बीजगणितम् (भास्कराचार्य द्वितीय - प्राचीन भारतीय समीकरण एवं बीजगणित सूत्र सटीक)

$y=17$: $xy = 187$. $x+y = 28$. $x^2+y^2 = 121 + 289 = 410$. Sum = $187 + 28 + 410 = 625$. $\sqrt{625} = 25$. $25 + x + y = 25 + 28 = 53$! Yes! 11 and 17 give 53!

Line 17: एवमेकस्मिन् व्यक्ते राशौ कल्पिते सति बहुनाऽऽयासेनाभिन्नौ

Line 18: राशी ज्ञायेते।

Line 19: अथ तौ यथाऽल्पायासेन भवतस्तथोच्यते। तत्र सूत्रं सार्धवृत्तद्वयम्।

Line 20: भावितं * पक्षतोऽभीष्टात् त्यक्त्वा वर्णौ सरूपकौ।

Line 21: अन्यतो भाविताङ्केन ततः पक्षौ विभज्य च ॥ २ ॥

Line 22: Horizontal separator line.

Line 23: * यदि इ. या + ई का + रु = या. का., यत्र यावत्तावत्प्रकट्यते, व्यभिन्ने स्तः । Wait, let's look at `

भावितम् । १२५ वर्णाङ्काहतिरूपैक्यं भक्त्वेष्टेनेष्टतत्फले । एताभ्यां संयुतावूनौ कर्त्तव्यौ स्वेच्छया च तौ ॥ ३ ॥ वर्णाङ्कौ वर्णयोर्माने ज्ञातव्ये ते विपर्ययात् । समयोः पक्षयोरेकस्माद्भावितमपास्यान्यतो वर्णौ रूपाणि च ततो भाविताङ्केन पक्षावपवर्त्य द्वितीयपक्षे वर्णाङ्कयोर्घातं रूपयुतं केनचिदिष्टेन विभज्य तदिष्टं तत्फलं च द्वे अपि वर्णाङ्काभ्यां स्वेच्छया युक्ते सती वर्णयोर्माने विपर्ययेण ज्ञातव्ये । यत्र कालकाङ्को योजित- स्तद्यावत्तावन्मानं यत्र यावत्तावदङ्कस्तत्कालकमानमित्यर्थः । यत्र तु इयत्तावशादेवं कृते सत्यालापो न घटते तत्रेष्टफलाभ्यां वर्णाङ्कावूनीतौ व्यत्ययान्माने भवतः । अथ प्रथमोदाहरणम् । चतुस्त्रिगुणयो राश्योः संयुतिर्द्वियुता तयोः । राशिघातेन तुल्येति ॥ तत्र यथोक्ते कृते पक्षौ { या ४ का ३ रू २ । वर्णाङ्काहतिरूपैक्यम् { या.का.भा १ १४ एतदेकेनेष्टेन हृतं जाते इष्टफले १, १४ । एते वर्णाङ्काभ्यां ४, ३ स्वेच्छया युते जाते यावत्तावत्कालकमाने ५, १८ वा १७, ५ । द्विकेन ५, ११ वा १०, ६ । अस्योपपत्तिः । सा च द्विधा सर्वत्र स्यादेका क्षेत्रगताऽन्या राशिगतेति । तत्र क्षेत्रगतोच्यते । द्वितीयपक्षः किल भावितसमो वर्तते भावितं स्वायतचतुरस्रक्षेत्रफलं तत्र वर्णौ भुजकोटी । = इ.नी + इ ई + ई. पी + ई. इ + रू समशोधनेन नी.पी = इ. ई + रू ततः पी = (इ. ई + रू) / नी , अत्र नीलकस्य तथाऽभिन्नं मानं कल्प्यं यथा पीतकमा- नमभिन्नं स्यात् । ततो नीलकपीतकमानाभ्यामुत्थापनेन यावत्तावत्कालकमाने भवतः । यदि इ.ई + रू इदं धनात्मकं भवेत् तदा नीलकस्य ऋणमानकल्पने पीतकस्यापि ऋणमानमागच्छेत् तदा या = ई - नी । का = इ - पी । एतेन सर्वं मूलोक्तं पद्यमुपपद्यते ।

