बीजगणितम् (भास्कराचार्य द्वितीय - प्राचीन भारतीय समीकरण एवं बीजगणित सूत्र सटीक)

७६ बीजगणिते थोदाहरणमानीयते । अव्यक्तकल्पनया तु महती क्रिया भवति । इति भास्करीये बीजगणितेऽव्यक्तवर्गादिसमीकरणं (एकवर्णसम्ब- न्धि मध्यमाहरण) समाप्तम् । ─────────────────────── अथानेकवर्णसमीकरणं बीजम् । यत्र सूत्रं सार्धवृत्तत्रयम् । आद्यं वर्णं शोधयेदन्यपक्षा- दन्यान् रूपाण्यन्यतश्चाद्यभक्ते । पक्षेऽन्यस्मिन्नाद्यवर्णोन्मितिः स्याद्- वर्णस्यैकस्योन्मितीनां बहुत्वे ॥ १ ॥ समीरतच्छेदगमे तु ताभ्य- स्तदन्यवर्णोन्मितयः प्रसाध्याः । अन्त्योन्मितौ कुट्टविधेर्गुणाप्ती ते भाज्यतद्भाजकवर्णमाने ॥ २ ॥ अन्येऽपि भाज्ये यदि सन्ति वर्णा- स्तन्मानमिष्टं परिकल्प्य साध्ये । विलोमकोत्थापनतोऽन्यवर्ण- मानानि भिन्नं यदि मानमेवम् ॥ ३ ॥ भूयः कार्यः कुट्टकोऽत्रान्त्यवर्णं तेनोत्थाप्योत्थापयेद्व्यस्तमाद्यन् ॥ इदमनेकवर्णसमीकरणं बीजम् । यत्रोदाहरणे द्वित्र्यादयोऽव्यक्तर- शयो भवन्ति तेषां यावत्तावदादयो वर्णा मानेषु कल्प्यास्तेऽत्र पूर्वाचार्यैः कल्पिता । यावत्तावत्,-कालक,-नीलक,-पीतक,-लोहि- तक,-हरितक,-श्वेतक,-चित्रक,-कपिलक,-पिङ्गलक,-धूम्रक,-पाटलक,

= क^२ + २ भु.को, अतः   यो^२ - २यो.क = २ भु. को = २ ष / क   अतः
यो^२क - २ यो. क^२ = २ व. ∴ २क^२. यो - यो^२. क = - २ व ।
अतः क^२ - (यो ० क / २) + (यो / ४)^२ = (यो / ४)^२ - ष / या . ∴ क - यो / ४ = य . ∴ क =
+ प  यो / ४ - अतो विशेषोऽयमुपपन्नम् ।

अनेकवर्णसमीकरणम् । •७७ शवलक,-श्यामलक,-मेचक,-इत्यादि अथवा । (१) कादीन्यक्षराणि अ- व्यक्तानां संज्ञा असंकरार्थं कल्प्याः । अतः प्राग्वदुद्देशकालापविधिं कुर्वता गणकेन पक्षौ समौ कार्यौ पक्षा वा समाः कार्याः । ततः सूत्रावतारोऽयम् । तयोः समयोरेकस्मात् पक्षादितरपक्षस्याद्यं वर्णं शोधयेत् तदन्य- वर्णान् रूपाणि च इतरपक्षाच्छोधयेत् । तत आद्यवर्णशेषेणेतरपक्षे भक्ते भाजकवर्णोन्मितिः । बहुषु पक्षेषु ययोर्द्वयोः साम्यमस्ति तयोरेवं कृते सति अन्या उन्मितयः स्युः । ततस्तासून्मितिषु एकवर्णोन्मितयो यद्यनेकधा भवन्ति ततस्तासां मध्ये द्वयोर्द्वयोः समीकृतच्छेदगमेनाद्यं वर्णं शोधयेदित्यादिनाऽन्यवर्णोन्मितयः स्युः । एवं (क) यावत्तावत्स- म्भवः । ततोऽन्त्योन्मितौ भाज्यवर्णो योऽङ्कः स भाज्यराशिर्यो भाज- के स भाजकः । रूपाणि क्षेपः । अतः कुट्टकविधिना यो गुण उत्पद्यते तद्भाज्यवर्णमानं या लब्धिस्तद्भाजकवर्णमानं तयोर्मानयोर्दृढभाजक- भाज्याविष्टेन वर्णेन गुणितौ क्षेपकौ कल्प्यौ । ततः स्वस्वमानेन सक्षे- पेण पूर्ववर्णोन्मितौ वर्णावुत्थाप्य स्वच्छेदेन हरणे यल्लभ्यते तत्पूर्व- वर्णस्य मानम् । एवं विलोमकोत्थापनेतोऽन्यवर्णमानानि भवन्ति । यदि त्वन्त्योन्मितौ द्वयादयो वर्णा भवन्ति तदा तेषामिष्टानि मानानि कृत्वा स्वस्वमानैस्तानुत्थाप्य रूपेषु प्रक्षिप्य कुट्टकः कार्यः । अथ यदि विलोमकोत्थापने क्रियमाणे पूर्ववर्णोन्मितौ तन्मि- तिर्भिन्ना लभ्यते तदा कुट्टकविधिना यो गुण उत्पद्यते सक्षेपः स भाज्यवर्णमानं तेनान्त्यवर्णमानेषु तं वर्णमुत्थाप्य पूर्वोन्मितिषु विलो- मकोत्थापनप्रकारेणान्यवर्णमानानि साध्यानि । इह यस्य वर्णस्य यन्मानमागतं व्यक्तमव्यक्तं व्यक्ताव्यक्तं वा तस्य मानस्य व्यक्ताङ्केन गुणने कृते तद्वर्णाक्षरस्य निरसनमुत्थापनमुच्यते । उदाहरणानि । माणिक्यश्यामलनीलमौक्तिकमितीरिति ॥ १ ॥ (१) वि०सं०-"अथ या-का-दीन्यक्षराणि" इति पाठो युक्तः यतो "नामैकदेशग्र- हणे नामग्रहणम्" इत्यतः या,का,नी,पी,इत्यादीन्यक्षराणि अव्यक्तानां संज्ञा असंकरार्थं पृथग्भूतार्थं कल्प्या इति । अत्र "अथवा कादीन्यक्षराणि" क, ख, ग-इत्याद्यक्षराणि एवमर्थं विधाय परम्परात्- पाठः स्वीक्रियते इति विद्वद्भिर्विवेचनीयम् । (क) वि.सं.-"एवं तावद्यावत्संभवम्" इति साधुः पाठः ।

