।" अथ यदि क = शे. वि - १ तदा प्र. क = प्र. शे. वि - प्र अतो विक्रयेण ह्रियते प्र. क / वि = प्र. शे. वि - प्र / वि = प्र. शे. - प्र / वि ततो यदि वि > प्र, द्वि, तृ, तदा का = प्र. शे - १ = २९ } अत्रापि यदि " नी = द्वि. शे - १ = ३९ } " पी = तृ. शे - १ = ४९९ } वि > प्र, द्वि, तृ तदैव पूर्वदर्शितसमधनरूपेषु का, नी, पी इत्येषां वर्णानां मानैः प्र. शे - १, द्वि. शे - १, तृ. शे - १ एभिस्तथाप्यते च प्रत्यक्षतः समताऽवलोक्य- तेऽतः "पृथगनाधिक इष्टविक्रयः कल्प्य इत्यमवगम्य धीमता" इत्युत्तरार्धमपि सुसं- गोपपन्नम्। अथ क = शे. वि - १ अतः वि = क + १ / शे = क + १ / ५ अत्र प्रथमलब्धिः का = २९ तत्र शेषफलानि अ, द्वितीयलब्धिः नी = ३९, अत्र शेषफ = इ, एवं तृतीयलब्धिः पी = ४९९, अत्र शेषफ = उ, अतः अ = सध - २९ / ५, इ = सध - ३९ / ५ उ = सध - ४९९ / ५ अतो निधीयते नवनवाब्धि-४९९ भ्योऽधिकेनैव सर्वधनेन भवितव्यम्। यस्मा- न्नवनवाब्धीन् विशोध्य पञ्चभिर्नि शेषा लब्धिर्भवेत् तथा कल्प्यते पञ्चाधिकनवनवाब्धि-

An exact, line-by-line transcription of the Sanskrit mathematics page into clean Devanagari text:

९८ बीजगणिते अत्र क्रयः या १ । विक्रय इष्टं दशाधिकशतम् ११० । क्रयः षड्गु- णितो विक्रयेण हृतो लब्धिः कालकः १ । लब्धिगुण हरं षड्गुणिता- द्भाशेरपास्य जातम् या ६ का ११० । इदं पञ्चगुण लब्धियुतं जाताः प्रथमस्य पणाः या ३० का ५४९/५५० । एवं द्वितीयतृतीययोरपि पणाः साध्यास्तत्र लब्धिरनुपातेन यदि पण्णां कालकस्तदाऽष्टानां शतस्य च किमिति लब्धिरणानां का ४/३ शतस्य च का ५०/३ । लब्धि- गुणं हरं भाज्यादपास्य शेषं पञ्चगुणं लब्धियुतं जाता द्वितीयस्य पणाः या १२०/३ का २१९४/३ । एवं तृतीयस्य या १५००/३ का २७४५०/३ । एते सर्वे समा इति समच्छेदीकृत्य छेदगमे प्रथमद्वितीयपक्षयोर्द्वितीय- [L

प्रकृत्या विषयो यथा स्यात्तथा सुधीभिर्बहुधा विचिन्त्यम् । बीजं मतिर्विविधवर्णसहायनी हि मन्दावबोधविधये विबुधैर्निजाऽऽद्यैः । विस्तारिता गणकतामरशांशुमद्भि- र्यां सैव बीजगणिताह्वयतामुपैता ॥ ३ ॥ (१) वि०-अत्र यावत्तावदुन्मितिद्वयं तन यावत्तावन्नीलयोर्मानं शून्यसममेकथैव भवति । अत आचार्यकल्पना न(ग)समी चीनेति । (ग) वि० टि०-अत्राचार्यकल्पनया केवलं कयमानम्=५४९ इत्याद्युक्तं प्रमादाधीनमेव

Everything is clear and accurate.अनेकवर्णमध्यमाहरणभेदाः । ९९ तृतीययोः समीकरणेन च लब्धा (१) यावत्तावदुन्मितिरुन्मुल्यैव या = का ५४९ / ३० । अत्र कुट्टकालुब्धं यावत्तावन्मानम् नी ५४१ रु ० । नीलकमैके- नोत्थाप्य जातः कय