१२६ बीजगणिते न्यासः । का (ऊर्ध्वम्), या १ (दक्षे) [चित्रम् १] अत्र क्षेत्रान्तर्यावत्सावच्चतुष्टयं वर्त्तते कालकत्रयं द्वे च रूपे । अतः क्षेत्रा- द्यावत्तावच्चतुष्टये रूपचतुष्टयोनका-* लके स्वाङ्कगुणे चापनीते जातम् (१)। द्वितीयपक्षे च तथा कृते जातम् न्यासः । ४ (ऊर्ध्वम्), या (वामे), ३ (दक्षे), का (अधः) [चित्रम् २] १४ । एतद्भावितक्षेत्रान्तर्वर्त्तिनो- ऽवशिष्टक्षेत्रस्याधस्तनस्य फलं तद्भु- जकोटिवधाज्जातम्। ते चात्र ज्ञातव्ये। अत इष्टो भुजः कल्पितस्तेन फलेऽस्मिन् १४ भक्ते कोटिर्लभ्यते अनयोर्भुजकोट्योरेकतरा यावत्तावदङ्कतुल्यै रूपैः ४ अधिकतरा सती भावितक्षेत्रस्य कोटिर्भवति यतो भावितक्षेत्राद्यावच्चतुष्टयेऽपनीते तत्कोटिश्चतुरूना जाता। एवं कालकतुल्यै रूपैः ३ अधिकतरो भुजो भवति ते एव यावत्तावत्कालकमाने।

• अत्र मूले लेखकप्रमादाद्धेतुदोषे काचित् त्रुटि(१)रस्ति तदर्थं कृष्णदैव- ज्ञकृता नवाङ्कुराख्या बीजगणितटीका विलोक्या । ( १ ) वि० श०-स्पष्टार्थं कल्प्यते यथा भु = या, को = का । एते भावितक्षेत्रस्य भुजकोटी इति । तत भा.क्षे.फ. = या. का । अस्मात् क्षेत्राद्यादि ४ या, ३ (का - ४) एतद्द्वयं विशोध्यते शेषमानम् = या. का - ४या - ३ (का - ४) = (या - ३) (का - ४) । अथ या. का = ४ या + ३ का + २ । अतः शेषमानम् = (४या + ३का + २) - ४या - ३का + १२ = १४ एतद् वर्णाङ्कयोर्घातेन रूपयुतेन वर्ज. वैभं + रू अनेन समानमिति । ( १ ) वि०श०-“रूपचतुष्टयोनकालके स्वाङ्कगुणे” वा “कालके रूपचतुष्टयो- नेऽथ स्वाङ्कगुणे” इह न का चित् त्रुटिरस्ति । वस्तुतो नवाङ्कुराटीकाकारस्य कृष्णदैव- ज्ञस्य यावद्बाहुल्यतोऽन्यत् किमपि न सारमिति विद्भिर्विवेचनीयम् ।

भावितम् । १२७, अथ राशिगतोपपत्तिरुच्यते साऽपि क्षेत्रमूलान्तर्भूता । तत्र याव- त्तावत्कालकभुजकोटिमानात्मकक्षेत्रान्तर्गतस्य लघुक्षेत्रस्य भुजकोटि- माने अन्यवर्णौ कल्पितौ नी १, पी १। अत एतयोरेकतरो(१)यावत्तावद- ङ्कतुल्यैः रूपैरधिको वहिःक्षेत्रकोटेः कालकस्य मानम् । अन्यः कालक- तुल्यैः रूपैरधिको भुजस्य यावत्तावतो मानं कल्पितम् । का=नी १ रू४, या=पी १ रू ३ । आभ्यां पक्षयोर्यावत्तावत्कालकवर्णावुत्थाप्योप- रितनपक्षे नी ३ पी ४ रू २६ । भावितपक्षे च नी. पी. भा १ । नी ३ पी ४ रू १२ । एतयोः- समशोधने कृते जातमधः नी. पी. भा १ । ऊर्ध्वपक्षे रू १४ । इदमेव तदन्तःक्षेत्रफलमेतद्वर्णाङ्कयोर्घातस्य रूपयुतस्य समं स्यादतो वर्णमाने भवतस्तत् प्रागुक्तमेव । इयमेव क्रिया पूर्वाचार्यैः संक्षिप्तपाठेन निबद्धा । ये क्षेत्रगतामुपपत्तिं न बुद्ध्यन्ति तेषामियं राशिगता दर्शनीया । उपपत्त्युतं बीजगणितं गणका जगुः । न चेदेवं विशेषोऽस्ति न पाटीबीजयोर्यतः ॥ अत इयं भावितोपपत्तिर्द्विविधा दर्शिता । यत् तूक्तं वर्णाङ्कयोर्घातो रूपैर्युतो भावितक्षेत्रान्तर्वर्त्तिनोऽन्यक्षेत्रस्य कोणस्थस्य फलमिति तत् क्वचिदन्यथा स्यात् । यथा वर्णाङ्कौ ऋणगतौ भवतस्तदा तस्यै- वान्तर्भावितक्षेत्रं कोणे दृश्यते यदा तु भावितक्षेत्रे भुजकोटिभ्यां वर्णाङ्कावधिकौ धनगतौ भवतस्तदा भावितक्षेत्राद्वहिःकोणस्थं क्षेत्रं स्यात् तद्यथा । न्यासः । [चित्रे- नी, पी, या, का; ३, का, या, नी, पी] यदीदृशं तदेष्टफलाभ्यामूनितौ वर्णाङ्कौ यावत्तावत्कालकयो- र्माने भवतः । ( १ ) वि० श० एकतरो वर्ण इति ।