७८ बीजगणिते अथ माणिक्यादीनां मौल्यानि यावत्तावदादीनि प्रकल्प्य तद्गु- णरत्नसंख्यां च कृत्वा रूपाणि च प्रक्षिप्य समशोधनार्थं न्यासः—या ५ का ८ नी ७ रू ९० । या ७ का ९ नी ६ रू ६२ । आद्यं वर्णं शोधयेदित्यादिना जाता यावत्तावदुन्मितिः या = का १̇ नी १ रू २८ २ इयमेकैव, एकत्वादियमेवान्यतोऽद्य कुट्टकः कार्यः । इह भाज्ये वर्णद्वयं वर्त्ततेऽतो नीलकमानमिष्टं रूपं १ कल्पितम् । अनेन नीलक- मुत्थाप्य रूपेषु प्रक्षिप्य जातम् या = का १̇ रू २९ २ अतः कुट्टकविधिना "हरतष्टे धनक्षेपे"—इत्यादिना गुजाती सक्षेपे पी २ रू १ । पी १̇ रू १४ । अत्र शून्येन पीतकमुत्थाप्य जातानि माणिक्यादीनां मौल्यानि १४, १, १ । अथवैकेन १३, ३, १ । द्वाभ्यां वा १२, ५, १ । त्रिभिर्वा ११, ७, १ । एवमिष्टवशादानन्त्यम्(१) । उदाहरणम् । एको ब्रवीति मम देहि शतमिति ॥ २ ॥ अत्र धने या १, का १ । परधनाच्छतमपास्य पूर्वधने शतं प्रक्षि- प्य जातं या १ रू १००, का १ रू १००̇ परधनादाद्यं द्विगुणमिति परधनेन द्विगुणेन समं कृत्वा लब्धा यावत्तावदुन्मितिः या = का २ रू ३००̇ पुनराद्यधनाद्दशस्वपनीतेषु परधने क्षिप्तेषु जातम् या १ रू १०̇ । का १ रू १० । (१) वि०सं०—चतुर्दशमिते पीतकमाने कल्पिते यामाने शून्यमत इष्टवशादान- न्त्यमित्यसमञ्जसमिव । उक्तोदाहरणे या = का १̇ नी रू २८ / २ अत्र भाज्यस्थवर्णयोर्वा का-मानमिष्टं परिकल्प्य यामानमानीयते तदेष्टवशादानन्त्यमिति साधु ।

अनेकवर्णसमीकरणम् । ७९ आद्यादपरः षड्गुण इति आद्यं षड्गुणं परसमं कृत्वा लब्धं यावत्तावदुन्मानम् या=का १ रु ७०/६ । अनयोः कृतसमच्छेदयोश्छेदगमे समीकरणं तत्रानेन वा एक- वर्णत्वात् पूर्वबीजेनागतं कालकवर्णमानम् का=१७० । अनेन यावत्तावदुन्मानद्वयेऽपि कालकमुत्थाप्य रूपाणि प्रक्षिप्य स्वच्छेदेन विभज्य लब्धं यावत्तावदुन्मानम् या=४० । उदाहरणम् । अश्वाः पञ्चगुणाङ्गमङ्गलमिता येषां चतुर्णां धना- न्युष्ट्राश्च द्विमुनिश्रुतीक्षितिमिता अष्टद्रिभूपावकाः । तेषामश्वतरा वृषा मुनिमहीनेत्रेन्दुसंख्याः क्रमात् सर्वे तुल्यधनाश्च ते वद सपञ्चाश्वादिमौल्यानि मे ॥ ३ ॥ अश्वाश्वादीनां मौल्यानि यावत्तावदादीनि प्रकल्प्य तद्गुणगुणि- तायामश्वादिसंख्यायां जातानि चतुर्णां धनानि । प्रध=या ५ का २ नी ८ पी ७ । द्विध=या ३ का ७ नी २ पी १ । तृध=या ६ का ४ नी १ पी २ । चध=या ८ का १ नी ३ पी १ । एतान् समानीत्येषां प्रथमद्वितीययोः साम्यकरणाल्लब्धा याव- त्तावदुन्मितिः या=का ५ नी ६ं पी ६ं/-२ । द्वितीयतृतीययोरप्येवं लब्धा यावत्तावदुन्मितिः या=का ३ नी १ पी १ं/३ । एवं तृतीयचतुर्थयोः या=का ३ नी २ं पी १/२ । पुनरासां मध्ये प्रथमद्वितीययोः समीकृतच्छेदगमे साम्यकरणेन लब्धा कालकोन्मितिः का=नी २० पी १६/९ । एवं द्वितीयतृतीययोरपि का=नी ८ पी ४/३ ।

