बीजगणितम् (भास्कराचार्य द्वितीय - प्राचीन भारतीय समीकरण एवं बीजगणित सूत्र सटीक)

अनेकवर्णमध्यमाहरणभेदाः । १०३

उदाहरणम्।

यस्य वर्गकृतिः पञ्चगुणा वर्गशतोनिता। मूलदा जायते राशिं गणितज्ञ वदाशु तम् ॥ १ ॥

अत्र राशिः=या १ । अस्य वर्गकृतिः पञ्चगुणा वर्गशतेनोना यावव ५ याव १०० । अयं वर्ग इति कालकवर्गसमं कृत्वा गृहीतं कालकवर्गस्य मूलम् का १। द्वितीयपक्षस्यास्य यावव ५ याव १०० । यावत्तावद्वर्गेणापवर्त्य वर्गप्रकृत्या मूले क १० ज्ये २० वा क १७० ज्ये ३८०। कृत्याऽपवर्त्ते कृते "ज्येष्ठं कनिष्ठेन तदा निहन्यात्" इति जातम् ज्ये २०० वा ज्ये ६४६००। इदं कालकमानं कनिष्ठं प्रकृतिवर्णमानं स एव राशिः १० वा १७० ।

उदाहरणम्।

कयोः स्यादन्तरे वर्गो वर्गयोगो ययोर्घनः। तौ राशी कथयाश्वक्षि बहुधा बीजवित्तम ॥ २ ॥

अथ राशी या १, का १ । अनयोरन्तरं या १ं का १ नीलकवर्गसमं कृत्वा लब्धं यावत्तावन्मानम् का १ नीव १ं । अनेन यावत्तावदुत्थाप्य जातौ राशी का १ नीव१ं, का १ । अनयोर्वर्गयोगः काव २ नीवकाभा २

१०४ बीजगणिते (१)साव्यक्तरूपो यदि वर्णवर्गस्तदाऽन्यवर्णस्य कृतेः समं तम्। कृत्वा पदं तस्य तदन्यपक्षे वर्गप्रकृत्याऽप्तवदेव मूले। कनिष्ठमाद्येन पदेन तुल्यं ज्येष्ठं द्वितीयेन समं विदध्यात् ॥ ८॥ अत्र प्रथमपक्षमूले गृहीते सत्यन्यपक्षे साव्यक्ताऽव्यक्तकृतिः सरू- पारूपा वा भवति तत्राद्यपक्षस्यान्यवर्णवर्गसमीकरणं कृत्वा मूले। तयोः कनिष्ठमाद्यस्य पदेन ज्येष्ठं द्वितीयपक्षपदेन च समं कृत्वा वर्णमाने साध्ये । उदाहरणम्। त्रिकादियुत्तरश्रेढ्यां गच्छे क्वापि च यत् फलम्। तदेव त्रिगुणं कस्मिन्नन्यगच्छे भवेद्वद ॥ १ ॥ अत्र श्रेढ्योर्न्यासः । आदि=३, चय.=२, गच्छः-या १। आदिः=३, चय.=२, गच्छः=का १ । अनयोः (क)फले=याव १ या २, काव १ [L1

: 'ई' has that PLUS an anchor/curve on top! Now look at line 19: Does it have an anchor on top? YES, it has an anchor/curve on top! AND DOES IT HAVE A HORIZONTAL STROKE or another mark? Wait! Look at line 14, above the fraction: Between line 14 and 15: There is:

ई.²

४इ.² Wait! In line 14, someone wrote: कल्प्यते नी² = इ.² या² + ई. या. का + [?]² का² Wait, is that [?]² का² or is it ई. का²? Wait, look at line 14: Is the letter before का² in line 14: ई.² का² ? Wait, look at line 14:

• [?]² का² Wait, look at the mark above that letter: It's a '²'! And look at line 15: वा नी² = इ.² या² + ई. या. का + ई.² --- × का² + का² ( [?]² - ई.² / ४इ.² ) ४इ.² Wait! In line 15, inside the bracket: का² ( [?]² - ई.² / ४इ.² ) Wait, what is [?]²? Why would it be [?]² -

