सूर्यसिद्धान्त (प्राचीन भारतीय खगोल गणित - सानुवाद सटीक)

३५८ सूर्य-सिद्धान्त
उदयकाल में सूर्य का निरयन भोगांश = ६^{रा} १५° २३.′ ३४″
= ६^{रा} १५° २४′
इसलिए उदयकाल में तुला राशि का १५° २४′ लग्न है ।
प्रयाग में तुला राशि का उदयकाल ५ घड़ी ४२ पल है ।
जब ३०° का उदय ५ घड़ी ४२ पल में होता है
तब १५° ,, २ घड़ी ५१ पल में होगा
और ३०′ ,, ५ पल ४२ वि० में होगा
६′ ,, १ पल ८ वि० में होगा
∴ १५° २४′ का उदय २ घड़ी ५५ पल ३४ वि० में होगा
अर्थात् तुला का भुक्तकाल = २ घड़ी ५६ पल के लगभग
∴ तुला का भोग्यकाल = २ घड़ी ४६ पल के लगभग
वृश्चिक का उदयकाल = ५ ,, ४४ ,,
धनु का ,, ५ ,, १५ ,,
मकर का ,, ४ ,, २५ ,,
कुंभ का ,, ३ ,, ४८ ,,
मीन का ,, ३ ,, ४१ ,,
कुल का योग २५ ,, ३६ ,,
अर्थात् सूर्योदय से २५ घड़ी ३६ पल तक मीन राशि का उदय हो चुका ।
इसलिए इष्टकाल में मेष राशि उदय हो रही है इसलिए यही उदय लग्न है ।
इसी को साधारणतः लग्न कहते हैं । यह जानने के लिए कि मेष राशि का कौन बिंदु
लग्न है अनुपात से काम लेना चाहिये ।
इष्टकाल = २८ घड़ी १ पल
मीन के अंत का उदयकाल २५ घड़ी ३६ पल
मेष का भुक्तकाल = २ घड़ी २५ पल
= १४२ पल
मेष का उदयकाल = ४ घड़ी ४ पल = २४४ पल
२४४ पल: १४२ पल :: ३० अंश: भुक्तांश
∴ भुक्तांश = (१४२ × ३०) / २४४ = १७° २७.′५
∴ मेष का १७° २७.′५ लग्न है ।

त्रिप्रश्नाधिकार ३५६
उदाहरण ४—यदि प्रयाग में सूर्योदय काल के स्पष्ट सूर्य का निरयन
भोगांश ६रा १५°२३' ३४" हो तो उस दिन उज्जैन में जिस समय सूर्य यामोत्तरवृत्त
पर आवेगा उस समय भारतीय मध्यम काल क्या होगा ?
उज्जैन ग्रीनविच से ७५°४६' पूर्व देशान्तर और २३°६' उत्तर अक्षांश पर
है । प्रयाग का देशान्तर ८१°५५' १५" और उत्तर अक्षांश २५°२५' है ।
उज्जैन प्रयाग से ८१°५५' १५" - ७५°४६' = ६°९' १५" पच्छिम है।
इसलिए उज्जैन का स्पष्ट मध्यान्ह प्रयाग के स्पष्ट मध्यान्ह से २४ मिनट ३७ सेकंड
पीछे होगा । तीसरे उदाहरण में बतलाया गया है कि प्रयाग में धूपघड़ी के अनुसार
६ बजकर २७ मिनट ३६ सेकंड पर सूर्योदय होगा। इसलिए सूर्योदय के समय
नतकाल = १२ घंटा - ६ घं० २७ मि० ३६ से०
= ५ घंटा ३२ मि० २४ से०
अर्थात् सूर्योदय के ५ घंटा ३२ मिनट २४ सेकंड उपरान्त स्पष्ट मध्यान्ह
होगा। परन्तु सूर्योदय के समय भारतीय मध्यमकाल ६ घंटा १३ मिनट ३५ सेकंड
होता है इसलिए प्रयाग में स्पष्ट मध्यान्ह के समय भारतीय मध्यकाल = ६ घंटा १३
मि० ३५ से० + ५ घं० ३२ मि० २४ से०
= ११ घंटा ४५ मिनट ४६ सेकंड
उज्जैन प्रयाग से २४ मिनट ३७ सेकंड पच्छिम है इसलिए यहाँ स्पष्ट मध्यान्ह
प्रयाग के स्पष्ट मध्यान्ह से २४ मिनट ३७ सेकंड पीछे होगा। परन्तु प्रयाग के स्पष्ट
मध्यान्ह के समय भारतीय मध्यम काल ११ घंटा ४५ मिनट ४६ सेकंड होता है,
इसलिए उज्जैन के स्पष्ट मध्यान्ह के समय रेल की घड़ी में १२ बजकर १० मिनट
२६ सेकंड हुआ रहेगा ।
पृष्ठ ८० की टिप्पणी में लिखा गया है कि किरणों के झुक जाने के कारण
गणना के समय से सूर्योदय कुछ पहले हो जाता है। इसलिए यह बतलाना आवश्यक
है कि किरणों का झुकना क्या है और इससे दिन के परिमाण में जो अन्तर पड़ जाता
है उसका संशोधन कैसे करना चाहिये ।
वर्तन (REFRACTION OF LIGHT)
हवा, जल, कांच, अभ्रक ऐसे पदार्थ हैं जिनमें प्रकाश घुसकर दूसरी ओर
चला जाता है। इसलिए ये पारदर्शक (transparent) कहलाते हैं। जब प्रकाश
एक समजातीय (homogeneous) पारदर्शक पदार्थ से दूसरे समजातीय पारदर्शक