१०० बीजगणिते यत्र पक्षयोः शोधने कृते सति अव्यक्तवर्गादिकमवशेषं भवति तत्र पूर्ववत् पक्षौ तदङ्केन निहत्येत्यादिना एकस्य पक्षस्य मूलं ग्राह्यम् । अन्यपक्षे यद्यव्यक्तवर्गः सरूपो वर्तते तदा तस्य पक्षस्य वर्गप्र- कृत्या मूले साध्ये । तत्र वर्णवर्गे योऽङ्कः सा प्रकृतिः । रूपाणि क्षेपः प्रकल्प्यः । एवं यत् कनिष्ठपदं तत् प्रकृतिवर्णमानं यज्ज्येष्ठं तस्य वर्गस्य मूलम् । अतस्तत् पूर्वपक्षमूलेन समं कृत्वा पूर्ववर्णमानं साध्यम् । अथ यद्यन्यपक्षे व्यक्तवर्गः साव्यकोऽव्यक्तमेव सरूपमरूपं वा वर्त्तते तदा वर्गप्रकृतेर्न विषयः कथं तत्र मूलमित्यत आह । वर्गप्रकृ- त्या इति । तदाऽन्यवर्णवर्गसमं कृत्वा प्राग्वदेकस्य पक्षस्य मूलं ग्राह्यं तदन्यपक्षस्य वर्गप्रकृत्या मूले साध्ये तत्रापि कनिष्ठं प्रकृतिवर्णमानं ज्येष्ठं तत्पक्षस्य पदमिति पदाना

अनेकवर्णमध्यमाहरणभेदाः । १०१ ज्येष्ठं तयोः प्रथमपक्षपदेन तुल्यं प्रद्योतयेत् प्रथमवर्णमितिस्तु साध्या ह्रस्वं भवेत् प्रकृतिवर्णमितिः सुधीभि- रेवं कृतिप्रकृतिरत्र नियोजनीया ॥ ५ ॥ उदाहरणम् । कौ राशीद्विगुणो राशिवर्गैः षड्भिः समन्वितः । मूलदो जायते बीजगणितज्ञ वदाशु तम् ॥ १ ॥ अत्र यावत्तावद्राशिर्द्विगुणो वर्गैः षड्भिः समन्वितः याव ६ या २ । एष वर्ग इति इति कालकवर्गेण समीकरणार्थं न्यासः—याव ६ या २ काव ० । याव ० या ० काव १ । अत्र समशोधने जातौ पक्षौ याव ६ या २, काव १ । अथैतौ षड्भिः संगुण्य रूपं प्रक्षिप्य प्राग्वत् प्रथमपक्षमूलम् या ६ रु १ । अथ द्वितीयपक्षस्यास्य काव ६ रु १ । वर्गप्रकृत्या मूले क २

१०२ बीजगणिते समशोधने कृते पक्षौ यावत्तावताऽपवर्थ्य रूपं प्रक्षिप्य प्रथमप- क्षमूलम् या २ रू १ । परपक्षस्यास्य काव १२ रू १ । वर्गप्रकृत्या मूले क २ ज्ये ७ वा क २८ ज्ये ९७ । कनिष्ठं कालकमानम् । ज्येष्ठमस्य या २ रू १ समं कृत्वा लब्धं यावत्तावन्मानम् ३ वा ४८ । स्वस्वमा- नेनोत्थापने कृते जातौ राशी १, ५ वा २०, ७६ इत्यादि । अथान्यत् सूत्रं सार्धवृत्तम् । (१) द्वितीयपक्षे सति सम्भवे तु कृत्याऽपवर्त्याथ पदे प्रसाध्ये । ज्येष्ठं कनिष्ठेन तदा निहन्याच्चेद्वर्गवर्गेण कृतोऽपवर्त्तः ॥ ६ ॥ कनिष्ठवर्गेण तदा निहन्याज्ज्येष्ठं ततः पूर्ववदेव शेषम् । स्पष्टार्थम् । (१) वि०-कल्प्येते समौ पक्षौ काव १ यावव. ६ । याव. ६ । अत्र प्रथमपक्षस्य मूलं का १ द्वितीयपक्षस्यास्य यावव. ६ । याव. ६ । मूलेन सम- मिति । तत्र द्वितीयपक्षस्य मूलं च का = √यावव. ६ । याव. ६ । = या √याव. ६ । ६ । अत इदं याव. ६ । ६ । मूलदं ततो वर्गप्रकृतिविषयो यथा को वर्गः ६, गुणः ६, युतो मूलद इति ह्रस्वं यावत्तावन्मानं ज्येष्ठं यस्य याव. ६ । ६ । मूलेन सममिति पूर्वपक्षस्य मूलं का = या √याव. ६ । ६ । = ह × ज्ये । एवं यदि का = √यावव × याव. ६ । याव. ६ । = याव √याव. ६ । ६ । अतस्तदा का = हव × ज्ये । एवं यदा का = √६. या⁶ + ६. या⁴ = या³ √६. या² + ६ = ह³ × ज्ये एवं बहुधा बुद्धिमाद्भिरूह्यमिति सर्वमुपपन्नम् ।