८० बीजगणिते , अनयोः समच्छेदीकृतयोः साम्यकरणेन लब्धं नीलकोन्मानम् नी = पी ३१ / ४ । (१) अन्योन्मितौ कुट्टविधेर्गुणाप्ती इति कुट्टककरणेन लब्धो गुणकः सक्षेपः = लो ४ रु ० एतत् पीतकमानम् । लब्धिः = लो ३१ रु ० एतन्नी- लकमानम् । कालकोन्मानेन नीलकपीतौ स्वस्वमानेनोत्थाप्य स्वच्छे- देन विभज्य लब्धं कालकमानम् = लो ७६ रु ० । अथ यावत्तावन्माने कालकादीन् स्वस्वमानेनोत्थाप्य स्वच्छेदेन विभज्य लब्धं यावत्ताव- न्मानम् = लो ८५ रु ० । लोहिते रूपेणैकेनोत्थापिते जातानि यावत्ता वदादीनां परिमाणानि ८५, ७६, ३१, ४ । द्विकेनेष्टेन १७०, १५२, ६२, ८ । त्रिकेण २५५, २२८, ९३, १२ । एवमिष्टवशादानन्त्यम् । उदाहरणम् । (२) त्रिभिः पारावताः पञ्च पञ्चभिः सप्त सारसाः । सप्तभिर्नव हंसाश्च नवभिर्बर्हिणां त्रयम् ॥ ४ ॥ द्रम्मैर्व्याप्यते द्रम्मशतेन शतमानय । एषां पारावतादीनां विनोदार्थं महीपते ॥ ५ ॥ (१) वि० टी० — अत्र नीलकमानमभिन्नमपेक्षते चेत्तदंशं पीतकमानं चतुरर्हो न भवेत् तथा चतुरपवर्त्तनीयमप्यतो यदि पी = ४ । तदा नी = ३१, का = ७६, या = ८५ एव कुट्टकं विनाऽपीति । (२) वि० ३, ५, ७, ९ द्रम्माः । ५, ७, ९, ३ पक्षिणः । अत्र कपोतादीनां मूल्यानि क्रमेण या १, का १, नी १, पी १, इति कल्प्यते त्रैराशिकेन कपोतादीनां मानानि या ५ / ३ , का ७ / ५ , नी ९ / ७ , पी ३ / ९ तत्र या १ का १ नी १ पी १ रु ० / = रु १०० } इदमेकम् । या ५ / ३ + का ७ / ५ + नी ९ / ७ + पी ३ / ९ + रु ०

अनेकवर्णसमीकरणम् । ८१ या ०+का ०+नी ०+पी ०+रु १०० । इदमन्यत् समीकरण च जातम्। तत समच्छेदादिना जाते यावत्तावदुन्मिती या=का १ नी १ पी १ रु १०० का १४७ नी १३५ पी ३५ रु १०५०० या= --------------------------------- १०५ अनयोश्छेदगमेन जातौ पक्षौ का १०५ नी १०५ पी १०५ रु १०५०० का १४७ नी १३५ पी ३५ रु १०५०० नी ४० पी १४० रु ७००० समशोधनेन कालकोन्मिति का= ------------------------ (१) २८

ना १० पा ३५ रु १७५० ( १ ) वि०ज्ञा०— = ------------------------ अत्र "अन्येऽपि भा- ७ ज्ये—" इत्यतो नीलकरपीतकयोरन्यतरस्य व्यक्तमानकल्पनमुचितम् । तत्र पूर्वं कल्पित पीतकसम-निरवयवमयूरमूल्यलब्धा मयूरा आपि निरवयवा शतान्त र्वर्त्तिनस्त्रिगुणिताङ्क समाना एव । अथ 'शतेन शतमानय' इति नियमात् त्रिंश त्सम पीतकमाने कल्पितेऽसगतिरत पा=३३ तदा नी १० ( रु ३३ X ३५ ) रु १७५० नी १० रु ५९५ का = --------------------------------- = ---------------- अत्र 'क्षेपा- ७ ७ भायोऽथ वा यत्र क्षेप शुद्धेद्भरोद्धृत ।" इत्यतो वल्ल्यादिविडम्बनां विनैव लब्धिगुणी ८५ । ० वा { ल=रु ८५ । } संक्षेपौ { लो १० रु ८५ = का । } अत्र षट्पर्यन्त { गु=रु ० } { लो ७ रु ० = नी । } लोहितकमाने कल्पितेऽसगतिरतो यदि लो = ७ तदा { का = १५ { नी = ४९ { पी = ३३ उत या = ३ ( १ ) । यदि लो = ८ तदा { का = ५ { नी = ५६ अत या = ६ ( २ ) । { पी = ३३ नी १० रु ४९० अथ यदि पी = ३६ तदा का = -------------- अत ७ का = लो १० रु ७० । अत्र यदि लो = १ तदा { का = ४० नी = लो ७ रु ० । { नी = २१ २२