१०६ बीजगणिते शेषं ततः क्षेपकमुकवच्च मूले विदध्यादसकृत् समत्वे ॥ ९ ॥ सम्भाविते वर्णकृती तु यत्र तन्मूलमादाय च शेष कस्य । इष्टोद्धृतस्येष्टवियर्जितस्य दलेन तुल्यं हि तदेव कार्यम् ॥ १० ॥ यत्र प्रथमपक्षमूले गृहीते द्वितीयपक्षे वर्णयोः कृती सरूपे अरूपे वा भवतस्तत्रैकां वर्णकृतिं प्रकृतिं प्रकल्प्य शेषं क्षेपम् । तत “इष्टं ह्रस्वं तस्य वर्गः प्रकृत्या क्षुण्ण” इत्यादि करणेन क्षेपजातीयं वर्णमेका द्विहतं युतं वा स्वबुद्ध्या कनिष्ठपदं प्रकल्प्य ज्येष्ठं साध्यम् । यथ वर्गगता चेत् प्रकृतिरिति तदा “इष्टभक्तो द्विधा क्षेप” इत्यादिना मूले साध्ये यत्र भावितं च वर्त्तते तत्र “सम्भाविते वर्णकृती तु” इत्यादिना तदन्तर्वर्त्तिनो यावतो मूलमस्ति तावतो मूलं ग्राह्यम् । शेषस्येष्टोद्धृ- तस्येष्टवियर्जितस्य दलेन समं तदेव मूलं कार्यम् । यत्र तु द्वित्र्यादयो वर्णवर्गादयो भवन्ति तत्र द्वाविमौ वर्णौ मुक्त्वाऽन्येषामिष्टानि मानानि कृत्वा मूले साध्ये । एवं तदैव यदाऽसकृत् समीकरणं यदा तु सकृ- देव समीकरणं तदैकं वर्णं मुक्त्वाऽन्येषामिष्टानि मानानि कृत्वा प्रा- ग्वन्मूले । उदाहरणम् । तौ राशी वद यत्कृत्योः सप्ताष्टगुणयोर्युतिः । मूलदा स्याद्वियोगस्तु मूलदो रूपसंयुतः ॥ १ ॥ अत्र राशी या १, का १ । अनयोर्वर्गयोः सप्ताष्टगुणयोर्युतिः याव ७ काव ८ । अयं वर्ग इति नीलकवर्गेण समीकरणार्थं न्यासः— याव ७ काव ८ नीव ० । याव ० काव ० नीव १ । समशोधने कृते कालकवर्गाष्टकं प्रक्षिप्य गृहीतं नीलकपक्षस्य मूलम् नी १ । परपक्षस्यास्य याव ७ काव ८ । वर्गप्रकृत्या मूले तत्र या- वत्ताद्वर्गे योऽङ्कः सा प्रकृतिः शेषं क्षेपः काव ८ । “इष्टं ह्रस्वम्” इत्यादि- ना कालकद्वयमिष्टं प्रकल्प्य जाते मूले कनिष्ठम् का २ । ज्येष्ठम् का ६ । • ज्येष्ठं नीलकमानं कनिष्ठं यावत्तावन्मानं तेन यावत्तावदुत्थाप्य जातौ राशी का २, का १ । पुनरेतद्वर्गयोः सप्ताष्टगुणयोरन्तरं सैकं जातम् काव २० रू १ । एतद्वर्ग इति प्राग्वल्लब्धं कनिष्ठमूलम् २ वा ३६ । एतत्कालमानेनोत्थापितौ जातौ राशी ४, २ वा ७२, ३६

अनेकवर्णमध्यमाहरणभेदाः । १०७ उदाहरणम् । घनवर्गयुतिर्वर्गो ययो राश्योः प्रजायते । समासोऽपि ययोर्वर्गस्तौ राशी शीघ्रमानय ॥ २ ॥ अत्र राशी या १, का १ । अनयोर्वर्गघनयोर्योगः याव १ काघ १ अयं वर्ग इति नीलकवर्गसमं कृत्वा पक्षयोः कालकघनं प्रक्षिप्य नीलकपक्षस्य मूलम् नी १ । परपक्षस्यास्य याव १ काघ १ वर्गप्र- कृत्या मूले तत्र यावत्तावद्वर्गे योऽङ्कः सा प्रकृतिः शेषं क्षेपः प्रकल्प्यः । प्रकृति याव १ । क्षेपः काघ १ । “इष्टभक्तो द्विधा क्षेपः” इत्यादिना कालकेनेष्टेन जाते मूले क= (काव १ का १ं)/२, ज्ये= (काव १ का १)/२ । कनिष्ठ यावत्तावन्मानं तेनो- स्थाप्य जातौ राशी (काव १ का १ं)/२, का १ । अनयोः समासः (काव १ का १)/२ अयं वर्ग इति पीतक

गृहीतम् या ६ का ३। शेषस्यास्य काव २७। इष्टेन कालकेन हत- स्येष्टकालकवर्जितस्य च दलेन का १३। तन्मूलं समं कृत्वा लब्धं यावत्तावन्मानम् का ५/३। अनेन यावत्तावदुत्थाप्य जातौ राशी का ५/३, का १। अनयोर्वर्गयुतेः काव ३४/९ घातयुतायाः काव ४९/९ मू- लम् का ७/३। अनेन राशियोगो का ८/३ गुणितः काव ५६/९ सरूपो जात: (का ५६ रु ९)/९ । अमुं पीतकवर्गसमं कृत्वा समच्छेदीकृत्य पक्ष- योर्नव रूपाणि प्रक्षिप्य लब्धं कनिष्ठमूलम् ६ वा १८०। एतत्कालक- मानमित्यनेनोत्थापितौ जातौ राशी १०, ६। वा ३००, १८०। एवम- नेकधा। अथोदाहरणम्। राश्योर्ययोः कृतियुतिवियुती चैकेन संयुते वर्गौ। रहिते वा तौ राशी गणयित्वा कथय यदि वेत्सि ॥ ४ ॥ अथ प्रथमोदाहरणे कल्पितौ राशिवर्गौ याव ४, याव ५ रु १। अनयोर्योगवियोगौ रूपयुतौ मूलदौ भवतः। कथितप्रथमवर्गस्य मूल- मेको राशिः या २। द्वितीयस्यास्य याव ५ रु १ वर्गप्रकृत्या मूले क १ ज्ये २ वा क १७ ज्ये ३८। अनयोर्ज्येष्ठऽयं द्वितीयराशिः। ह्रस्वे यावत्तावन्मानेनोत्थाप्याद्यराशिः। एवं जातौ राशी २, २ वा ३४, ३८। अथ द्वितीयोदाहरणे तथैव कल्पितः प्रथमराशिः या २। द्विती- यस्यास्य याव ५ रु १। वर्गप्रकृत्या मूले क ४ ज्ये ९ वा क ७२ ज्ये १६१। कनिष्ठेन प्रथम उत्थापितो ज्येष्ठं द्वितीय इति जातौ राशी ८, ९ वा १४४, १६१। यत्रालपराशिद्विगुणेन यो राशिरूनितो युतश्च मूलदः स्यात् स तावद्व्यक्त एव द्वितीयो ज्ञेयः। तस्यानयनेऽप्युपायस्तत्तथा-