अनेकवर्णमध्यमाहरणभेदाः । १०३

उदाहरणम्।

यस्य वर्गकृतिः पञ्चगुणा वर्गशतोनिता। मूलदा जायते राशिं गणितज्ञ वदाशु तम् ॥ १ ॥

अत्र राशिः=या १ । अस्य वर्गकृतिः पञ्चगुणा वर्गशतेनोना यावव ५ याव १०० । अयं वर्ग इति कालकवर्गसमं कृत्वा गृहीतं कालकवर्गस्य मूलम् का १। द्वितीयपक्षस्यास्य यावव ५ याव १०० । यावत्तावद्वर्गेणापवर्त्य वर्गप्रकृत्या मूले क १० ज्ये २० वा क १७० ज्ये ३८०। कृत्याऽपवर्त्ते कृते "ज्येष्ठं कनिष्ठेन तदा निहन्यात्" इति जातम् ज्ये २०० वा ज्ये ६४६००। इदं कालकमानं कनिष्ठं प्रकृतिवर्णमानं स एव राशिः १० वा १७० ।

उदाहरणम्।

कयोः स्यादन्तरे वर्गो वर्गयोगो ययोर्घनः। तौ राशी कथयाश्वक्षि बहुधा बीजवित्तम ॥ २ ॥

अथ राशी या १, का १ । अनयोरन्तरं या १ं का १ नीलकवर्गसमं कृत्वा लब्धं यावत्तावन्मानम् का १ नीव १ं । अनेन यावत्तावदुत्थाप्य जातौ राशी का १ नीव१ं, का १ । अनयोर्वर्गयोगः काव २ नीवकाभा २

१०४ बीजगणिते (१)साव्यक्तरूपो यदि वर्णवर्गस्तदाऽन्यवर्णस्य कृतेः समं तम्। कृत्वा पदं तस्य तदन्यपक्षे वर्गप्रकृत्याऽप्तवदेव मूले। कनिष्ठमाद्येन पदेन तुल्यं ज्येष्ठं द्वितीयेन समं विदध्यात् ॥ ८॥ अत्र प्रथमपक्षमूले गृहीते सत्यन्यपक्षे साव्यक्ताऽव्यक्तकृतिः सरू- पारूपा वा भवति तत्राद्यपक्षस्यान्यवर्णवर्गसमीकरणं कृत्वा मूले। तयोः कनिष्ठमाद्यस्य पदेन ज्येष्ठं द्वितीयपक्षपदेन च समं कृत्वा वर्णमाने साध्ये । उदाहरणम्। त्रिकादियुत्तरश्रेढ्यां गच्छे क्वापि च यत् फलम्। तदेव त्रिगुणं कस्मिन्नन्यगच्छे भवेद्वद ॥ १ ॥ अत्र श्रेढ्योर्न्यासः । आदि=३, चय.=२, गच्छः-या १। आदिः=३, चय.=२, गच्छः=का १ । अनयोः (क)फले=याव १ या २, काव १ [L1

: 'ई' has that PLUS an anchor/curve on top! Now look at line 19: Does it have an anchor on top? YES, it has an anchor/curve on top! AND DOES IT HAVE A HORIZONTAL STROKE or another mark? Wait! Look at line 14, above the fraction: Between line 14 and 15: There is:

ई.²

४इ.² Wait! In line 14, someone wrote: कल्प्यते नी² = इ.² या² + ई. या. का + [?]² का² Wait, is that [?]² का² or is it ई. का²? Wait, look at line 14: Is the letter before का² in line 14: ई.² का² ? Wait, look at line 14:

• [?]² का² Wait, look at the mark above that letter: It's a '²'! And look at line 15: वा नी² = इ.² या² + ई. या. का + ई.² --- × का² + का² ( [?]² - ई.² / ४इ.² ) ४इ.² Wait! In line 15, inside the bracket: का² ( [?]² - ई.² / ४इ.² ) Wait, what is [?]²? Why would it be [?]² -