८२ बीजगणिते अतः या = ३ ( ३ ) । " क्षे = ४ " { का = १० नी = २८ " या = ६ ( ४ ) । " क्षे = ५ " { का = १० नी = ३५ " या = ९ ( ५ ) । " क्षे = ६ " { का = १० " या = १२ ( ६ ) । नी = ४२ नी १० रु १८५ अथ यदि पी = १९ तदा का = ------------ अतः ७ का = क्षे १० रु ५५ | अत्र यदि क्षे = १ तदा { का = ४५ नी = क्षे ७ रु ० | नी = ७ अतः या = ९ ( ७ )* | " क्षे = २ " { का = ३५ नी = १४ " या = १२ ( ८ ) | " क्षे = ३ " { का = २५ नी = २१ " या = १५ ( ९ ) | " क्षे = ४ " { का = १५ नी = २८ " या = १८ ( १० ) | " क्षे = ५ " { का = ५ [L20

अनेकवर्णसमीकरणम् । ८३ अतः या = ३३ (१५) ” लो = २ ” } का = ५ ” या = ३६ (१६) नी = १४ एवं पारावतादीनां शतान्तर्वर्तीनि निरवयवमूल्यानि षोडशधा, ततः शतान्तर्व- र्तिनः पक्षिणोऽपि तन्मूल्यलब्धाः षोडशधैव । नी १० पी ३५ रू १७५० अथ पूर्वदर्शितकालकमानम् = का = ----------------------- ७ १७५० - १० नी - ३५ पी ३ नी = ----------------------- = २५० - ५ पी - नी - ----- ७ ७ अतो नीलकमानं सप्तगुणमेव भवेदतः कल्प्यते यदि नी = ७ तदा का = २५० - ५ पी - १० = २४० - ५ पी । ” नी = १४ ” का = २५० - ५ पी - १४ - ६ = २३० - ५ पी । ” नी = २१ ” का = २५० - ५ पी - २१ - ९ = २२० - ५ पी । ” नी = २८ ” का = २५० - ५ पी - २८ - १२ = २१० - ५ पी । ” नी = ३५ ” का = २५० - ५ पी - ३५ - १५ = २०० - ५ पी । ” नी = ४२ ” का = २५० - ५ पी - ४२ - १८ = १९० - ५ पी । ” नी = ४९ ” का = २५० - ५ पी - ४९ - २१ = १८० - ५ पी । ” नी = ५६ ” का = २५० - ५ पी - ५६ - २४ = १७० - ५ पी । प्रथमं नी = ७ कल्पिते यदि तत्र पीतकमानं किमपि त्रिगुणितमेव तत् षट्त्रिंशत्- पञ्चासप्ततिरेवातो यदि पी = ३९ ” का = ४५ अतः या = ९ (१) ” पी = ४२ ” का = ३० ” या = २१ (२) ” पी = ४५ ” का = १५ ” या = ३३ (३) यदि पी = ३९ ” नी = १४ तदा का = ३५ अतः या = १३ (४) ” पी = ४२ ” नी = १४ ” का = २० ” या = २५ (५) ” पी = ४५ ” नी = १४ ” का = ५ ” या = ३७ (६) यदि पी = ३६ ” नी = २१ तदा का = २२० - ५ × ३६ = ४० अतः या = १ (७)

रूपचतुष्टय? Wait, if it was 4 values, why does footnote say १, २, ३, ४, ५? Wait! Footnote says: अत्र पीतकस्य, १, २, ३, ४५ ।Wait, is it४, ५or४?Look at footnote:१, २, ३, ४, ५ ।Wait, could L15 sayरूपपञ्चकं? Look at L15: रू प च तु ष्ट यं->रूपचतुष्टयं! Yes, it literally spells रूपचतुष्टयं! Wait, why रूपचतुष्टयं? In Bhaskara's Bijaganita, original text might have said रूपचतुष्टयं(taking 1, 2, 3, 4), and the commentator added 5! Notice the footnote starts with:( १ ) वि—(वि = टिप्पणीकार/विद्वज्जन/विवरण). The commentator writes:अत्र पीतकस्य, १, २, ३, ४, ५ । एभि रुत्थापने कृते जाता पञ्चविधा कालकोन्मितयYes, "वि—अत्र पीतकस्य..." is the footnote comment on(१)रूपचतुष्टयं! And पञ्चविधा` because he included 5! That explains it perfectly!