१२८ बीजगणिते उदाहरणम् । द्विगुणेन कयोः राश्योर्घातेन सदृशं भवेत् । दशेन्द्रहृतराश्यैक्यं व्यूनषष्टिविवर्जितम् ॥ १ ॥ अत्र राशी या १, का १ । अनयोर्यथोक्ते कृते भाविताङ्केन भक्ते जातम् या ५ का ७ रु २६ । अत्र वर्णाङ्काहतिरूपैक्य ६ द्विहतमि- ष्टफले २, ३ । आभ्यां वर्णाङ्कौ युतौ राशी १०, ७ वा ९, ८ । वा ऊनितौ जातौ ४, ३ वा ५, २ । उदाहरणम् । त्रिपञ्चगुणराशिभ्यां युतो राश्योर्वधः कयोः । द्विषष्टिप्रमितो जातो राशिं त्वं वेत्सि चेद्वद ॥ २ ॥ अत्र यथोक्ते कृते जातौ पक्षौ { या ३ का ५ रु ६२ । वर्णाङ्काह- या.का.भा तिरूपैक्यम् ७७ । इष्टतत्फले ७, ११ । आभ्यां वर्णाङ्कौ युतावेव कार्यौ इष्टतत्फलाभ्यामाभ्याम् ७, ११ ऊनितौ चेद्विधीयेते तदा ऋणगतौ भवतोऽत आभ्यां ७, ११ युतौ जातौ राशी ६, ४ वा २, ८ । ऊनि- तौ १२, १४, वा १६, १० । अथ पूर्वचतुर्थोदाहरणम् । यौ राशी किल या च राशिनिहतिर्या राशिवर्गौ तथा तेषामैक्यपदं सराशियुगलमिति । अत्र राशी या १, का १ । अनयोर्घातयुतिवर्गाणा योगः याव १ काव १ या का भा १ या १ का १ । अस्य मूलाभावाद्रा- शिद्वयोनायास्त्रयोविंशते. या १ का १ रु २३ वर्गेणानेन याव १ काव १ या. का. भा २ या ४६ का ४६ रु ५२९, साम्यम् । तत्र समयोगवियोगादी समतैनेति समयवर्गगमे शोधने च कृते भाविताङ्केन हृते जातम्— या ४७ का ४७ रु ५२९ । अत्र वर्णाङ्काहति रूपयुता १६८० । इयं चत्वारिंशतेष्टेन हृता फलम् ४२, इष्टम् ४० । अत्रेष्टफलाभ्यामाभ्यां वर्णाङ्कावूनावेव कार्यो तेन जातौ राशी ७, ५ । युतौ चेत् क्रियेते तर्हि जाता त्रयोविंशतिरिति पूर्वार्लापे न घटते । पूर्वोदाहरणम् । पञ्चाशत् त्रियुताऽथ वेति ।