अनेकवर्णमध्यमाहरणभेदाः । १०९ कल्पित(१) राशिवर्गः ४ । अनेन द्वितीयराशिरूनितो युतश्च मूलदः स्यादित्ययं द्विगुणः ८ । वर्गान्तरमिदं कयोरपि च योगान्तर- घातसमम् । अतोऽन्तरमिष्टं २ कल्पितं "वर्गान्तरं राशिवियोगभक्तम्" इति जाते वर्गान्तरयोगमूले १, ३ । आद्यस्य वर्गे १ कल्पितराशि- वर्गं ४ प्रक्षिप्य द्वितीयस्य वर्गान् ९ वा विशोध्य जातो द्वितीयः ५ । अत्र चाल्पराशिवर्गस्तथा कल्प्यते यथा द्वितीयराशिरभिन्नः स्यात् । तथाऽन्यः कल्पितः ३६ । द्विगुणः ७२ । इदं वर्गान्तरम् । राश्यन्तर- षट्के कल्पिते जातौ ३, ६ । अन्यवर्गात् ८१ कल्पितं विशोध्य जातो द्वितीयः ४५ । चतुष्केण वा ८५ द्विकेन वा ३२५ । अथान्यथा कल्पने युक्तिः । राश्योर्घातेन द्विगुणेन वर्गयोगो युतो- नितोऽवश्यं मूलदः स्यात् । राशिवधो द्विगुणो यथा वर्गः स्यात् तथैको वर्गोऽन्यो वर्गार्धमिति कल्प्यौ । यतो वर्गयोर्वधो वर्गो भव- तीति तथा कल्पितौ । एको वर्गः १ । अन्यो वर्गार्धम् २ । अनयोर्घा- तो २ द्विगुणः ४ अयं प्रथमः । अयमल्पराशिवर्गः । तयोरेव वर्गयोगः ५ । अयं द्वितीयो राशिः । अथवैको वर्गः ९ । अन्यो वर्गार्धम् २ । अनयोर्घातो १८ द्विगुणः ३६ । अयमल्पराशिवर्गः । अथ तयोरेव वर्गयोगः ८५ । अयं द्वितीयो राशिः । एतौ व्यक्तौ यावत्तावद्वर्गगुणौ कल्पितौ । प्रथमोदाहरणे (१) वि०—कल्प्यते का² = या - इ², नी² = या + इ² तदाऽनयोरन्तरम् नी² - का² = २इ² । अथ यदि नी - का = इ तदा नी + का = २इ² / इ , नी - का = इ २इ²/इ - इ २इ²/इ + इ ततः का = ─────────, नी = ───────── २ २ ताभ्यां या = का² + इ² = नी² - इ², अतः उपपन्नं मूलदत्वं गद्यमिति ।