Let's check पञ्चविधा कालकोन्मितय:

अनेकवर्णसमीकरणम् । ८५ कल्पितम्। अनेन पीतकमुत्थाप्य रूपेषु प्रक्षिप्य जातम् का=नी २ रू १४ (१) अतः कुट्टकविधिना लब्धिगुणौ सक्षेपौ लो २ रू १४=ल० लो १ रू ०=गु० यावत्तावदुन्माने स्वस्वमानेन कालकादीनुत्थाप्य स्वस्वच्छेदेन विभज्य लब्धं यावत्तावन्मानम् या=लो १ रू २ । लोहितकमिष्टं रूपत्र- येणोत्थाप्य जातानि यावत्तावदादीनां मानानि १, ८, ३, ४ । एभिर्मौ- ल्थानि जीवाश्चोत्थापिताः (पारावतादयः शतान्तर्वर्त्तिनः) । पक्षिणः ५, ५६, २४, १२ । मौल्यानि ३, ४०, २१, ३६ । अथवा चतुष्केणेष्टेन मानानि २, ६, ४, ४ । उत्थापिते जाताः पक्षिणः शतान्तर्वर्त्तिनः १०, ४२, ३६, १२ । मौल्यानि ६, ३०, २८, ३६ । अथवा पञ्चकेन मानानि ३, ४, ५, ४ । एभिरुत्थापने कृते जाताः पृ १५, २८, ४५, १२ । } एवमिष्टवशादनेकधा (२) । मौ ९, २०, ३५, ३६ । } उदाहरणम् । षड्भक्तः पञ्चाग्रः पञ्चविभक्तो भवेच्चतुष्काग्रः । चतुरुद्धृतस्त्रिकाग्रो द्वयग्रस्त्रिसमुद्धृतः कः स्यात् ॥ ६ ॥ अत्र राशिः या १ । अयं षड्भक्तः पञ्चाग्र इति षड्भिर्भागे ह्रिय- नी = लो १ रू० , लो १ रू० , लो १ रू० , लो १ रू० , लो १ रू०, पी = लो ० रू१ , लो ० रू२ , लो ० रू३ , लो ० रू४ , लो ० रू५ अत्र संख्यात्मकं धनमानार्थं प्रथममानत्रयमकिञ्चित्करं चतुर्थे लोहितकस्य ३, ४, ५, ६ एभिरुत्थापने कृते चत्वारि मानानि, पञ्चमे च लोहितकस्य १, २, साभ्यामुत्थापने कृते मानद्वयम् । एवं यावत्तावदादीनां षण्मानान्वेव भवन्ति भास्कर- प्रदर्शितगणितेन । (१) वि० टी०—यद्वा भाज्ये रूपमात्रं हरस्तत्र कुट्टकवचनमप्रमेय । भाज्य- स्याल्पत्वात्पूर्वं वर्णान्तरेणोत्थाप्य भाज्यपूर्ववर्णमानानि गुणेन हन्यन्ते । (२) वि० टी०—अत्र निष्पार षोडशौयेति ।

संक्षेपे" Then: ह ४ रू ३=लो । -> Wait, letter is ह or इ? Wait, look at line 18: "एतद्धरितकमानम्।" -> हरितक = ह! So the variable is हरितक, abbreviated as ह! Wait, look at the letter in L13: Is it ह? Wait, look at line 13: ह ४ रू ३=लो । Wait, let's check: ४ * ह + ३ = लो? If लो = ४ ह + ३: Then पी = (३ लो - १)/४ = (३(४ ह + ३) - १)/४ = (१२ ह + ९ - १)/४ = (१२ ह + ८)/४ = ३ ह + २. Look at line 14: ह ३ रू २=पी । EXACT MATCH! ह ३ रू २ = पी! So line 13 is ह ४ रू ३=लो । (wait, or is it ह ४ रू ३ = लो?) Wait, in line 13: ह ४ रू ३=लो । Wait, look at the letter before ४ in line 13: It looks like ह with a loop, wait, or इ? No, it's ह!

अनेकवर्णसमीकरणम् । ८७ अयमेव पञ्चापहतश्चतुरग्र इति लब्धं नीलकं प्रकल्प्य तद्गुणित- हरेण स्वाग्रयुतेन नी ५ रु ४ समीकरणेन जातं कालकमानम् का = (नी ५ रु १ं) / ६ । एतत् कालकमानं भिन्नं लभ्यत इति कुट्टकेनाभिन्नं कालकोन्मा- नम् = पी ५ रु ४ । अनेन पूर्वराशिम् का ६ रु ५ उत्थाप्य जातम् = पी ३० रु २९ । पुनरयं चतुर्भक्तस्त्र्यग्र इति प्राग्वत् साम्ये कृते जातम् पी = (लो ४ रु २ं६) / ३० = (लो २ रु १ं३) / १५ अत्रापि कुट्टकाल्लब्धं पीतकमानम् पी = ह २ रु १ । अनेन पूर्वराशौ पी ३० रु २९ इत्थापिते जातो राशिः ह ६० रु ५९ । पुनरयं त्रिभक्तो द्यग्र इति स्वत एव जातः । शून्यैकाद्युत्थापनाद्बहुधा । उदाहरणम् । स्युः पञ्चसप्तनवभिः क्षुण्णेषु हृतेषु केषु विंशत्या । रूपोत्तराणि शेषाण्यवाप्तयश्चापि शेषसमाः ॥ ७ ॥ अत्र शेषाणि या १, या १ रु १, या १ रु २ । एता एव लब्धयः । प्रथमो राशिः = का १ । अस्मात् पञ्चगुणिताद्राशेर्लब्धिगुणं हरमपास्य जातं शेषम् का ५ या २०ं एतद्यावत्तावत्समं कृत्वा लब्धा यावत्ताव- दुन्मितिः या = का ५ / २१ अथ द्वितीयो राशिः नी १ । अस्मात् सप्तगुणाद्रूपाधिकयावत्ता- वद्गुणहरमपास्य जातम् नी ७ या २०ं रु २०ं । एतदस्य या १ रु १ समं कृत्वा लब्धा यावत्तावदुन्मितिः या = (नी ७ रु २ं१) / २१ एवं तृतीयः = पी १ । अस्मान्नवगुणाल्लब्धि-या १ रु २ गुणहर- मपास्य शेषम् पी ९ या २०ं रु ४०ं । इदमस्य या १ रु २ समं कृत्वा लब्धा यावत्तावदुन्मितिः या = (पी ९ रु ४२ं) / २१ । आसां प्रथमद्वितीययोर्द्वितीयतृतीययोः साम्यकरणेन लब्धे काल कनीलकयोन्मिती