३६० सूर्य-सिद्धान्त
पदार्थ में जाता है तब उसकी दिशा वही नहीं रहती जो पहले पारदर्शक पदार्थ में
होती है। इस घटना को किरण का वर्तन या केवल वर्तन कहते हैं। इसको कुछ
लेखकों ने किरणवक्रौभवन का नाम दिया है परन्तु कई बातों की सुविधा के विचार
से इसको वर्तन कहना अच्छा जान पड़ता है। इससे किसी वस्तु के यथार्थ और स्पष्ट
स्थानों में बड़ा अन्तर देख पड़ता है। कभी-कभी वस्तुएँ विचित्र रूप धारण कर लेती
हैं। परन्तु इन सब घटनाओं की चर्चा करने के लिए यह स्थान उचित नहीं है। यहाँ
केवल उतना ही बतलाया जायगा जितना ज्योतिष से सम्बन्ध रखता है। अनुभव के
लिए एक छोटा सा उदाहरण देना पर्याप्त होगा :-
चित्र ६५
पानी भरा हुआ गिलास धूप में रख दो और देखो कि गिलास का कितना
भाग धूप से प्रकाशित होता है। पानी गिरा कर गिलास को फिर उसी जगह रख
दो। इस बार गिलास का कुछ कम भाग प्रकाशित होगा। चित्र ६५ में ग गा एक
गिलास है। यदि पानी भर कर यह धूप में रखा जाय तो ग से भ तक प्रकाशित देख
पड़ता है अर्थात् यह देख पड़ता है कि धूप गिलास के पेंदे के किनारे तक भी पहुँचती
है। परन्तु पानी गिरा कर गिलास को फिर वहीं रख देने पर देख पड़ता है कि अब
गिलास का केवल ग ख भाग प्रकाशित रहता है, पेंदे तक धूप जाती ही नहीं। इससे
यह प्रकट होता है कि हवा में यदि किरण स गा ख दिशा में होती है तो पानी में
घुसने ही यह गा भ दिशा में हो जाती है।

विप्रश्नाधिकार ३६१
यदि प्रकाश की कोई किरण स प एक सजातीय पारदर्शक पदार्थ ह ह से
दूसरे सजातीय पारदर्शक पदार्थ ज ज में प विन्दु से प्रवेश करके प न दिशा में
चलती हुई न विन्दु से वह फिर ह ह पदार्थ में निकल आती है तो न सा और स प
किरणें समानान्तर होती हैं । स प को आपात किरण (incident ray) प न को वर्तित
किरण (refracted ray) और न सा को निर्गत किरण (emergent ray) कहते हैं ।
यदि प विन्दु पर ल प ला लम्ब (Normal) हो तो स प ल कोण को आपात कोण
(angle of incidence) और न प ला कोण को वर्तित कोण (angle of refrac-
tion) कहते हैं । आपात और वर्तित किरणों तथा प्रवेश विन्दु का लम्ब एक ही तल
में रहते हैं ।
आपात और वर्तित कोणों में जो परस्पर सम्बन्ध होता है वह नीचे के सूत्र
से प्रकट किया जाता है—
आपात कोण की ज्या / वर्तित कोण की ज्या = स्थिर संख्या
यदि आपात कोण को अ, वर्तित कोण को व और स्थिर संख्या को ध से
सूचित किया जाय तो उपर्युक्त सूत्र का सरल रूप यह होगा
ज्या अ / ज्या व = ध; अथवा ज्या अ = ध × ज्या व