११० बीजगणिते, रूपयुतः द्वितीयो राशी रूपेणोनो द्वितीयोदाहरणे कार्यः। एवं कृत्वा तौ तथा राशिवर्गौ कल्पितौ यथाऽऽलापद्वयं घटते किन्तु प्रथमस्य मूलं गृहीत्वा द्वितीयस्य वर्गप्रकृत्या मूलमित्यादि पूर्वो- क्तमेव। एवमनेकधा। अथ कस्याप्युदाहरणम्। यत् स्यात् साप्तवधार्धतो घनपदं यद्वर्गयोगात् पदं यद्योगान्तरयोर्द्विकाभ्यधिकयोर्वर्गान्तरात् साष्टकात्। यच्चैतत्पदपञ्चकं तु मिलितं स्याद्वर्गमूलप्रदं तौ राशी कथयाशु निश्चलमते पङ्काष्टकाभ्यां विना ॥ ५॥ साप्तवधस्यार्द्धाद्धनपदं ग्राह्यम्। अत्रालापानां बहुत्वेऽसकृत् क्रिया कार्या सा न निर्वह्रतयतो बुद्धिमता तथा राशी कल्प्यौ यथैकेनैव वर्णेन सर्वेऽप्यालापा घटन्ते। तथा कल्पितौ राशी याव १ रू १, या २। अनयोः साप्तवधार्धतो घनपदम् या १। वर्गयोगात् पदम् याव १ रू १। द्विकयोगपदम् या १ रू १। द्विकान्तरपदम् या १ रू १̇। साष्टवर्गान्तरपदम् याव १ रू ३̇। एषां योगः याव २ या ३ रू २̇। अयं वर्ग इति कालकवर्गसमं कृत्वा पक्षावष्टभिः संगुण्य पञ्चविंशतिरूपाणि प्रक्षिप्य प्रथमपक्षस्य मूलम् या ४ रू ३। परपक्षस्यास्य काव ८ रू २५ वर्गप्रकृत्या मूले क ५ ज्ये १५ वा क ३० ज्ये ८५ वा क १७१ ज्ये ४९५। ज्येष्ठं पूर्वपदेन समं कृत्वा लब्धं यावत्तावन्मानम् ३, वा ४१/२, वा १२३। अनेनोत्थापितौ राशी ८, ६ वा १६७७/४, ४१ वा १५१२८, २४६। एवमनेकधा। अथवा यावत्तावद्वर्गो यावत्तावद्वयेन युत एको राशिः याव १ या २। यावत्तावद्वयं रूपद्वययुतमन्यराशिः या २ रू २। अथवा यावत्तावद्वर्गो यावत्तावद्वयोने एको राशिः याव १ या २̇। यावत्तावद्वयं रूपद्वयोनमन्यराशिः या २ रू २̇। अथवा यावत्ता- वद्वर्गो यावत्तावच्चतुष्टयं रूपत्रययुतं चैको राशिः याव १ या ४ रू ३। यावत्तावद्वयं रूपचतुष्टयं चान्यः या २ रू ४। एवं सहस्रधा गूढा मूढानां कल्पना यतः। कृपया कल्पनोपायस्तेषामेव च कथ्यते॥

अनेकवर्णमध्यमाहरणभेदाः । १११ अथ सूत्रं वृत्तद्वयम् । (१) सरूपमव्यक्तमरूपकं वा वियोगमूलं प्रथमं प्रकल्प्य । योगान्तरक्षेपकभाजिताद्यद्वर्गान्तरक्षेपकतः पदं स्यात् ॥ ११ ॥ (१) वि०-अत्र कल्प्यते योगान्तरक्षेपमानम् = क्षे, वर्गान्तरक्षेपमानम् = क्षे, वर्गयोगक्षेपमानम् = क्षे२ वियोगमूलम् = या, योगमूलम् = का तदा प्रश्नानुसारेण वियोगः = या² - क्षे, योगः = का² - क्षे अल्पराशिः = (का² - या²) / २ , बृहद्राशिः = (का² + या² - २क्षे) / २ बृहद्राशिवर्गः = (या⁴ + २ यो. का² - ४ क्षे.या² + का⁴ - ४ क्षे.का² + ४क्षे²) / ४ लघुराशिवर्ग = (या⁴ - २ या.²का² + का⁴) / ४ वर्गान्तरम् = (४या.²का² - ४ क्षे.या² - ४ क्षे.का² + ४ क्षे²) / ४ = या.²का² - क्षे.या² - क्षे.का² + क्षे² = या.²का² - २ या.का.क्षे + क्षे² - क्षे.या² + २ या.का.क्षे - क्षे.का² = ( या.का - क्षे )² - क्षे ( या² - २ या.का + का² ) अत्र यदि क्षे ( या² - २ या.का + का² ) इदं क्षेपमाने स्यात् तदाऽवश्यं निरव- यवमूलम् ( या.का - क्षे ) इदमागच्छेदिति । अतो वर्गान्तरक्षेपमानम् = क्षे१ = क्षे ( या² - २याका + का² ) अतः या² - २याका + का² = क्षे१ / क्षे मूलग्रहणेन का - या = √(क्षे१ / क्षे) अत उक्तं सरूपमव्यक्तमरूपकं वेत्यादि ।

११२ बीजगणिते ⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀क्षे₁⠀⠀⠀० परन्तु यदि क्षे = ० तथा क्षे₁ = ० तदा ── = ── । ⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀क्षे⠀⠀⠀⠀० ०/० अस्य मानं कियदित्यस्य ज्ञानं दुर्घटमतस्तदाऽऽचार्योक्तानुसारेण न राशिकल्पना समीचीनाऽतोऽस्माभिरन्यथा राशिकल्पनोपायो यतितः । कल्प्यते / क्षे₁ ⠀⠀⠀⠀⠀√ ─── = प ततः का = या + प । ⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀क्षे पूर्वराशिद्वयवर्गयोग ⠀⠀२ या४ + २ का४ - ४ क्षे.या२ - ४ क्षे.का२ + ४क्षे२ = ─────────────────────────── ⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀४ ⠀⠀२ या४ + २ (या + प)४ - ४ क्षे.या२ - ४ क्षे (या + प)२ + ४ क्षे२ = ────────────────────────────────── ⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀४ ⠀⠀२ या४ + २ या४ + ८ या.३प + १२ या.२प२ + ८ या.प३ + २प४ - ४क्षे.या२ = ────────────────────────────────────── ⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀४ ⠀⠀- ४ क्षे.या२ - ८ क्षे.या.प - ४ क्षे प२ + ४ क्षे२