१०६ बीजगणिते शेषं ततः क्षेपकमुकवच्च मूले विदध्यादसकृत् समत्वे ॥ ९ ॥ सम्भाविते वर्णकृती तु यत्र तन्मूलमादाय च शेष कस्य । इष्टोद्धृतस्येष्टवियर्जितस्य दलेन तुल्यं हि तदेव कार्यम् ॥ १० ॥ यत्र प्रथमपक्षमूले गृहीते द्वितीयपक्षे वर्णयोः कृती सरूपे अरूपे वा भवतस्तत्रैकां वर्णकृतिं प्रकृतिं प्रकल्प्य शेषं क्षेपम् । तत “इष्टं ह्रस्वं तस्य वर्गः प्रकृत्या क्षुण्ण” इत्यादि करणेन क्षेपजातीयं वर्णमेका द्विहतं युतं वा स्वबुद्ध्या कनिष्ठपदं प्रकल्प्य ज्येष्ठं साध्यम् । यथ वर्गगता चेत् प्रकृतिरिति तदा “इष्टभक्तो द्विधा क्षेप” इत्यादिना मूले साध्ये यत्र भावितं च वर्त्तते तत्र “सम्भाविते वर्णकृती तु” इत्यादिना तदन्तर्वर्त्तिनो यावतो मूलमस्ति तावतो मूलं ग्राह्यम् । शेषस्येष्टोद्धृ- तस्येष्टवियर्जितस्य दलेन समं तदेव मूलं कार्यम् । यत्र तु द्वित्र्यादयो वर्णवर्गादयो भवन्ति तत्र द्वाविमौ वर्णौ मुक्त्वाऽन्येषामिष्टानि मानानि कृत्वा मूले साध्ये । एवं तदैव यदाऽसकृत् समीकरणं यदा तु सकृ- देव समीकरणं तदैकं वर्णं मुक्त्वाऽन्येषामिष्टानि मानानि कृत्वा प्रा- ग्वन्मूले । उदाहरणम् । तौ राशी वद यत्कृत्योः सप्ताष्टगुणयोर्युतिः । मूलदा स्याद्वियोगस्तु मूलदो रूपसंयुतः ॥ १ ॥ अत्र राशी या १, का १ । अनयोर्वर्गयोः सप्ताष्टगुणयोर्युतिः याव ७ काव ८ । अयं वर्ग इति नीलकवर्गेण समीकरणार्थं न्यासः— याव ७ काव ८ नीव ० । याव ० काव ० नीव १ । समशोधने कृते कालकवर्गाष्टकं प्रक्षिप्य गृहीतं नीलकपक्षस्य मूलम् नी १ । परपक्षस्यास्य याव ७ काव ८ । वर्गप्रकृत्या मूले तत्र या- वत्ताद्वर्गे योऽङ्कः सा प्रकृतिः शेषं क्षेपः काव ८ । “इष्टं ह्रस्वम्” इत्यादि- ना कालकद्वयमिष्टं प्रकल्प्य जाते मूले कनिष्ठम् का २ । ज्येष्ठम् का ६ । • ज्येष्ठं नीलकमानं कनिष्ठं यावत्तावन्मानं तेन यावत्तावदुत्थाप्य जातौ राशी का २, का १ । पुनरेतद्वर्गयोः सप्ताष्टगुणयोरन्तरं सैकं जातम् काव २० रू १ । एतद्वर्ग इति प्राग्वल्लब्धं कनिष्ठमूलम् २ वा ३६ । एतत्कालमानेनोत्थापितौ जातौ राशी ४, २ वा ७२, ३६