८८ बीजगणिते नी ७ रू २१ पी ९ रू २१ । फा = ──────── नी = ──────── ५ ७ अत्र नीलकोन्मितौ कुट्टकेन नीलपीतकयोर्माने कृत्वा काल- कोन्मितौ नीलके स्वमानेनोत्थापिते कालकमानं भिन्नं लभ्यत इति कुट्टकेनाभिन्ने कालकलोहितकयोर्माने । का = ह ६३ रू ४२ । लो = ह ५ रू ४ । अत्र नीलपीतकयोर्लोहितके स्वमानेनोत्थापिते जाते तन्माने नी = ह ४५ रू ३३ । पी = ह ३५ रू २८ । यथा क्रमेण न्यासः । का = ह ६३ रू ४२ । नी = ह ४५ रू ३३ । पी = ह ३५ रू २८ । अथ यावत्तावदुन्मितिषु कालकादीन् स्वस्वमानेनोत्थाप्य स्व- च्छेदेन विभज्य लब्धं यावत्तावन्मानम् या = ह १५ रू १०। अत्र शेषसमे फले न हि शेषं भागहाराधिकं भवितुमर्हति । अतो हरितकं शून्येनो- त्थाप्य जाता राशयः ४२, ३३, २८ । अग्राणि च १०, ११, १२ । एता एव लब्धयः । उदाहरणम् । एकाग्रो द्विहतः कः स्याद् द्विकाग्रस्त्रिसमुद्धृतः । त्रिकाग्रः पञ्चभिर्भक्तस्तद्वदेव हि लब्धयः ॥ ८ ॥ अत्र राशिः या १ । अयं द्विहत एकाग्र इति तत्फलं च द्विहतमे- काग्रमिति फलप्रमाणम् फा २ रू १ । एतद्गुणं हरं स्वाग्रेण युतं तस्य या १ समं कृत्वा लब्धं यावत्तावन्मानम् = का ४ रू ३ । अस्यै- कालापो घटते पुनरपि त्रिहतो द्वयग्र इति तत्फलं च नी ३ रू २ । एतद्गुणहरमग्रयुतं च नी ६ रू ८ इदमस्य का ४ रू ३ समं कृत्वा कालकमानं भिन्नं कुट्टकेनाभिन्नं जातम् पी ९ रू ८ अनेन काल- कमुत्थाप्य जातो राशिः पी ३६ रू ३५ । अस्यालापद्वयं घटते । पुनरयं पञ्चभक्तस्त्र्यग्र इति तत्फलं च लो ५ रू ३ । एवं हरगुणम्-

or d/द)? In Bijaganita, the formula is: "वर्गादेर्दो हरस्तेन पदं प्रकृतितो हरः ।" (from the section on Varga-prakriti / Kuttaka). Yes, "वर्गादेर्दो हरस्तेन"! But here, the letter looks like 'र्दो' or 'र्शो'. Let's look closely: it is 'र्दो' (द with repha and o-kar)!

Wait, let's check line 28: "ऽनेनोत्थापितौ जातौ राशी ह ३१५ रु ९६, ह ३७८ रु ११६ ।" Yes, perfect.

Wait, let's check line 29-30: "(२) वि० द्वयो राश्योरेकष्टगुणहराणां घातो वा हराणामपवर्त्यो यदि क्षिप्यते तदा-" Wait, "एकष्टगुणहराणां"? Look closely: "द्वयो राश्योरेकष्टगुणहराणां" or "द्वयो राश्योरेकैकगुणहराणां"? Wait, look at the letters: "द्वयो राश्योरे" then 'क' then 'ष्ट' or 'क'? Wait, 'कै' with aikara? Let's zoom into line 29: "द्वयो राश्योरे" - then 'क' - then 'ै' (two slants above) - 'क'? Wait,