• ─────────────────────────── ⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀४ ⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀प४ - २ क्षे या२ = या४ + २ या³. प + ३या२.प२ + २ या. प३ + ────────── ⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀२. ⠀⠀- क्षे.या२ - २ क्षे.या.प - क्षे.प२ + क्षे२ = या४ + २या³.प + या२ (३प२ - क्षे) + या(२प३ - २क्षे.प) - क्षे.या२ ⠀⠀प४
• ── + क्षे२ - क्षे.प२ ⠀⠀२ = या४ + २ या³.प + या२(३प२ - २क्षे ) + या ( २ प३ - २क्षे.प ) ⠀⠀प४
• ── + क्षे२ - क्षे.प२ ⠀⠀२ = या४ + २ या³. प + या.२प२ - या२.प२ + या२ ( ३ प२ - २ क्षे ) ⠀⠀+ या (२प३ - २क्षे.प ) + प४/२ + क्षे२ - क्षे प२ = ( या२ + या.प )२ + २ या२( प - क्षे ) + या ( २ प३ - २ क्षे.प ) ⠀⠀प४
• ── + क्षे२ - क्षे.प२ ⠀⠀२

अनेकवर्णमध्यमाहरणभेदाः । ११३ = ( या२ + याप )२ + २ ( प२ - क्षे ) ( या२ + या.प ) + ( प२ - क्षे )२

• या२ ( २ प२ - २ क्षे ) + या ( २ प३ - २ क्षे.प )

• २ (प२ - क्षे) (या२ - या.प) - (प२ - क्षे)२ + प४/२ + क्षे२ - क्षे.प२ = { ( या२ + या.प ) + ( प२ - क्षे ) }२ + या२ ( २प२ - २क्षे )

• २ ( प२ - क्षे ) या.प

• या२ ( २ प२ - २क्षे ) - २ ( प२ - क्षे ) या. प - ( प२ - क्षे )२ ,

• प४/२ + क्षे२ - क्षे.प२ = { (या२ + या.प) + (प२ - क्षे) }२ + प४/२ - प४ + २क्षे.प२ - क्षे२ + क्षे२ - क्षे.प२ = { ( या२ + याप ) + ( प२ - क्षे ) }२ - प४/२ + क्षे, अतो यदि वर्गयोगक्षेपमानम् प४/२ - क्षे, इदं भवेत् तदाऽवश्यं निरवयवं मूलम् ( या२ + याप ) + ( प२ - क्षे ) इदं स्यात् । तथा कृते जातं वर्गयोगक्षेपमानम् । = क्षे२ = प४/२ - क्षे, ∴ प४ = २ ( क्षे२ + क्षे, ) ततः प = ४√ २ ( क्षे२ + क्षे, ) अनेन मदुक्तमिदम् • "वर्गान्तरक्षेपकसंमितियुता क्षेपेण कल्पोर्युतिजेन ये स्त । द्विघ्न्या पदं तत्पदयुग्विभोगे मूलं युतेर्मूलमतस्तयोर्मिती" ॥ सूत्रमुपपद्यते । अत्र मदीयः प्रश्नः । (१) यत् स्याद्द्व्यत्यवधार्धतो घनपदं वर्गान्तराधात् पदं (१) वि० कृ० - "सहपमध्यमभक्तकं वा वियोगमूलं प्रथमं प्रकल्प्य ।" ततः "वर्गान्तरक्षेपकसंमितियुता" इत्यादिना या १ रू १ वियोगमूले कल्पिते योगमूलम् = १५

११४ बीजगणिते

यद्योगात् पदमन्तरादपि पदं महत्तयोः १) स्यात् पदम् । हस्त्यैर्युतितोऽथ सर्वपदता योगे वियोगे भवेद्— विद्वन्मन्द एव ही पद सपादस्तैह चेत् ते गति ॥ अत्र राश्यानयने ह्यस्मादेकसूत्रं व्यभिचरति मदीयसूत्रं चाचार्य्योदाहरणदो १ रपान्यव्यभिचारीति सुधीभिरेतद् विभावनीय मिति । अथ यो योगमूलवियोगमूलयोरन्तरज्ञानाय सकृत् प्रकारान्तरमतीव चमत्कारकर मिदं चिन्त्यम् । पातेऽथ षडंशोनयुते च पाते येनैव भक्ते घनमूलदम् । योगान्तरशेरकलब्धयोर्वैदे नभाइस्त पदं तद् ॥ अस्योपपत्ति २) राशिद्वयेन सुगमतया न लिखिताऽस्माभिः । अत्रात्र मदीयः प्रश्नः । अनु यौ पद सौ राशी रूपगुणयोगमंदा । वर्गयोगेस्त्रिभिः स्याद्रूपमूलप्रदा शरो य ॥ अस्य भङ्गः । ० (३) त्रि २ रूपयथशेरंहताऽपयेषयोौ हतः— उक्येन प्रथमा भवन्त्युत वियोहस्य तम् । स्याद् -----------------------------------