चित्र ६६

अ के बदलने से व भी इस तरह बदलेगा कि इन दोनों की ज्याओं का
सम्बन्ध सदैव ध के समान होगा । ध का परिणाम दो पारदर्शक पदार्थों के गुण के

३६२ सूर्य-सिद्धान्त
अनुसार बदलता है । इसको पहले पारदर्शक पदार्थ से दूसरे पारदर्शक पदार्थ का
वर्तनाङ्क (index of refraction) कहते हैं । जब प्रकाश पतले पारदर्शक पदार्थ से
घन पारदर्शक पदार्थ में जाता है तब वर्तित किरण लम्ब की ओर झुक जाती है अर्थात्
वर्तित कोण आपात कोण से छोटा होता है । परन्तु जब प्रकाश घने पदार्थ से पतले
पदार्थ में जाता है तब वह लम्ब से दूर हो जाता है । चित्र ६६ में ज ज पदार्थ ह ह
पदार्थ से घना है इसलिए ज ज में वर्तित किरण लम्ब की ओर हो गई है और ज ज
से निकल कर ह ह में आते समय वह लम्ब से दूर हो गयी है । यदि प्रकाश की दिशा
उलट जाय अर्थात् ज ज में इसकी दिशा न प हो तो ह ह में इसकी दिशा प स हो
जायगी । कई पारदर्शक पदार्थों में होता हुआ प्रकाश जिस जिस वक्र या टूटी हुई
रेखा से जाता है यदि दिशा उलट जाय तो उसी उसी रेखा से वह लौट भी आता है ।
मान लो ह ह, हि हि तीन पारदर्शक पदार्थों के स्तर हैं जो परस्पर
समानान्तर हैं ।
चित्र ६७
यदि ह ह से हा हा का वर्तनाङ्क धा हो और ह ह से हि हि का वर्तनांक धि है
तो हा हा से हि हि के वर्तनाङ्क का ज्ञान सहज ही हो सकता है । यह परीक्षा से
अनुभव किया जा सकता है कि यदि प्रकाश ह ह से हा हा और हि हि होता हुआ
फिर ह ह में प्रवेश करे तो इसकी जो दिशा पहले ह ह में होती है वही अन्त में भी
होती है अर्थात् ह ह और हा हा के प्रवेश बिंदु पर जो अ पात कोण बनता है वही
हि हि से ह ह में निकलते समय निर्गत बिंदु पर भी बनता है । वर्तन के नियम के
अनुसार

विप्रश्नाधिकार ३६३
ज्या अ = घा X ज्या वा; ज्या अ = धि X ज्या वि
∵ घा X ज्या वा = धि X ज्या वि
अथवा ज्या वा / ज्या वि = धि / घा
इससे यह सिद्ध होता है कि यदि एक पदार्थ ह ह से दूसरे पदार्थ हा हा का
वर्तनाङ्क धा हो और पहले ही पदार्थ से तीसरे पदार्थ हि हि का वर्तनांक धि हो और
यदि हा हा से हि हि में जाने वाली किरण का आपात कोण वा और वर्तित कोण वि
हो तो दूसरे पदार्थ हा हा से तीसरे पदार्थ हि हि में जाने वाली किरण का वर्तनाङ्क
धि ÷ घा होगा ।
ज्योतिष संबंधी वर्तन—खगोल पिंडों से जो प्रकाश पृथ्वी पर आता है उसकी
किरणें जब वातावरण में घुसती हैं तब इनमें वर्तन होता है। ऐसे वर्तन को ज्योतिष
संबंधी वर्तन (Astronomical refraction) कहते हैं। वातावरण का घनत्व ऊपर से
नीचे तक एक सा नहीं है। जैसे जैसे पृथ्वी से दूरी अधिक होती जाती है तैसे तैसे
वातावरण पतला होता जाता है इसलिए कुल वातावरण सजातीय नहीं है।
खगोलीय पिंड से आती हुई किरण जब वातावरण में प्रवेश करती है तब पहले बहुत
पतले स्तर में जाती है और ज्यों ज्यों पृथ्वी के निकट पहुंचती आती है त्यों त्यों कम
घने से अधिक घने स्तर में आने के कारण वह लम्ब की ओर कुछ कुछ झुकती हुई
पृथ्वी पर पहुँचती है। इसलिए वातावरण में इसका मार्ग वक्र होता है। पृथ्वी पर
पहुँचते समय किरण की जो दिशा होती है उसी में खगोलीय पिंड देख पड़ता है।
किसी तारे से कोई किरण त क की दिशा में क तक सीधी आकर क स्थान
पर वातावरण में प्रवेश करती है। इस स्थान से इसकी राह सीधी नहीं रहती। क
से द्रष्टा के स्थान द तक किरण को वातावरण के भिन्न-भिन्न स्तरों में घुसना पड़ता
है जो क्रमशः घनी होती जाती हैं। इसलिए किरण भी क्रमशः वक्र होती जाती है
और अन्त में द तक पहुँच जाती है। इस वक्र के द बिन्दु पर द ति स्पर्शरेखा है।
द्रष्टा को जान पड़ता है कि तारा द ति दिशा में है। यदि द से द ता रेखा क त के
समानान्तर खींची जाय तो द ता* दिशा में तारा उस समय देख पड़ता जब किरण
को झुका देनेवाला वातावरण न होता। इसलिए वातावरण का प्रभाव यह हुआ कि