अनेकवर्णमध्यमाहरणभेदाः । १०७ उदाहरणम् । घनवर्गयुतिर्वर्गो ययो राश्योः प्रजायते । समासोऽपि ययोर्वर्गस्तौ राशी शीघ्रमानय ॥ २ ॥ अत्र राशी या १, का १ । अनयोर्वर्गघनयोर्योगः याव १ काघ १ अयं वर्ग इति नीलकवर्गसमं कृत्वा पक्षयोः कालकघनं प्रक्षिप्य नीलकपक्षस्य मूलम् नी १ । परपक्षस्यास्य याव १ काघ १ वर्गप्र- कृत्या मूले तत्र यावत्तावद्वर्गे योऽङ्कः सा प्रकृतिः शेषं क्षेपः प्रकल्प्यः । प्रकृति याव १ । क्षेपः काघ १ । “इष्टभक्तो द्विधा क्षेपः” इत्यादिना कालकेनेष्टेन जाते मूले क= (काव १ का १ं)/२, ज्ये= (काव १ का १)/२ । कनिष्ठ यावत्तावन्मानं तेनो- स्थाप्य जातौ राशी (काव १ का १ं)/२, का १ । अनयोः समासः (काव १ का १)/२ अयं वर्ग इति पीतक

गृहीतम् या ६ का ३। शेषस्यास्य काव २७। इष्टेन कालकेन हत- स्येष्टकालकवर्जितस्य च दलेन का १३। तन्मूलं समं कृत्वा लब्धं यावत्तावन्मानम् का ५/३। अनेन यावत्तावदुत्थाप्य जातौ राशी का ५/३, का १। अनयोर्वर्गयुतेः काव ३४/९ घातयुतायाः काव ४९/९ मू- लम् का ७/३। अनेन राशियोगो का ८/३ गुणितः काव ५६/९ सरूपो जात: (का ५६ रु ९)/९ । अमुं पीतकवर्गसमं कृत्वा समच्छेदीकृत्य पक्ष- योर्नव रूपाणि प्रक्षिप्य लब्धं कनिष्ठमूलम् ६ वा १८०। एतत्कालक- मानमित्यनेनोत्थापितौ जातौ राशी १०, ६। वा ३००, १८०। एवम- नेकधा। अथोदाहरणम्। राश्योर्ययोः कृतियुतिवियुती चैकेन संयुते वर्गौ। रहिते वा तौ राशी गणयित्वा कथय यदि वेत्सि ॥ ४ ॥ अथ प्रथमोदाहरणे कल्पितौ राशिवर्गौ याव ४, याव ५ रु १। अनयोर्योगवियोगौ रूपयुतौ मूलदौ भवतः। कथितप्रथमवर्गस्य मूल- मेको राशिः या २। द्वितीयस्यास्य याव ५ रु १ वर्गप्रकृत्या मूले क १ ज्ये २ वा क १७ ज्ये ३८। अनयोर्ज्येष्ठऽयं द्वितीयराशिः। ह्रस्वे यावत्तावन्मानेनोत्थाप्याद्यराशिः। एवं जातौ राशी २, २ वा ३४, ३८। अथ द्वितीयोदाहरणे तथैव कल्पितः प्रथमराशिः या २। द्विती- यस्यास्य याव ५ रु १। वर्गप्रकृत्या मूले क ४ ज्ये ९ वा क ७२ ज्ये १६१। कनिष्ठेन प्रथम उत्थापितो ज्येष्ठं द्वितीय इति जातौ राशी ८, ९ वा १४४, १६१। यत्रालपराशिद्विगुणेन यो राशिरूनितो युतश्च मूलदः स्यात् स तावद्व्यक्त एव द्वितीयो ज्ञेयः। तस्यानयनेऽप्युपायस्तत्तथा-