। राश्योर्योगस्त्रिसहितः याव १ या ४? Wait, look at line 11: याव १ या २ रू १̇, या २ रू २ । राश्योर्योगस्त्रिसहितः याव १ या ४Wait, why would it be याव १ या ४? Ah, look at line 12:रू ४ ।-> wait, look at the number after रू in line 12: It is४! Wait, look at रू ४ ।: Compare with रू ४ in line 13 (रू ४ । द्वितीयराशिवर्गः). The glyph in line 12 is रू ४ ।! Wait, then look at line 11 end: याव १ या ४! Yes! याव १ या ४ रू ४`! And (y + 2)^2 = y^2 + 4y + 4! So योगस्त्रिसहितः = याव १ या ४ रू ४! Its root is y + 2! Andन्तरं त्रिसहितम्: (याव १ या २ रू १̇) - (या २ रू २) + 3 = याव १ या २̇ रू १! Its root is (y - 1)! Which matches वियोगमूल = ya 1 ru 1̇! AND their sum + 3: (याव १ या २ रू १̇) + (या २ रू

११६ बीजगणिते ज्ये ४९५ । ज्येष्ठं प्रथमपक्षमूलसमं कृत्वाऽऽप्तं यावत्तावन्मानम् ३ वा १२३ । वर्गेणाद्यं केवलेनान्त्यमुत्थाप्य जातौ राशी ७, ६ वा १५१२७, २४६ । अथवा कल्पितद्वितीयराशयोर्योगस्त्रियुतः याव १ या ४ रू ४ । वियोगस्त्रियुतः याव १ । अत्राद्यवर्गः यावव १ याघ ४ याव २ या ४ रू १ । द्वितीयराशिवर्गः याव ४ या ८ रू ४ । अनयोरैक्यं चतुरूनम् यावव १ याघ ४ याव ६ या ४ रू १ । वर्गान्तरं रवियुतं यावव १ याघ ४ याव २ या १२ रू ९ । राशिघातः याघ २ याव ६ या २ रू २̇ । दलम् याघ १ याव ३ या १ रू १̇ । सान्नम् याघ १ याव ३ या ३ रू १ । एभ्यो मूलानि तत्र त्रियुतयोगमूलम् या १ रू २ । त्रियुतवियोगमूलम् या १ । चतुरूनितवर्गैक्यमूलम् याव १ या २ रू १̇ । रवियुतवर्गान्तरमूलम् याव १ या २ रू ३̇ । घनमूलम् या १ रू १ । पदपञ्चकयोगो द्वियुक्तः याव २ या ७ रू ३ । एष वर्ग इति का- लकवर्गेण समीकरणाय न्यासः—याव २ या ७ काव ० रू ३ । याव ० या ० काव १ रू ० । समशोधनात् पक्षशेषौ याव २ या ७, काव १ रू ३̇ । अत्र पक्षाव- ष्टभिः संगुण्याैकोनपञ्चाशद्रूपाणि प्रक्षिप्याद्यपक्षमूलम् या ४ रू ७ । परपक्षस्यास्य काव ८ रू २५ । वर्गप्रकृत्या मूले क ५ ज्ये १५ वा क १४५ ज्ये ४६५ । ज्येष्ठं प्रथमपक्षपदेन समं विधाय लब्धं यावत्ता- वन्मानम् २ वा १२२ । अत्र (१) वर्गेणाद्यव्यक्तवर्गराशिं केवलेनाव्यक्त- (१) वि०पु०—“वर्गेणाद्यव्यक्तवर्गराशिं केवलेनाव्यक्तमुत्थाप्य” जातौ राशी ७, ६ वा १५१२७, २४६, एवं बहुधा । इत्यत्र केनचिद्व्युत्पन्ने परिश्रमोऽवगतोऽतः स्वपुस्तके “तद्यथा” इतः प्रभृति “अपरो राशिः २४६” इत्यन्तं लिखित्वा न्यस्तम् । सर्वमेवमेव ।

marks? Second fraction numerator: इ with three vertical marks? Wait, look at line 22: First fraction numerator: इ with two vertical marks. Second fraction numerator: इ with three vertical marks. Wait! Could it be इ² and इ³ written with primes/tally marks: इ″ and इ‴? Or is it इ with Roman numerals: इᴵᴵ, इᴵᴵᴵ? Wait, let's look at how exponents are written: In line 13: या² (with a small 2 or २) In line 15: या² = इ². नी² Wait, in line 15, इ² is written with a Devanagari २ or Arabic 2? Look at line 15: इ with a small २ above/beside it! Now look at line 20: Above the first fraction, it has three dots: two dots side by side, or two vertical strokes? It looks like two vertical strokes: ″ or ॥! And above the second fraction, it has three vertical strokes: ‴! Wait, could it be इ″ and इ‴ representing second and third optional values, or powers? Wait, look at line 20: का = पी + (इ″/इ) - (इ‴/इ)