ग्रन्थसमाप्तिः । १२९ अत्रोदाहरणे यथोक्तकृतभाविताङ्केन विभक्ते जातम् या १०७ का १०७ रू २८०९ । अत्र वर्णाङ्काहतिरूपैक्यम् ८६४० । इष्टफले ९०, ९६ । आभ्यां वर्णाङ्कावूनितौ राशी ११, १७ । एवमन्यत्रापि । क्वचिद्बहुषु साम्येषु भावितोन्मितीरानीय ताभ्यः समीकृतच्छेद- गमाभ्यः साम्ये पूर्वबीजक्रिययैव राशी ज्ञायेते । अत्र राशी इति द्वि- वचनादन्येषां त्र्यादिवर्णानामिष्टानि मानानि कल्प्यानीत्यर्थात् सिद्धम् । इति श्रीभास्कराचार्यविरचिते बीजगणिते भावितं समाप्तम् । आसीन्महेश्वर इति प्रथितः पृथिव्या- माचार्यवर्यपदवीं विदुषां प्रपन्नः । लब्ध्वाऽवबोधकलिकां तत एव चक्रे तज्जेन बीजगणितं लघु भास्करेण ॥ ब्रह्माह्वयश्रीधरपद्मनाभबीजानि यस्मादतिविस्तृतानि । आदाय तत्सारमकारि नूनं सयुक्तियुक्तं लघु शिष्यतुष्ट्यै ॥ अत्रानुष्टुब्सहस्रं हि ससूत्रोद्देशके मितिः । क्वचित् सूत्रार्थविषयं व्याप्तिं दर्शयितुं क्वचित् ॥ क्वचिच्च कल्पनाभेदं क्वचिद्युक्तमुदाहृतम् । न ह्युदाहरणान्तोऽस्ति स्तोकमुक्तमिदं यतः ॥ दुस्तरः स्तोकबृद्धीनां शास्त्रविस्तारवारिधिः । अथवा शास्त्रविस्तृत्या कि कार्यं सुधियामपि ॥ उपदेशलथं शास्त्रं कुरुते धीमतो यतः । तत् तु प्राप्यैव विस्तारं स्वयमेवोपगच्छति ॥ यथोक्तं यन्त्राध्याये । जले तैलं खले गुह्यं पात्रे दानं मनागपि । प्राज्ञे शास्त्रं स्वयं याति विस्तारं वस्तुशक्तितः ॥ १७

ि द्ध्यै->प्रौढिसिद्ध्यै. Wait, in : उल्लसदमलमतीनां त्रैराशिकमात्रमेव पाटी बुद्धिरैव बीजम् । Is itबुद्धिरैव`? Yes, clearly written with two matras on 'र'.

Check :
`सब प्रकार की संस्कृत पुस्तको के मिलने का एकमात्र पताः—`
Everything looks extremely accurate and faithful to the image.१३० बीजगणिते

तथा गोले मयोक्तम् । उल्लसदमलमतीनां त्रैराशिकमात्रमेव पाटी बुद्धिरैव बीजम् । तथा गोलाध्याये मयोक्तम् । अस्ति त्रैराशिकं पाटी बीजं च विमला मतिः । किमतावत् सुबुद्धीनामतो मन्दार्थमुच्यते ॥ गणकभणितिरम्यं बाललीलावगम्यं सकलगणितसारं सोपपत्तिप्रकारम् । इति बहुगुणयुक्तं सर्वदोषैर्विमुक्तं पठ पठ मतिवृद्ध्यै लघ्विदं प्रौढिसिद्ध्यै ॥ इति श्रीभास्कराचार्यविरचिते सिद्धान्तशिरोमण

प्रक्षिप्तविषयाः । १३१ प्रक्षिप्तविषयाः । विशेष — अथ प्रसङ्गाद्ग्रहगणितोपयुक्तत्वादासन्नमानार्थं क्रिया प्रदर्श्यते, १००/६३ = १ + ३७/६३ = १ + १/(६३/३७) = १ + १/(१ + २६/३७) = १ + १/(१ + १/(३७/२६)) = १ + १/(१ + १/(१ + ११/२६)) = १ + १/(१ + १/(१ + १/(२६/११))) = १ + १/(१ + १/(१ + १/(२ + ४/११))) = १ + १/(१ + १/(१ + १/(२ + १/(११/४)))) = १ + १/(१ + १/(१ + १/(२ + १/(२ + ३/४))))

१३२ बीजगणिते = १ + १

१ + १

१ + १

२ + १

२ + १

४

३ = १ + १

१ + १

१ + १

२ + १

२ + १

१ + १

३ १ १ अत्र प्रथमलब्धिग्रहणेन मानम् = --- = --- १ १ १ २ प्रथमलब्धिद्वयग्रहणेन मानम् = १ + --- = --- १ १ १ ३ प्रथमलब्धित्रयग्रहणेन मानम् = १ + --------- = --- १ २ १ + - १ १ ८ प्रथमलब्धिचतुष्टयग्रहणेन मानम् = १ + ------------- = --- १ ५ १ + --------- १ १ + - २ १ १९ प्रथमलब्धिपञ्चकग्रहणेन मानम् = १ + ----------------- = ---- १ १२ १ + ------------- १ १ + --------- १ २ + - २

प्रक्षिप्तविषयाः । १३३ १ प्रथमलब्धिषट्कग्रहणेन मानम् = --------------------------------- = २७/१७ १ + १