• बिलकुल शुद्ध दिशा द त है परन्तु त तारा इतनी दूर है कि त द ता
  कोण शून्य के समान है।

३६४ सूर्य-सिद्धान्त
ख
ति
त
ता
द
चित्र ६८
तारे का स्पष्ट स्थान ता से ति हो गया अर्थात् तारा खस्वस्तिक ख की ओर कुछ
चढ़ा हुआ देख पड़ता है । इसलिए वर्तन के कारण खगोलीय पिंड का नतांश कुछ
कम हो जाता है और उन्नतांश उतना ही अधिक हो जाता है । चित्र में इस वर्तन
का परिमाण ता द ति कोण के समान है । त का यथार्थ नतांश ता द ख और
स्पष्ट नतांश ति द ख है । जिस समय खगोलीय पिंड क्षितिज में रहता है उस समय
उसका वर्तन सबसे अधिक ३५' के लगभग होता है ।
अब यह प्रकट हो गया होगा कि वातावरण के कारण किसी खगोलीय पिंड
का स्पष्ट स्थान वही नहीं होता जो यथार्थ में होना चाहिए । इसलिए यदि वर्तन का
संस्कार न किया जाय तो गणना में कुछ भूल रह जाती है । नीचे एक सारिणी* दी

• R. S. Ball's Spherical Astronomy page 120.

विप्रश्नाधिकार ३६५
जाती है जिससे यह जान पड़ेगा कि वर्तन के कारण किसी तारे का नतांश कितना
कम हो जाता है। यह सारिणी उस समय की है जिस समय वातावरण का दबाव
३० इंच ऊँचे पारे के दबाव के समान होता है और तापक्रम ५०° फारनहैट के समान
होता है। इससे भिन्न अवस्था में कुछ अंतर हो जाता है।

इस सारिणी से किसी तारे का यथार्थ नतांश सहज ही जाना जा सकता है।
जैसे यदि किसी तारे का स्पष्ट नतांश ६०° हो तो इसका यथार्थ नतांश ६०° १′ ४१″
होगा। यह भी ध्यान देने की बात है कि जो तारा ठीक सिर के ऊपर (खस्वस्तिक
पर) रहता है उसका स्पष्ट और यथार्थ स्थान एक ही होता है और यदि स्पष्ट नतांश
४५° से कम हो तो उसका वर्तन १′ से अधिक नहीं होता है। यदि स्पष्ट नतांश
२०° से अधिक न हो तो प्रति १° नतांश के लिए १″ वर्तन होता है।
वातावरण सम्बन्धी वर्तन की साधारण मीमांसा—
सरलता के लिए यह समझ लेना अच्छा होगा कि पृथ्वी पूर्ण गोल है और
वातावरण में नीचे से ऊपर तक पतले-पतले स्तर हैं जिनके केन्द्र भी वही हैं जो पृथ्वी