११८ बीजगणिते राशिं तेन समुत्थाप्य कुर्याद्भूयोऽपरां क्रियाम्। सरूपेणान्यवर्णेन कृत्वा पूर्वपदं समम् ॥ १४ ॥ यत्राद्यपक्षमूले गृहीते परपक्षेऽव्यक्तं सरूपमरूपं वा स्यात् तत्रा- न्यवर्णस्य सरूपस्य वर्गेण साम्यं कृत्वा तस्याव्यक्तस्य मानमानीय तेन राशिमुत्थाप्य पुनरन्यां क्रियां कुर्यात् तथा तेनान्यवर्णेन सरूपे- णाद्यपक्षपदसाम्याच्च यदि पुनः क्रिया न भवेत् तदा तु व्यक्तेनैव वर्गादिना समक्रिया। उदाहरणम्। यस्त्रिपञ्चगुणो राशिः पृथक् सैकः कृतिर्भवेत्। वदेति बीजमध्येऽसि मध्यमाहरणे पटुः ॥ १ ॥ अत्र राशिः या १। एष त्रिगुणः सैकः या ३ रू १। अयं वर्ग इति कालकवर्गसमं कृत्वा पक्षयोः रूपं १ प्रक्षिप्य मूलम् का १। अन्यपक्षस्यास्य या ३ रू १। सरूपनीलकव्यस्य वर्गेण नीव ६ नी ६ रू १ साम्यं कृत्वा लब्धयावत्तान्मानेनोत्थापितो जातो राशिः नीव ३ नी २। पुनरयं पञ्चगुणः सैको वर्ग इति नीव १५ नी १० रू १ पीतकवर्गसमं कृत्वा समशोधने कृते पक्षौ { नीव १५ नी १० । इमौ पञ्चदशभिः संगण्य पञ्चविंशतिरूपाणि प्रक्षिप्याद्यपक्षस्य मूलं पीव १ रू १ । नी १५ रू ५। परपक्षस्यास्य पीव १५ रू १०। वर्गप्रकृत्या मूले क ६ या = ई³ / ६ नी³ + ३ ई रूपव. ई / ६ नी² + ३ ई रूपव रूपव / ६ नी अत्रापि यदि ई³ / ६, ३ ई. रूपव / ६ एतद्द्वयमभिन्नं भवेत् तदा कालकमानमवश्यमभिन्नं भवेत्तेन मूलोक्तं गतं च यस्याङ्कस्य घनो हरभक्तः शुध्यतीत्याद्युपपन्नं भवति। अथाचार्योक्तोदाहरणे यद्वर्गः पञ्चभिः क्षुण्ण इत्यस्मिन् यथोक्तवत् कृत्वाऽद्य- पक्षमूलम् या ५, परपक्षे च का ८० रू १५ अस्मिन् कालकमानमभिन्नमतः पञ्चगुणितं कालकमानमप्यभिन्नम् तेन का ५ = नी इति कल्पयितुं शक्यते ऽतः का ८० रू १५ = नी १६ रू १५ इदं भवितुमर्हति तत्र वर्णान्तरविन्यासेन किं, किमप्यव्यक्तं कल्पनीयं लाघवादाचार्येण कालकमेव कल्पितमित्युपपन्नं "हित्वा क्षिप्त्वा च पदं यन्नाद्यस्येदं भवति सत्रापि" इत्यादि।

उत्थापितो जातो राशिः २१ वा ३३७४/३ । Wait, "६४ उत्थापितो" - let's check: In line 20: "अस्य घनेन ६४ उत्थापितो जातो राशिः २१ वा ३३७४/३ ।" Yes, exactly: "६४ उत्थापितो जातो राशिः २१ वा ३३७४/३ ।"

Line 21: उदाहरणम् ।

Line 22: वर्गान्तरं कयोः राश्योः पृथक् त्रित्रिगुणं त्रियुक् ।

Line 23: वर्गौ स्यातां वद क्षिप्रं षट्कपञ्चकयोरिव ॥ ३ ॥

Line 24: क्वचिदादेः क्वचिन्मध्यात् क्वचिदन्त्यात् क्रिया बुधैः ।

Line 25: आरभ्यते यथा लघ्वी निर्वहेच्च यथा तथा ॥

Line 26: अत्रोभयवर्गान्तरम् या १ । एतद्द्विष्ठं त्रिगुतं या ३ रू ३ वर्ग Wait, is it "त्रिगुतं" or "त्रिहतं"? Let's look at the letter between 'त्रि' and 'तं': It has a top bar, a vertical going down, curving right... wait

character: It has a curve on the left, but wait: is it ONE character or TWO? Wait, there is a space before 'म्मानं'? No, look: there is a character, then 'म्मानं' (mmānaṁ). Wait, is the character 'ध'? Could the word be 'अधुना मानं'? Could it be 'तन्मानं'? Could it be 'एवम्मानं'? Wait, let's look at the standard Bījagaṇita text for this verse! The verse is: "को वर्गश्चतुरूनः सन् सप्तभक्तो विशुध्यति । त्रिंशदूनाऽथवा कः स्याद्वदि वेत्सि वद द्रुतम् ॥" Let's trace the prose commentary of this verse in Bhāskara's Bījagaṇita: Problem: x^2 - 4 = 7 k x^2 = 7 k + 4 x = sqrt(7 k + 4) Using the rule "वर्गाद्यौ हरस्तेन गुणितं यदि जायते...": 7 k + 4 is equated to a square. Let 7 k + 4 = (7 n + 2)^2 = 49 n^2 + 28 n + 4. Then 7 k = 49 n^2 + 28 n, so k = 7 n^2 + 4 n. The root is