१ + १

१ + १

२ + १

२ + १

१

१ १ २ ३ ८ १९ २७ एवमत्र, -, -, -, -, --, --, एतानि १ १ २ ५ १२ १७ १०० वास्तवभिन्नस्य ----- अस्य सन्नमानानि कथ्यन्ते । ६३ १ अत्र - इदं मानं वास्तवभिन्नमानादल्पम् । १ २

• इदं चाधिकं द्वितीयखण्डस्याधिक्यात् । १ ३
• इदं चाल्पं तृतीयखण्डस्याल्पत्वात् । २ एवं पाठ्युक्तभजनरीत्या स्फुटमवगम्यते यद्विषमासन्नमानानि वास्तवभिन्नादल्पानि समानि चाधिकानि भवन्तीति । एवं वर्णविन्यासेन अ १ -- = ग + --------------------------------------- क घ + १

च + १

छ + १

ज + १

त + १

द + १

न + ... पूर्ववल्लब्धिग्रहणेनासन्नमानानि ग ग.घ + १ च (ग.घ + १) + ग -, -------, ---------------, १ घ घ.च + १

१३४ बीजगणिते

   छ { च( ग.घ + १ ) + ग } + ( गघ + १ )

--------------------------------------------------------- , इत्यादि । छ ( च.घ + १ ) + घ

अत्र तृतीयमाने तृतीयलब्धिद्वितीयमानाशवधः प्रथममानाशयुक्तो ऽंशः । तृतीयलब्धिद्वितीयमानहरवध प्रथममानहरयुक्तो हि हर इति दृश्यते, एवं चतुर्थमाना- दिषु च रीतिर्दृश्यते तेनासन्नमानद्वयज्ञानाल्ललब्धिभ्योऽन्यान्यासन्नमानानि सुखेन ज्ञायन्ते ।

अथ पूर्वावगतप्रथमद्वितीययोरासन्नमानयोरन्तरेण यद्विमृश्यते तत्रांशस्थाने रूपमिति दृश्यते । अथ कल्पन्ते श्रीव्यासन्दर्शितान्यासन्नमानानि

अ₁ अ₂ अ₃ । अ₃ ---- , ---- , ---- । ---- एतत्सम्वन्धिनी लब्धिश्च ल, तदा क₁ क₂ क₃ । क₃

          अ₃      ल.अ₂ + अ₁

पूर्वप्रकारेण ---- = -------------- , क₃ ल.क₂ + क₁

अतः

  अ₂     अ₃       अ₂       ल.अ₂ + अ₁
 ---- ~ ----  =  ----  ~  --------------
  क₂     क₃       क₂       ल.क₂ + क₁

     ल.अ₂.क₂ + अ₂.क₁ ~ ल.अ₂.क₂ + अ₁.क₂
  = -------------------------------------------
                 क₂ ( लक₂ + क₁ )

     अ₂.क₁ ~ अ₁.क₂
  = ------------------ , अत्रांशमानम्
     क₂ ( लक₂ + क₁ )

अ₁ अ₂ ---- , ---- अनयोरन्तरांशमानमममत इष्टपृष्ठस्थयोरन्तरे यदंशमान तदग्रिम- क₁ क₂ मंशयोरन्तरे भव यदंशमानं परन्तु प्रथमद्वितीयासन्नमानयोरन्तरे स्वंशम ने रूपममं पूर्वादर्शं तेनायनस्थयोर्द्वयोरासन्नमानयोरन्तरे सर्वदाऽंशमानं रूपं भवतीति सिध्यति ।

अथ पूर्वयुक्तिनः क₁.अ₂ ~ अ₁.क₂ = १ अतः पूर्वयुक्तिन अ₁ क₁ एतौ वा अ₂ क₂ एतौ परस्परं दृढौ भवनोऽन्यथा तदप्यसंज्ञाद्देन रूपमप्यपवस्यं भवेत् तदयुक्तमित्यन आसन्नमानेषु सर्वगु हरोशौ दृढौ भवत इति सिध्यति ।