अनेकवर्णमध्यमाहरणभेदाः । १०९ कल्पित(१) राशिवर्गः ४ । अनेन द्वितीयराशिरूनितो युतश्च मूलदः स्यादित्ययं द्विगुणः ८ । वर्गान्तरमिदं कयोरपि च योगान्तर- घातसमम् । अतोऽन्तरमिष्टं २ कल्पितं "वर्गान्तरं राशिवियोगभक्तम्" इति जाते वर्गान्तरयोगमूले १, ३ । आद्यस्य वर्गे १ कल्पितराशि- वर्गं ४ प्रक्षिप्य द्वितीयस्य वर्गान् ९ वा विशोध्य जातो द्वितीयः ५ । अत्र चाल्पराशिवर्गस्तथा कल्प्यते यथा द्वितीयराशिरभिन्नः स्यात् । तथाऽन्यः कल्पितः ३६ । द्विगुणः ७२ । इदं वर्गान्तरम् । राश्यन्तर- षट्के कल्पिते जातौ ३, ६ । अन्यवर्गात् ८१ कल्पितं विशोध्य जातो द्वितीयः ४५ । चतुष्केण वा ८५ द्विकेन वा ३२५ । अथान्यथा कल्पने युक्तिः । राश्योर्घातेन द्विगुणेन वर्गयोगो युतो- नितोऽवश्यं मूलदः स्यात् । राशिवधो द्विगुणो यथा वर्गः स्यात् तथैको वर्गोऽन्यो वर्गार्धमिति कल्प्यौ । यतो वर्गयोर्वधो वर्गो भव- तीति तथा कल्पितौ । एको वर्गः १ । अन्यो वर्गार्धम् २ । अनयोर्घा- तो २ द्विगुणः ४ अयं प्रथमः । अयमल्पराशिवर्गः । तयोरेव वर्गयोगः ५ । अयं द्वितीयो राशिः । अथवैको वर्गः ९ । अन्यो वर्गार्धम् २ । अनयोर्घातो १८ द्विगुणः ३६ । अयमल्पराशिवर्गः । अथ तयोरेव वर्गयोगः ८५ । अयं द्वितीयो राशिः । एतौ व्यक्तौ यावत्तावद्वर्गगुणौ कल्पितौ । प्रथमोदाहरणे (१) वि०—कल्प्यते का² = या - इ², नी² = या + इ² तदाऽनयोरन्तरम् नी² - का² = २इ² । अथ यदि नी - का = इ तदा नी + का = २इ² / इ , नी - का = इ २इ²/इ - इ २इ²/इ + इ ततः का = ─────────, नी = ───────── २ २ ताभ्यां या = का² + इ² = नी² - इ², अतः उपपन्नं मूलदत्वं गद्यमिति ।

११० बीजगणिते, रूपयुतः द्वितीयो राशी रूपेणोनो द्वितीयोदाहरणे कार्यः। एवं कृत्वा तौ तथा राशिवर्गौ कल्पितौ यथाऽऽलापद्वयं घटते किन्तु प्रथमस्य मूलं गृहीत्वा द्वितीयस्य वर्गप्रकृत्या मूलमित्यादि पूर्वो- क्तमेव। एवमनेकधा। अथ कस्याप्युदाहरणम्। यत् स्यात् साप्तवधार्धतो घनपदं यद्वर्गयोगात् पदं यद्योगान्तरयोर्द्विकाभ्यधिकयोर्वर्गान्तरात् साष्टकात्। यच्चैतत्पदपञ्चकं तु मिलितं स्याद्वर्गमूलप्रदं तौ राशी कथयाशु निश्चलमते पङ्काष्टकाभ्यां विना ॥ ५॥ साप्तवधस्यार्द्धाद्धनपदं ग्राह्यम्। अत्रालापानां बहुत्वेऽसकृत् क्रिया कार्या सा न निर्वह्रतयतो बुद्धिमता तथा राशी कल्प्यौ यथैकेनैव वर्णेन सर्वेऽप्यालापा घटन्ते। तथा कल्पितौ राशी याव १ रू १, या २। अनयोः साप्तवधार्धतो घनपदम् या १। वर्गयोगात् पदम् याव १ रू १। द्विकयोगपदम् या १ रू १। द्विकान्तरपदम् या १ रू १̇। साष्टवर्गान्तरपदम् याव १ रू ३̇। एषां योगः याव २ या ३ रू २̇। अयं वर्ग इति कालकवर्गसमं कृत्वा पक्षावष्टभिः संगुण्य पञ्चविंशतिरूपाणि प्रक्षिप्य प्रथमपक्षस्य मूलम् या ४ रू ३। परपक्षस्यास्य काव ८ रू २५ वर्गप्रकृत्या मूले क ५ ज्ये १५ वा क ३० ज्ये ८५ वा क १७१ ज्ये ४९५। ज्येष्ठं पूर्वपदेन समं कृत्वा लब्धं यावत्तावन्मानम् ३, वा ४१/२, वा १२३। अनेनोत्थापितौ राशी ८, ६ वा १६७७/४, ४१ वा १५१२८, २४६। एवमनेकधा। अथवा यावत्तावद्वर्गो यावत्तावद्वयेन युत एको राशिः याव १ या २। यावत्तावद्वयं रूपद्वययुतमन्यराशिः या २ रू २। अथवा यावत्तावद्वर्गो यावत्तावद्वयोने एको राशिः याव १ या २̇। यावत्तावद्वयं रूपद्वयोनमन्यराशिः या २ रू २̇। अथवा यावत्ता- वद्वर्गो यावत्तावच्चतुष्टयं रूपत्रययुतं चैको राशिः याव १ या ४ रू ३। यावत्तावद्वयं रूपचतुष्टयं चान्यः या २ रू ४। एवं सहस्रधा गूढा मूढानां कल्पना यतः। कृपया कल्पनोपायस्तेषामेव च कथ्यते॥