३६६ सूर्य-सिद्धान्त
का केन्द्र है । यह भी मान लेना चाहिए कि प्रत्येक स्तर का वर्तनाङ्क उस स्तर में सब
जगह स्थिर है परन्तु एक स्तर का वर्तनाङ्क दूसरे स्तर के वर्तनाङ्क से भिन्न है ।
चित्र ६६
चित्र ६६ में ऐसे दो स्तरों हा हा ओर हि हि का सम्बन्ध दिखलाया जाता
है । मान लो कि जब प्रकाश शून्य (aether) से हा हा में आता है तब इसका
वर्तनाङ्क धा और जब प्रकाश शून्य से हि हि में आता है तब इसका वर्तनाङ्क धि
होता है । मान लो कि हा हा में किरण की दिशा च छ है और हि हि में इसी किरण
की दिशा छ ज हो जाती है ।
यदि भ पृथ्वी का केन्द्र हो और भ च = का, भ छ = कि,
∠ भ च छ = आ, ∠ भ छ ज = इ ओर ∠ स छ च = उ हो,
तो पृष्ठ ३६३ के अनुसार
ज्या उ / ज्या इ = धि / धा ∴ ज्या उ = ज्या इ × धि / धा
परन्तु भ च छ त्रिभुज में
ज्या उ / का = ज्या आ / कि ∴ ज्या उ = ज्या आ × का / कि

त्रिप्रश्नाधिकार ३६७
धि का
∵ ज्या इ × ── = ज्या आ × ──
घा कि
अथवा किं × धि × ज्या इ = का × धा × ज्या आ
यह नियम किसी दो पासवाले स्तरों के लिये ठीक है। इस प्रकार यह
साधारण नियम निकल आता है—
यदि वातावरण गोल सजातीय स्तरों का बना हुआ मान लिया जाय जिनका
केन्द्र वही हो जो पृथिवी का केन्द्र है परन्तु जिनका घनत्व एक दूसरे से भिन्न होता
जाता है तो जब प्रकाश की किरण एक स्तर से दूसरे स्तर में घुसती हुई आगे बढ़ती
है तब किसी स्तर के वर्तनाङ्क, त्रिज्या और वर्तित कोण की ज्या के गुणनफल स्थिर
होते हैं ।
इस नियम को नीचे के सूत्र से भी प्रकट किया जा सकता है—
का × धा × ज्या आ = क × ध × ज्या न् (१)
जहाँ का, धा और आ क्रमशः किसी स्तर की त्रिज्या, वर्तनांक और वर्तित
कोण और क, ध, न क्रमशः पृथिवी की त्रिज्या, सबसे नीचे के स्तर के वर्तनांक और
वर्तित कोण हैं । भूतल को छूने वाले स्तर में जो वर्तित कोण है वह प्रायः नतांश के
समान होता है इसलिए न खगोलीय पिंड का स्पष्ट नतांश भी है ।
यदि इन स्तरों को बहुत पतला मान लिया जाय तो किरण का मार्ग टूटी हुई
रेखा के स्थान में वक्र रेखा होगी । मान लो च छ ज वह वक्र है जिस पर किरण इन
पतले पतले स्तरों में क्रमशः घुसती हुई पृथिवी तल के ज विन्दु पर पहुँचती है । इस
वक्र के छ विन्दु पर छ ल झ एक स्पर्शरेखा है। किरण छ विन्दु पर जिस स्तर में
घुसती है उसका वर्तनांक धा और त्रिज्या का हैं। यह स्पर्शरेखा वक्र बनानेवाली
किरण से कुछ दूर तक एक हो जाती है इसलिए इस विन्दु पर जो वर्तित कोण
बनता है वह छ ल भ कोण के समान होता है । मान लो यह आ के समान है, जब
किरण वातावरण के सबसे ऊपरवाले स्तर में घुसती है तब इसकी दिशा वही होती
है जो शून्य में उसकी यथार्थ दिशा है । जिस समय किरण पृथिवी तल के विन्दु ज पर
पहुँचती है उस समय इस विन्दु पर वक्र की जो स्पर्शरेखा ज स होती है वह उस
दिशा को सूचित करती है जिसमें किरण द्रष्टा की आंख में पहुँचती है । यदि ज
स्थान का खस्वस्तिक ख हो तो यही ख ज स कोण तारे का स्पष्ट नतांश होता है ।
सबसे ऊपर वाले स्तर में वक्र की जो स्पर्शरेखा होती है तथा पृथिवी तल के बिन्दु पर
वक्र की जो स्पर्शरेखा होती है उन दोनों के बीच में जो कोण होता है वही ज्योतिष
सम्बन्धी वर्तन कहलाता है। इसी के जानने से किसी तारे के स्पष्ट और यथार्थ स्थान
की जानकारी हो सकती है। इसी को साधारणतः वर्तन कहते हैं। यदि इसका