              अ₁     अ₂     अ₃

कथ्यन्ते, ---- , ---- , ---- आसन्नप्रथानि मानानि तदा पूर्ववत्, क क₁ क₂

संक्षिप्तविषयाः । १३५ अ₃/क₃ = (ल अ₂ + अ₁) / (ल क₂ + क₁), वास्तवभिन्न च ल, स्थाने ल + इ, इत्यस्योत्थापनेन जातम् = ((ल + इ) अ₂ + अ₁) / ((ल + इ) क₂ + क₁), इ = रूपाऽपसंख्या । अतः भिन्न - अ₂/क₂ = (ल.अ₂ + इ अ₂ + अ₁) / (ल.क₂ + इ क₂ + क₁) - अ₂/क₂ = (ल क₂ अ₂ + इ क₂ अ₂ + क₂ अ₁ - ल क₂ अ₂ - इ क₂ अ₂ - क₁ अ₂) / (क₂ (ल क₂ + इ क₂ + क₁)) = (क₂ अ₁ - क₁ अ₂) / (क₂ (ल क₂ + इ.क₂ + क₁)) = १ / (क₂ { क₂ (ल + इ) + क₁ }) एव अ₃/क₃ - भिन्न = (ल अ₂ + अ₁) / (ल क₂ + क₁) - (ल अ₂ + अ₁ + अ₂ इ) / (ल क₂ + क₁ + क₂ इ) = (ल² क₂ अ₂ + ल क₂ अ₁ + ल क₂ अ₂ इ + ल क₁ अ₁ + अ₁ क₁ + अ₁ क₂ इ

• ल² क₂ अ₂ + ल क₂ अ₁ + ल क₂ अ₂ इ + ल अ₂ क₁ + अ₁ क₁ + क₁ अ₂ इ) / (क₃ (ल क₂ + क₁ + क₂ इ)) = इ (अ₁ क₂ - क₁ अ₂) / (क₃ (ल क₂ + क₁ + क₂ इ)) = इ / (क₃ (ल क₂ + क₁ + क₂ इ)) प्रथमान्तरस्यांशमानादस्या परस्यांशमानमल्पं तदीयहरमानादस्य हरमान चाधि- कमत उन्नत आसन्नमानानि सूक्ष्माणि वास्तवभिन्नस्य निकटस्थत्वादिति स्थितिः । अथैषां सिद्धान्तानां सूत्राणि । आसन्नमानस्य हरांशमाने अग्रं विगुण्य गदिते क्रमेण । पृष्ठस्थिताग्रहरांशकाभ्यां तदा हराशी भवतोऽग्रिमस्य ॥ १ ॥ द्व्यग्रप्रमाणयोराग्रप्रबन्धयोरेकतरं भवेत् । अग्रस्थाने राशौ रूपं निन्यमेतच्च धीमता ॥ २ ॥ सर्वोत्त्वासन्नमानेषु हरांशी भवतो रटौ । तयोत्तरोत्तरं सूक्ष्म आसन्नमानानि भवन्ति हि ॥ ३ ॥ इष्यते- अ/क, इदमग्रप्रमाणं वास्तवभिन्नात् सिद्धिमियम्- रा/र -अग्रं विभज्य हर-

१३६ बीजगणिते माने र, क₁ अस्मादल्पम् तदा स/र अस्मात् इदमेव निकटतरे वास्तवभिन्नस्य, यद्येवं न तर्हि अ₁/क₁, अ₂/क₂ अनयोरन्तरात् स/र, अ₂/क₂, अनयोरन्तरमल्पतरम् । यत अ₁/क₁ < स/र < वा.भि. < अ₂/क₂ (अ₂/क₂ = अग्रिममानम्) अतः अ₁/क₁ ∽ अ₂/क₂ = १/(क₁.क₂) < अ₂/क₂ - स/र वा, १/(क₁.क₂) > (अ₂.र - क₂.स)/(क₂.र) वा, १/क₁ > (अ₂.र - क₂.स)/र अथ क₁ > र अत १ > अ₂.र - क₂.स इदमसम्भवं यतः अ₂. र, क₂.स अनयोरभिन्नसंख्ययोरन्तरं रूपान्यमवशिष्यते — कल्प्यते अ₁/क₁, अ₂/क₂ आसन्नस्थमासन्नमानद्वयं तदा (अ₁.अ₂)/(क₁.क₂) इदं वास्तवभिन्नवर्गादधिकम् यदि अ₁/क₁ > अ₂/क₂, अन्यथाऽल्पमिति अतो यदि सावयवलब्धि = ल तदा वास्तवभिन्नम् = (ल.अ₂ + अ₁) / (ल.क₂ + क₁) अत्र अ₁/(वा.भि. क₁) - (वा.भि. क₂)/अ₂ = क₂/(वा.भि. अ₂) ( (अ₁.अ₂)/(क₁.क₂) - वा.भि ) = अ₁(ल.क₂ + क₁) / क₁(ल.अ₂ + अ₁) - क₂(ल.अ₂ + अ₁) / अ₂(ल.क₂ + क₁) अत्र समच्छेदतोऽन्तरेऽंशानाम् = अ₁.अ₂ (ल.क₂ + क₁)² - क₁.क₂ (ल.अ₂ + अ₁)² = अ₁.अ₂.ल².क₂² + २अ₁.अ₂.ल.क₂.क₁ + अ₁.अ₂.क₁²