९० बीजगणिते स हरितकेनानेन ह ७ गुणितस्तस्य क्षेपः स्यादिति जातः प्रथमः क्षेपः ह ३१५ रु ५१। अथवा प्रथममेकं व्यक्तं प्रकल्प्य द्वितीयः साध्यो वा जातौ राशी रु ५१, (१) श्वे १२६ रु ८० । उदाहरणम् । नवभिः सप्तभिः क्षुण्णः को राशिस्त्रिंशता हृतः । यदग्रैक्यं फलैक्याढ्यं भवेत् षड्‌विंशतेर्मितम् ॥ १० ॥ अत्रैकहरत्वाच्छेपयोः फलयोर्युतिदर्शनाच्च गुणयोगो गुणकः कल्पितः रु १६ । राशिः = या १ । लब्ध्यैकप्रमाणं कालकस्तद्गुणितं हरं गुणगुणिताद्राशेरपास्य जातं शेषम् या १६ का ३०̇ । एतत् फलेन कालकेन युतं या १६ का २९̇ षड्‌विंशतिसमं कृत्वा कुट्टकेन प्राग्व- ज्जातं यावत्तावन्मानम् नी २९ रु २७ । (२) अत्र लब्ध्यग्रयोगस्यैक- तानिर्देशात् क्षेपो न देयः । उदाहरणम् । कस्त्रिसप्तनयक्षुण्णो राशिस्त्रिंशद्विभाजितः । यदग्रैक्यमपि त्रिंशत्कृतमेकादशाग्रकम् ॥ ११ ॥ (१) वि०-कल्पने प्रथमो राशिर्व्यक्त = व्य, पञ्चभक्त एकाग्र । द्वितीयोऽव्यक्त = ६या + २ तदा द्वितीयालापेन यावत्तावदुन्मितिः या = (३का + व्य)/६, तृतीयालापेन यावत्तावदुन्मितिः या = (९नी + ३ - व्य)/६ अतः कुट्टकयुक्त्या यः प्रथमो राशिर्व्यक्त- कल्पितः स त्रिभिरपवर्त्य इति सिध्यति चतुर्थालापबलेन सप्तभिरनपवर्त्यश्चेति सुधी- भिर्भृशं विमृश्यम् । तत पूर्वयुक्त्या प्रथमो राशिर्व्यक्तो ३६ भवितुमर्हति ततो द्वितीयः श्वे १२६ रु १०४ । ३६ अयमाचार्यकल्पिता-५१ दस्मादल्प (१) इति । (२) वि०-टी०-कालकमानं पूर्वकुट्टकादेव का = नी १६ रु १४ । अथात्र क्षेपश्च = नी २९ अयं चेद्दीयते तदा या = ५६, तत्रैव का = ३० । किन्तु लब्धि- योगे शेषयोगयुक्ते षड्‌विंशतिर्निर्देश सा क्षेपदानान्न भवेदित्यतः "क्षेपो न देय" इति युक्तमेव । (१) वि० टी०-भास्कराचार्यप्रदर्शितराशी ५१, ८० ज्ञातव्यौ । विशेषप्रद- र्शितः समुचितो राशिः = ३६ । अयं चेत् प्रथमस्तदाऽन्य शताधिकः = १०४।

भाजकः या २३! YES! या २३ IS THE DENOMINATOR! "यावत्तावत् २३"! In Sanskrit algebra manuscripts, the unknown whose value is being sought often has its coefficient written as या २३ in the denominator! Wait, but what is after the fraction bar? ऽनया कुट्टकमानेन यावत्तावन्मानमनेकरूपा सिध्यतीति "ऽनया" = अनया (स्त्रीलिङ्ग, तृतीया)! "अनया कुट्टकमानेन..." wait, "अनया यावत्तावदुन्मित्या कुट्टकमानेन यावत्तावन्मानमनेकरूपा सिध्यतीति"! "यावत्तावदुन्मित्या— [fraction] ऽनया कुट्टकमानेन..." "यावत्तावदुन्मित्या [fraction] अनया कुट्टकमानेन यावत्तावन्मानमनेकरूपा सिध्यतीति" WOW! That is SO elegant and makes 100% sense!

4. Handling Fractions without LaTeX Math Syntax:
   • The prompt instructions:
     • "Transcribe the image ... line by line into pure, clean Markdown in Unicode Devanagari."
     • "Do NOT output LaTeX math syntax."
     • "Prefix each line with line marker like , ."
   • How to transcribe visual fraction lines? Option A: Inline

भागलब्धस्य नो कल्प्या क्रिया (१)व्यभिचरेत् तथा ॥ - अतोऽन्यथा यतितव्यम् । अत्र स्वस्वभागहारान्न्यूने शेषे यथा भवतो यथा चाखिलं स्यात् तथा शेषयोगं विभज्य क्रिया कार्या । तथा कल्पिते शेषे ४०, ६० । राशिः या १ । एष त्रयोविंशतिगुणः पञ्चहृतः फलं कालकस्तद्गुणं हरं शेषयुतमस्य या २३ समं कृत्वा लब्धं यावत्तावन्मानम् या = फा ६० रु ४० / २३ । एवमन्यत् या = नी ८० रु ६० / २३ । अनयोः समीकरणे कुट्टकेन लब्धे कालकनीलकमाने का = पी ४ रु ३ । नी = पी ३ रु २ । आभ्यामुत्थापने यावत्तावन्मानं मिश्रं स्यादिति कुट्टकेनाभिन्नं जा- तम् = लो २४० रु २० । अथ वा शेषे ३०, ७० । आभ्यां राशिः = लो २४० रु ९० । उदाहरणम् कः पञ्चगुण