अनेकवर्णमध्यमाहरणभेदाः । १२१ अथ चाऽन्यवर्णकल्पनायां मन्दावबोधार्थं पूर्वैरुपायः पठितः । तत्र सूत्राणि । हरभक्ता यस्य कृतिः शुध्यति सोऽपि द्विरूपपदगुणितः तेनाहतोऽन्यवर्णो रूपपदेनान्वितः कल्प्यः ॥ १६ ॥ न यदि पदं रूपाणां क्षिपेद्धरं तेषु हारतष्टेषु । यावद्याद्वर्गो भवति न चेदेवमपि खिलं तर्हि ॥ १७ ॥ हित्वा क्षिप्त्वा च पदं यत्राद्यस्येह भवति तत्रापि । आलापित एव हरो रूपाणि तु शोधनादिसिद्धानि ॥ १८ ॥ , हरभक्तेति । यस्याङ्कस्य कृतिर्हरभक्ता सती शुध्यतीति निःशेषा भवति अपि च सोऽप्यङ्को द्वाभ्यां रूपपदेन च गुणितो हरभक्तः सन् शुध्यति तदा तेनाङ्केन हतोऽन्यवर्णस्तेन रूपेणान्वितः कल्प्यः । यदि तु रूपाणां पदं न तदा तेषु हरतष्टेषु रूपेषु तावद्धरं क्षिपेत् यावद्वर्गो भवेत् तन्मूलं रूपपदं भवेत् । एवमपि कृते चेद्वर्गः कदाचिन्न भवेत् तदा तदुदाहरणं खिलं स्यात् । यत्र तु आद्यपक्षस्य मूलं "हित्वा क्षिप्त्वा" (१)इत्यादिना लभ्यते तदा हर आलापित एव ग्राह्यो न तु गुणितो विभक्तो वा । रूपाणि तु समशोधने कृते शोधनादिसिद्धानि यानि तान्येव ग्राह्याणि । एवं घनेऽपि योज्यं तद्यथा यस्याङ्कस्य घनो हरभक्तः शुध्यति तथा च सोऽप्यङ्कस्त्रिभी रूपाणां घनमूलेन च गुणितो हरभक्तः शुध्यति तदा तेनाङ्केन हतोऽन्यवर्णो रूपाणां घनमूलेन चान्वितः कल्प्यः । यदि रूपाणां घनमूलं न लभ्यते तदा तेषु रूपेषु हरतष्टेषु तावद्धरं क्षिपेद्यावद्धनो भवेत् । तच्च घनमूलं रूपपदं स्यात् । एवमपि कृते च घनः कदाचिन्न भवेत् तदुदाहरणं खिलं स्यादित्यग्रेऽपि योज्यमिति शेषः । अथ द्वितीयोदाहरणे राशिः या १ । अस्य यथोक्तं कृत्वाऽऽद्यपक्षस्य मूलम् या १ । परपक्षस्यास्य का ७ रु ३० । "न यदि पदं रूपाणाम्"- इत्यादिकरणेन हारतष्टरूपेषु द्विगुणं(२) हरं प्रक्षिप्य मूलम् ४ । एतद- धिकनीलकसप्तकवर्गसमीकरणादिना प्राग्वज्जातो राशिः नी ७ रु ४ । ( १ ) वि० दा०- "त्यक्त्वा क्षिप्ता नाऽपि-"इत्यादिपूर्वपाठ । ( २ ) वि० दा०-एकगुणं हरं प्रक्षिप्यापि मूलम् ३ । एतदधिकनीलकसप्तक- वर्गसमीकरणादिनाऽपि राशि नी ७ रु ३ । १६

१२२ बीजगणिते अथ यदि ऋणरूपैरन्वितं नीलकसप्तकं नी ७ रू ४ परिकल्प्या- नीयते तदाऽन्योऽपि राशिः ३ स्यात्। उदाहरणम्। षड्भिरूनो घनः कस्य पञ्चमो विशुध्यति। तं वदाशु तथाऽलं चेदभ्यासो घनकुट्टके॥ २॥ अत्र राशिः या १। अस्य यथोक्तं कृत्वाऽद्यपक्षस्य घनमूलम् या १। परपक्षस्यास्य का ५ रू ६ हरभक्तो यस्य घनः शुध्यति सोऽपि त्रि- रूपपदगुणित इत्यादियुक्त्या नीलकपञ्चकस्य रूपषट्काधिकस्य घनेन साम्यं कृत्वा प्राग्वज्जातो राशिः सक्षेपः नी ५ रू ६। उत्थापने कृते जातो राशिः ६ वा ११। उदाहरणम्। यद्वर्गः पञ्चभिः क्षुण्णस्त्रियुक्तः षोडशोद्धृतः। शुद्धिमेति तमाचक्ष्व दक्षोऽसि गणिते यदि॥ ३॥ - अत्र राशिः या १