• क₁.क₂.ल².अ₂² - २अ₁.अ₂.ल.क₂.क₁ - क₁.क₂.अ₁² = ल².अ₂.क₂ (अ₁.क₂ - अ₂.क₁) - अ₁.क₁ (अ₁.क₂ - अ₂.क₁)

संक्षिप्तविषयाः । १३७ = ( ल².अ₂.क₂ - अ₁.क₁ ) ( अ₁.क₂ - अ₂.क₁ ) अत्र ( ल².अ₂.क₂ - अ₁.क₁ ) इदं सर्वदा धनमेव अ₁.क₂ - अ₂.क₁ = क₁.क₂ ( अ₁/क₁ - अ₂/क₂ ) इदं तु यदा अ₁/क₁ > अ₂/क₂ तदा धनमतस्तदा क₂/(वाभि.अ₂) ( अ₁.अ₂/(क₁.क₂) - वाभि² ) इदं वा अ₁.अ₂/(क₁.क₂) - वाभि² इदं धनं भवति तत अ₁.अ₂/(क₁.क₂) > वाभि² इदमुपपन्नं भवति अत सूत्रावतार । आसन्नमानहरतो यावद्भिघ्नस्य हरो भवेत् । अल्प आसन्नमानात् स्यान्न स सूक्ष्मतरस्ततः ॥ १ द्वयोरासन्नयोरासन्नस्थयोराहतिर्भवेत् । कृतेर्वास्तवाभिख्यस्याधिका पृष्ठेऽधिकेऽग्रिमात् ॥ २ ॥ अथ यथाऽऽसन्नमानोक्तविधिनाऽवर्गस्य मूलमानीयते तदाऽपोलिनियक्रियाप्युच्यते— यथा √११ = √(११ + ०) / १ = ३ + (√११ - ३) / १ = ३ + (√११ - ३)(√११ + ३) / (√११ + ३) = ३ + २ / (√११ + ३) = ३ + १ / ((√११ + ३) / २) = ३ + १ / (३ + (√११ + ३ - ६) / २) = ३ + १ / (३ + (√११ - ३) / २) = ३ + १ / (३ + २ / (२(√११ + ३))) १८

१३८ बीजगणिते १ १ = ३ + ------------- = ३ + -------------------------- १ १ ३ + --------- ३ + ---------- √११ + ३ √११ + ३

१ १ १ = ३ + ------------- = ३ + -------------------------- १ १ ३ + ------- ३ + ---------- ६+√११-३ २ ------- ६ + ---------- १ √११ + ३ इत्यादि। एवमत्र ३, ३, ६, इत्यादि-लब्धिग्रहणेनैकादशमूलस्यासन्नमानानि आ- सन्नमानानयनरीत्याऽऽगच्छेयुः। एवमक्षरविन्यासेन √न + ० √न - अ शे ------ = अ + ---------- = अ + ----------- , १ १ √न + अ यदि शे = न - अ² तथा न इत्यस्य निर

संक्षिप्तविषयाः । १३९ ०, अ, अं, अं', अं", ... ... .. (१) १, शे, शे', शे", शे'", ... ... .. (२) अ, क, कं, कं', कं", ... ... ... (३) कल्प्यन्ते-(१) अस्मिन् क्रमेण राशित्रयमानम् पृथक् अ, अं, अं', तत्सम्बन्धिरा- शित्रय (२) शे', शे", शे"' । (३) क, कं, कं', च राशित्रयम् अत्र क, कं, कं', -त्रयवशादासन्नमूलस्यासन्नमानानि प/ल, पं/लं, पं'/लं', चेति । तदासन्नमानानयनविधिना पं'/लं' = (कं' . पं + प)/(कं' . लं + ल) । अथ कं' -स्थाने यदि सावयवा वास्तवा लब्धि √(न + अं') / शे' इयं गृह्यते तदा (√(न + अं') / शे') . पं + प पं (√(न + अं')) + शे" प √न = --------------------------- = ------------------------- (√(न + अं') /

... हरस्य कृत्या विहीनं गुणं शेषभक्तोऽन्यराशेर्मानम् ।" "मुहुस्त्वेवमन्ते यदा शेषमानं भवेदेकयुक्तं तदा ... ॥ २ ॥"