अनेकवर्णसमीकरणम् । ९३ (१)अतोऽत्रान्यथा(२)यतितव्यम्। अत्र किल हरतुल्ये राशौ कल्पिते १३ राशिफलयोरेनानेन १८ यदि इदं ५ फलं तदा त्रिंशता किमिति लब्धं फलम् २५/३ । एतत्.त्रिंशतोऽपास्य शेषं जातो राशिः ६५/३ । (३)अथायोदाहरणम् षट्शतकाः क्रीत्या समार्घेण फलानि ये । विक्रीय च पुनः शेषमेकैकं पञ्चभिः पणैः । जाताः समपणास्तेषां कः क्रयो विक्रयश्च कः ॥ १४ ॥ एष तृतीयो राशिः स्वीक्रियते तेन तां क्रियां न योजयेत् न विदध्यादिति । या पक्षा- न्तरे क्षेपं योजयेत् तदा सा कथं प्रवर्तेत इति । (१) अत्र राशिः या १ पञ्चगुणितो या ५ विडरहतो लब्धं कालकस्ततो लब्धि- गुणो हरो भाग्यसम इति जातौ पक्षौ या ५ का ० } या ० का १३ } ततो यावत्तावदुन्मितिः या = का १३/५ , कल्प्यौशेन युता त्रिंशत्समेति जातौ पक्षौ या १ का १ रू ० } या ० का ० रू ३० } ततो यावत्तावदुन्मितिःया = का १̇ रू ३० पुनरेषयावत्तावदुन्मितिभ्यां लब्धं कालकमानम् का = २५/३ एवमत्र न निराधारा क्रिया भवेत् । (२) वि० टो० —अन्यथाऽव्यक्तगणितमार्गमुपेक्ष्य व्यक्तगणितपक्षमाश्रित इत्यर्थो भास्करगमये तादृशव्यक्तगणितस्याप्रकारोऽपि इहतोत्तरं कथमपि दातव्यमिति बुद्ध्या अन्यथा कल्पितव्यं यत्नः कर्तव्य इति । (१) वि०—अत्र फलमानानि क्रमेण प्र, द्वि, तृ क्रयविक्रयमाने क्रमेण क्र, वि, प्रत्ययेन क्रमेण रू१, नी१, पी१, शेषविक्रयमानम् दे(क) १/शे (३) वि०टो०—६५/३ फलानां समर्घेकं फलं हरैकेन पणेन विक्रीतेऽष्टादश- शं लब्धं हरकैकस्य रूपं ३०-१/३ ।

तः(no, that's त्र). Look atअथात्रin line 15:अ थ ा त ् र. The त्रhas a loop or slant:त्र. In line 18, after ना, is it व? It is व! ना व ा ह ा र->नावाहार? Wait, why would it be नावाहार? Wait, could it be नानाहार? Wait, what if it's भाज्यहारौ->हारौ->नानाहार? Wait, let's look at ना: could it be भा? No, it's ना. Wait, look at: नावाहार इत्याचार्य्यकल्पना? Wait, could it be: नापहार? But there is a letter between नाandा? Wait, let's zoom in to maximum on line 18: मुद्दिष्टमेव" इत्यनेन नावाहार इत्याचार्यकल्पनाWait, look at the letter betweenनाandह: It is वा! ना वा ह ा र? Wait! Could it be नात्राहार? Wait, could it be नात्रापहार`

अनेकवर्णसमीकरणम् । ०५ विलोकनीयम् । मदीयस्वल्पनायुक्त्या च बहवः प्रश्नाः सुखेन साध्या भवन्तीति । अत्र मदीयप्रकारे क्षे = ५ । धनाना- ६, ८, १०० मपवर्त्तनम् = २ । तेन भा ५ क्षे १ / हार ततो गुणः = १, लब्धि. = २, इष्टाहतस्वस्वहारेण युक्ते इत्यनेन २५ इष्टं प्रकल्प्य गुणः ५१, लब्धिः १२७ ६ × १२७ = ७६२ ∴ ७६२ / ५१ = १४, ४८ / ५१ सर्वधनम् = ४८ × ५ + १४ = २५४ एवं सर्वत्र समानम् । अत्र विष्णुदैवज्ञोक्तं सूत्रम् । "(ग) शेषविक्रयहतेष्टविक्रयः शीतरश्मिरहितो भवेत् क्रयः । पुंधनादधिक इष्टविक्रयः कल्प्य इत्थमवगम्य धीमता" ॥ (ग) वि० श०-पञ्चशतकाः संत्वेति । अत्र प्रथमादिधनानि = प्र, द्वि, तृ । यत्र प्र > द्वि > तृ । अत्र क्रयमानम् = क = या । विक्रयमानम् = वि । फलानि समार्घेण क्रीत्वा विक्रीय च लब्धयः क्रमेण का, नी, पी । शेषमेककं पञ्चभिः पञ्चभिः पणैर्विक्रीतमेव सर्वे समधना अभूवन् । शेषविक्रयमानम् = शे । अतः समधनानि प्रथमलब्धिग्रहणात् ततो द्वितीयादिलब्धितः— सम = शे. प्र. क - का. शे. वि + का = शे. प्र. क - का (शे. वि - १) " = शे. द्वि. क - नी. शे. वि + नी = शे. द्वि. क - नी (शे. वि - १) " = शे. तृ. क - पी. शे. वि + पी = शे. तृ. क - पी (शे. वि - १) { (नी - का) (शे. वि - १) = क. शे (द्वि - प्र) । अतः { (पी - का) (शे. वि - १) = क. शे (तृ - प्र) । { (पी - नी) (शे. वि - १) = क. शे (तृ - द्वि) । अतः क = (नी - का) (शे. वि - १) / शे (द्वि - प्र) = (पी - का) (शे. वि - १) / शे (तृ - प्र) = (पी - नी) (शे. वि - १) / शे. (तृ - द्वि)