१६८ सूर्य-सिद्धान्त
चित्र ७०
परिमाण व माना जाय तो ता (व) अर्थात् व की तत्कालिक गति पासवाले किसी दो
स्तरों के वर्तनों का अन्तर और ता (धा) अर्थात वर्तनांक की तात्कालिक गति उन्हीं
दो स्तरों के वर्तनांकों का अन्तर हुआ । यदि आ और इ इन दोनों स्तरों के वर्तित
कोण तथा धा, धि इनके वर्तनांक हों तो
आ - इ = ता (व) और धि - धा = ता (धा)
∵ इ = आ - ता (व) और धि = धा + ता (धा)
परन्तु का × धा × ज्या आ = कि × धि × ज्या इ
यदि वातावरण के दो पतले स्तर बहुत पास हों तो उनकी त्रिज्याएँ प्रायः
समान होती हैं इसलिए का = कि । ऐसी दशा में
धा × ज्या आ = धि × ज्या इ
= [धा + ता (धा) ] × ज्या [आ - ता (व)]
= [धा + ता (धा)] × [ज्या आ × कोज्या ता (व) -
कोज्या आ × ज्या ता (व)]
परन्तु ता (व) बहुत छोटा और चापीय मान में है इसलिए ज्या ता (व) =
ता (व) और कोज्या ता (व) = १

विप्रश्नाधिकार ३६६
$\therefore$ घा $\times$ ज्या आ
$=$ [घा $+$ ता (धा)] [ज्या आ $-$ ता (व) $\times$ कोज्या आ]
$=$ घा $\times$ ज्या आ $-$ घा $\times$ ता (व) $\times$ कोज्या आ $+$ ता (धा) $\times$ ज्या आ
क्योंकि चौथे पद में ता (धा) और ता (व) के गुणनफल का गुणक
(coefficient) बहुत छोटा है इसलिए छोड़ दिया गया है ।
$\therefore \circ =$ ता (धा) $\times$ ज्या आ $-$ घा $\times$ ता (व) $\times$ कोज्या आ
$\therefore \frac{ज्या आ}{घा \times कोज्या आ} = \frac{ता (व)}{ता (धा)}$
अथवा $\frac{ता (व)}{ता (धा)} = \frac{स्परे आ}{घा}$ \hfill (२)
समीकरण (१) और (२) से ऐसा समीकरण जाना जा सकता है जिसमें आ
न रहे ।
समीकरण (१) से ज्या आ $= \frac{क \times ध \times ज्या न}{क \times घा}$
त्रिकोणमिति के यह प्रकट है कि
स्परेआ $= \frac{ज्या आ}{\sqrt{(१ - ज्या^२ आ)}}$
$= \frac{\frac{क \times ध \times ज्या न}{का \times घा}}{\sqrt{( १ - \frac{क^२ \times ध^२ \times ज्या^२ न}{का^२ \times घा^२} )}}$
$= \frac{क \times ध \times ज्या न}{\sqrt{(का^२ \times घा^२ - क^२ \times ध^२ \times ज्या^२ न)}}$
$\therefore \frac{ता ( व )}{ता (धा )} = \frac{१}{घा} \times \frac{क \times ध \times ज्या न}{\sqrt{(का^२ \times घा^२ - क^२ \times ध^२ \times ज्या^२ न)}}$
यही ज्योतिष सम्बन्धी वर्तन का साधारण चलन-समीकरण (differential
equation) है। यदि सबसे ऊपरवाले स्तर का वर्तनांक १ और सबसे नीचेवाले
स्तर का वर्तनांक ध मान लिये जाय और उपर्युक्त चलन समीकरण का इन्हीं सीमाओं
के बीच चलराशिकलन (Integration) किया जाय तो ज्योतिष सम्बन्धी वर्तन का
पूरा ज्ञान किया जा सकता है। परन्तु ऐसा करने में कठिनाई यह पड़ती है कि इस
चलन समीकरण में का और धा दो चल राशियाँ (Variables) हैं जिनका परस्पर
सम्बन्ध ज्ञात नहीं हो सकता क्योंकि हमें इस बात का ठीक-ठीक पता नहीं है कि
२४