अनेकवर्णमध्यमाहरणभेदाः । १११ अथ सूत्रं वृत्तद्वयम् । (१) सरूपमव्यक्तमरूपकं वा वियोगमूलं प्रथमं प्रकल्प्य । योगान्तरक्षेपकभाजिताद्यद्वर्गान्तरक्षेपकतः पदं स्यात् ॥ ११ ॥ (१) वि०-अत्र कल्प्यते योगान्तरक्षेपमानम् = क्षे, वर्गान्तरक्षेपमानम् = क्षे, वर्गयोगक्षेपमानम् = क्षे२ वियोगमूलम् = या, योगमूलम् = का तदा प्रश्नानुसारेण वियोगः = या² - क्षे, योगः = का² - क्षे अल्पराशिः = (का² - या²) / २ , बृहद्राशिः = (का² + या² - २क्षे) / २ बृहद्राशिवर्गः = (या⁴ + २ यो. का² - ४ क्षे.या² + का⁴ - ४ क्षे.का² + ४क्षे²) / ४ लघुराशिवर्ग = (या⁴ - २ या.²का² + का⁴) / ४ वर्गान्तरम् = (४या.²का² - ४ क्षे.या² - ४ क्षे.का² + ४ क्षे²) / ४ = या.²का² - क्षे.या² - क्षे.का² + क्षे² = या.²का² - २ या.का.क्षे + क्षे² - क्षे.या² + २ या.का.क्षे - क्षे.का² = ( या.का - क्षे )² - क्षे ( या² - २ या.का + का² ) अत्र यदि क्षे ( या² - २ या.का + का² ) इदं क्षेपमाने स्यात् तदाऽवश्यं निरव- यवमूलम् ( या.का - क्षे ) इदमागच्छेदिति । अतो वर्गान्तरक्षेपमानम् = क्षे१ = क्षे ( या² - २याका + का² ) अतः या² - २याका + का² = क्षे१ / क्षे मूलग्रहणेन का - या = √(क्षे१ / क्षे) अत उक्तं सरूपमव्यक्तमरूपकं वेत्यादि ।

११२ बीजगणिते ⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀क्षे₁⠀⠀⠀० परन्तु यदि क्षे = ० तथा क्षे₁ = ० तदा ── = ── । ⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀क्षे⠀⠀⠀⠀० ०/० अस्य मानं कियदित्यस्य ज्ञानं दुर्घटमतस्तदाऽऽचार्योक्तानुसारेण न राशिकल्पना समीचीनाऽतोऽस्माभिरन्यथा राशिकल्पनोपायो यतितः । कल्प्यते / क्षे₁ ⠀⠀⠀⠀⠀√ ─── = प ततः का = या + प । ⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀क्षे पूर्वराशिद्वयवर्गयोग ⠀⠀२ या४ + २ का४ - ४ क्षे.या२ - ४ क्षे.का२ + ४क्षे२ = ─────────────────────────── ⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀४ ⠀⠀२ या४ + २ (या + प)४ - ४ क्षे.या२ - ४ क्षे (या + प)२ + ४ क्षे२ = ────────────────────────────────── ⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀४ ⠀⠀२ या४ + २ या४ + ८ या.३प + १२ या.२प२ + ८ या.प३ + २प४ - ४क्षे.या२ = ────────────────────────────────────── ⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀४ ⠀⠀- ४ क्षे.या२ - ८ क्षे.या.प - ४ क्षे प२ + ४ क्षे२

• ─────────────────────────── ⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀४ ⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀प४ - २ क्षे या२ = या४ + २ या³. प + ३या२.प२ + २ या. प३ + ────────── ⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀२. ⠀⠀- क्षे.या२ - २ क्षे.या.प - क्षे.प२ + क्षे२ = या४ + २या³.प + या२ (३प२ - क्षे) + या(२प३ - २क्षे.प) - क्षे.या२ ⠀⠀प४
• ── + क्षे२ - क्षे.प२ ⠀⠀२ = या४ + २ या³.प + या२(३प२ - २क्षे ) + या ( २ प३ - २क्षे.प ) ⠀⠀प४
• ── + क्षे२ - क्षे.प२ ⠀⠀२ = या४ + २ या³. प + या.२प२ - या२.प२ + या२ ( ३ प२ - २ क्षे ) ⠀⠀+ या (२प३ - २क्षे.प ) + प४/२ + क्षे२ - क्षे प२ = ( या२ + या.प )२ + २ या२( प - क्षे ) + या ( २ प३ - २ क्षे.प ) ⠀⠀प४
• ── + क्षे२ - क्षे.प२ ⠀⠀२