Wait, who is the author? Page header says: "बीजगणिते" (Bijaganite). Page 140. Is it Sudhakara Dvivedi's Bijaganitam (or Bhaskara's Bijaganita with commentary, or modern Bijaganita by Sudhakara Dvivedi)? Sudhakara Dvivedi wrote "Bijaganitam" (बीजगणितम्) in Sanskrit/Hindi, or Pandit Radhaballabh? Wait, Sudhakara Dvivedi's "Vija Ganita" with his own commentary / Sanskrit text. In Sudhakara Dvivedi's Bijaganita, he often gives his own Upapattis and Karikas! Look at the style of Sanskrit prose: "आसन्नमानान्तिमसूत्रात्..." "अथ (१) अस्मिन् ..., (२) अस्मिन्..." "आसन्नमानानयनयुक्त्या प.लं - पं.ल = ± १ तेन ±शे'' = लं² न - पं² पक्षान्तरानयनेन पं² = लं² न ∓ शे''" "अतो यस्या आसन्नमूलमपेक्षितं सा संख्या चेत् प्रकृतिः कल्प्यते तदा तदासन्नमानाय हर

मेण प्रथमखण्डमानानि प्र., दि., तृ., च., प्रथमसममापमान=वि, द्विती" Wait! Look at line 31: "तथा क्रमेण प्रथमखण्डमानानि प्र., दि., तृ., च., प्रथमसममापमान=वि, द्विती-" Wait, the second word in line 31: "तथा क्रमेण" - 'क्र' has a broken loop, looks like '' or 'क्र'. It's "क्रमेण"! Then: "प्रथमखण्डमानानि प्र., दि., तृ., च., प्रथमसममापमान=वि, द्विती" (or "प्रथमसमापमान = वि, द्वि") Wait, let's read line 31 carefully: "तथा क्रमेण प्रथमखण्डमानानि प्र., दि., तृ., च., प्रथमसममापमान=वि, द्विती-" (with a hyphen or broken off at right: "द्विती-")

Line 32: "यसमपंमान = वि, तदाऽऽल्पाणुमारेण" Wait! "यसमपंमान = वि, तदाऽऽल्पाणुमारेण" -> "यसमापमान = वि, तदाऽऽल्पानुसारेण" (or "यसमापमान = वि₂, तदाऽऽल्पानुसारेण"? No, "वि, तदाऽऽल्पाणुमारेण" or "तदाऽऽल्पानुसारेण").

->तौorयौ? तौmakes so much sense withयदा ... तदा ... कल्पितौ तौ! Or यौ? Wait, let's look at ये: it has au-kara! तौorयौ`.

Now let's revisit L24 and L25 (Verse 1): Let's read verse 1 carefully: Line 1: निरग्रं पदं यद्गुणात् स्यात् फलाढ्यं Wait, look at L23: निरग्र पद यद्गुणात् स्यात् फलाढ्यं -> wait, does it have anusvara? निरग्र पद or निरग्रं पदं? In print, sometimes anusvara is faint or omitted: निरग्र पद यद्गुणात् स्यात् फलाढ्यं Wait, let's look at L24: धनाख्यं तदेवात्र शेषं तदग्रम् । Line 2: धनाख्यं तदेवात्र शेषं तदग्रम् । Line 3 (L25): पदाद्यं धनं शेषहृत्प्रान्त्यमन्त्यं Wait, let's look at the letters of L25: प दा द्यं (पदाद्यं) ध नं (धनं) शे ष हृ त्प्रान् त्य (

संक्षिप्तविषयाः । १४१ गुणाप्तौ विधुक्षेपके कुट्टकेन भवेतां पदे ते समा लब्धयश्चेत् । विधुक्षेपकेऽथाऽन्यथा रूपशुद्धावभिन्ने सकृत् कुट्टकेनैव तूर्णम् ॥ ३ ॥ यथाऽऽचार्योक्तप्रश्ने प्रकृति ६७ अस्या निरग्रमूलं ८ शेषं ३ ततः प्रश्नानुसारेण । कं प शे वल्ली ८ ८ ३ ८ ┐ ५ ५ ६ ५ │ ७ ७ ७ ७ │ १ १ ९ १ │ १ १ २ १ │ ७ ७ ९ ७ ┘ १ २ ७ १ ┐ १ ५ ६ १ │ २ ७ ३ २ │ ५ ८ १ ५ │ १ │ ० ┘ वल्लीतो जाते गुणाप्ती ५९६७ । ४८८४२ लब्धयः समाः समस्यतो जाते कनि- ष्ठज्येष्ठे रूपक्षेपे क ५९६७ ज्ये ४८८४२ एते, एवं मुहुः कुट्टकविधिना समासभा-