३७० सूर्य-सिद्धान्त
पृथ्वी की किस ऊँचाई पर वर्तनांक क्या है। परन्तु इसके बिना जाने भी उपर्युक्त
समीकरण का चलराशि कलन एक युक्ति से निकाला जा सकता है जिससे यथार्थ
वर्तन का प्रायः ठीक-ठीक ज्ञान हो सकता है।
इस युक्ति में $\frac{क}{क}$ को १ + छ मान लेना होता है जब कि छ का परिमाण
अत्यन्त छोटा होता है क्योंकि का वातावरण के किसी स्तर की त्रिज्या है और क
पृथ्वी की त्रिज्या है। यह भी ज्ञात है कि उस वातावरण की ऊँचाई जिसमें किरणों
को झुका देने (वर्तन करने) का गुण होता है अधिक से अधिक ५० मील है। पृथ्वी
की त्रिज्या अर्थात् क ४००० मील है, इसलिए $\frac{का}{क} = \frac{४०५०}{४०००} = १ + \frac{१}{८०}$। इससे
स्पष्ट है कि छ = $\frac{१}{८०}$ और इसके वर्ग, घन इत्यादि इतने छोटे हैं कि छोड़ दिये जा
सकते हैं। ऐसी कल्पना करने से
व = $\int_{१}^{ध} \frac{ध ज्या न ता (धा)}{ध (धा^२ - ध^२ ज्या^२ न + २ छ धा^२)^{\frac{१}{२}}}$
= $\int_{१}^{ध} \frac{ध ज्या न ता (धा)}{धा (धा^२ - ध^२ ज्या^२ न)^{\frac{१}{२}}} \left( १ + \frac{२ छ धा^२}{धा^२ - ध^२ ज्या^२ न} \right)^{\frac{१}{२}}$
= $\int_{१}^{ध} \frac{ध ध ज्या न ता (धा)}{धा (धा^२ - ध^२ ज्या^२ न)^{\frac{१}{२}}} - \int_{१}^{ध} \frac{छ.धा.ध ज्या न ता (धा)}{(धा^२ - ध^२ ज्या^२ न)^{\frac{३}{२}}}$
सरल करने पर इसका रूप यह होगा—
व = प स्परे न + फ स्परे$^३$ न (१)
जहाँ प और फ कोई स्थिर राशियाँ हैं और न स्पष्ट नतांश है। प और फ
के मान प्रत्यक्ष वेध से जाने जा सकते हैं।
कैसिनी का सूत्र—
कैसिनी नामक ज्योतिषी ने यह कल्पना किया कि वातावरण ऊपर से नीचे
तक सजातीय है अर्थात् एक ही घनत्व का है। इस कल्पना से वर्तन का जो सूत्र ज्ञात
हुआ वह ऊपर बतलाये गये सूत्र से मिलता जुलता है। इससे वर्तन का जो परिमाण
जाना जाता है वह ८०° तक के नतांश के लिए सन्तोषप्रद है। यदि नतांश ८०° से
अधिक हो तो वर्तन के परिमाण में स्थूलता रह जाती है।

त्रिप्रश्नाधिकार ३७१
इस कल्पना में यह मान लेना पड़ता है कि शून्य से आती हुई किरण वाता-
वरण में प्रवेश करते ही एक बार झुक जाती है और फिर वही दिशा पृथ्वी तल तक
बनी रहती है ।
मान लो स च छ एक किरण है जो च विन्दु पर झुकी हुई है ।
चित्र ७१
पृथ्वी की त्रिज्या = भ छ = क
भ च = क (१+छ) जबकि छ बहुत छोटा है जैसा कि पहले बतलाया
गया है ।
अ = आपात कोण = ∠ स च ल = ∠ स च सा + ∠ ल च सा
= वर्तन + वर्तित कोण = व् + ∠ छ च भ = व् + वा
∠ ख छ च = स्पष्ट नतांश