अनेकवर्णमध्यमाहरणभेदाः । ११३ = ( या२ + याप )२ + २ ( प२ - क्षे ) ( या२ + या.प ) + ( प२ - क्षे )२

• या२ ( २ प२ - २ क्षे ) + या ( २ प३ - २ क्षे.प )

• २ (प२ - क्षे) (या२ - या.प) - (प२ - क्षे)२ + प४/२ + क्षे२ - क्षे.प२ = { ( या२ + या.प ) + ( प२ - क्षे ) }२ + या२ ( २प२ - २क्षे )

• २ ( प२ - क्षे ) या.प

• या२ ( २ प२ - २क्षे ) - २ ( प२ - क्षे ) या. प - ( प२ - क्षे )२ ,

• प४/२ + क्षे२ - क्षे.प२ = { (या२ + या.प) + (प२ - क्षे) }२ + प४/२ - प४ + २क्षे.प२ - क्षे२ + क्षे२ - क्षे.प२ = { ( या२ + याप ) + ( प२ - क्षे ) }२ - प४/२ + क्षे, अतो यदि वर्गयोगक्षेपमानम् प४/२ - क्षे, इदं भवेत् तदाऽवश्यं निरवयवं मूलम् ( या२ + याप ) + ( प२ - क्षे ) इदं स्यात् । तथा कृते जातं वर्गयोगक्षेपमानम् । = क्षे२ = प४/२ - क्षे, ∴ प४ = २ ( क्षे२ + क्षे, ) ततः प = ४√ २ ( क्षे२ + क्षे, ) अनेन मदुक्तमिदम् • "वर्गान्तरक्षेपकसंमितियुता क्षेपेण कल्पोर्युतिजेन ये स्त । द्विघ्न्या पदं तत्पदयुग्विभोगे मूलं युतेर्मूलमतस्तयोर्मिती" ॥ सूत्रमुपपद्यते । अत्र मदीयः प्रश्नः । (१) यत् स्याद्द्व्यत्यवधार्धतो घनपदं वर्गान्तराधात् पदं (१) वि० कृ० - "सहपमध्यमभक्तकं वा वियोगमूलं प्रथमं प्रकल्प्य ।" ततः "वर्गान्तरक्षेपकसंमितियुता" इत्यादिना या १ रू १ वियोगमूले कल्पिते योगमूलम् = १५

११४ बीजगणिते

यद्योगात् पदमन्तरादपि पदं महत्तयोः १) स्यात् पदम् । हस्त्यैर्युतितोऽथ सर्वपदता योगे वियोगे भवेद्— विद्वन्मन्द एव ही पद सपादस्तैह चेत् ते गति ॥ अत्र राश्यानयने ह्यस्मादेकसूत्रं व्यभिचरति मदीयसूत्रं चाचार्य्योदाहरणदो १ रपान्यव्यभिचारीति सुधीभिरेतद् विभावनीय मिति । अथ यो योगमूलवियोगमूलयोरन्तरज्ञानाय सकृत् प्रकारान्तरमतीव चमत्कारकर मिदं चिन्त्यम् । पातेऽथ षडंशोनयुते च पाते येनैव भक्ते घनमूलदम् । योगान्तरशेरकलब्धयोर्वैदे नभाइस्त पदं तद् ॥ अस्योपपत्ति २) राशिद्वयेन सुगमतया न लिखिताऽस्माभिः । अत्रात्र मदीयः प्रश्नः । अनु यौ पद सौ राशी रूपगुणयोगमंदा । वर्गयोगेस्त्रिभिः स्याद्रूपमूलप्रदा शरो य ॥ अस्य भङ्गः । ० (३) त्रि २ रूपयथशेरंहताऽपयेषयोौ हतः— उक्येन प्रथमा भवन्त्युत वियोहस्य तम् । स्याद् -----------------------------------