३७२ सूर्य-सिद्धान्त
वर्त्तन के नियम के अनुसार
ज्या अ = ध × ज्या वा या ज्या (व + वा) = ध × ज्या वा
जहाँ ध वातावरण का वर्त्तनांक है ।
यह स्पष्ट है कि व बहुत छोटा होता है । इसलिए
ज्या (व + वा) = ज्या व × कोज्या वा + कोज्या य × ज्या वा
= व × कोज्या वा + ज्या वा
∵ ज्या वा + व × कोज्या वा = ध × ज्या वा
∴ व = (ध - १) स्परे वा
त्रिभुज भ छ च में,
ज्या वा / ज्या न = क / क (१ + छ) = १ / १ + छ
ज्या वा = ज्या न / १ + छ
परन्तु स्परे वा = ज्या वा ÷ कोज्या वा = ज्या वा ÷ √(१ - ज्या² वा)
= ज्या न / १ + छ ÷ √(१ - ज्या² न / (१ + छ)²)
= ज्या न / √{(१ + छ)² - ज्या² न}
∴ व = (ध - १) ज्या न / √ {(१ + छ)² - ज्या² न}
= (ध - १) ज्या न / √{१ + २ छ + छ² - ज्या² न}
छ² बहुत छोटा है इसलिए छोड़ दिया जा सकता है। ऐसी दशा में
व = (ध - १) ज्या न / √(कोज्या² न + २ छ)
= (ध - १) ज्या न / √(१ + २ छ / कोज्या² न) × कोज्या न
= (ध - १) स्परे न / √(१ + २छ × छे² न) *

• Secant को छेदन रेखा कहते हैं जो Cosine अर्थात् कोटिज्या का विलोम
  होता है । छेदन रेखा का संक्षिप्त रूप छे माना गया है। इसी तरह Cosecant
  अर्थात् कोटिछेदन रेखा का संक्षिप्त रूप कोछे प्रयोग किया जाता है।

विप्रश्नाधिकार ३७३
=(घ - १) स्परे न (१ - छ × छे² न)
=(घ - १) स्परे न {१ - छ (१ + स्परे² न)}
=(घ - १) स्परे न {१ - छ - छ स्परे² न}
=(घ - १) (१ - छ) स्परे न - छ (घ - १) स्परे³ न
=प स्परे न + फ स्परे³ न (२)
यह पहले ही रूप का है। यहाँ प=(घ - १) (१ - छ) और फ=-छ
(घ - १)
इस सूत्र का प्रयोग व्यवहार में उसी समय हो सकता है जब प और फ के
मान ज्ञात हों। इनका ज्ञान प्रत्यक्ष वेध से हो सकता है जिसकी चर्चा आगे की
जायगी। मान लो* यह पाया गया है कि ५०° फारनहैट के तापक्रम पर जबकि
वायु का दबाव ३० इंच ऊँचे पारे के दबाव के समान है ५४° और ७४° नतांशों के
वर्तन क्रमशः ८०″·०६ और २००″·४६ हैं।
उपर्युक्त सूत्र के अनुसार दो समीकरण यह हुए
८०″·०६=प (स्परे ५४°)+फ (स्परे ५४°)³
२००″·४६=प (स्परे ७४°)+फ (स्परे ७४°)³
इन समीकरणों से प और फ के मान क्रमशः ५८″·२६४ और ०″·०६६८२
आते हैं। इसलिए ५० फा० और ३० इंच के दबाव पर वर्तन का साधारण सूत्र यह
होता है
व = ५८″·२६३ स्परे न - ०″·०६६८२ स्परे³ न (३)
यह भी प्रकट है कि फ/प = १/८७३, इसलिए जब तक स्परे³ न बहुत बड़ा न हो
अर्थात् यदि सूर्य, या, तारा क्षितिज के पास न हो तब तक दूसरा पद भी छोड़ देने
से कोई हानि नहीं हो सकती ।
यदि नतांश ७०° से अधिक न हो और तापक्रम में भी बहुत अन्तर न हो
तो वर्तन का मान जानने के लिए नीचे लिखे सरल पद का प्रयोग उचित होगा ।
क स्परे न
जहाँ क के लिए ५८″·२ लेना अधिक शुद्ध होगा। इस क को वर्तन का
गुणक (Coefficient of refraction) कहते हैं।
वायुमंडल का वर्तनांक ०°श तापक्रम और ७६० मि०मी० दबाव पर
१·०००२६४ है (देखो Ball's Spherical Astronomy page 117) और कैसिनी

• Ball's Spherical Astronomy पृष्ठ १२७

३७४ सूर्य-सिद्धान्त
के सूत्र के अनुसार ५०° फा० तापक्रम और ३० इंच दबाव पर वर्तनांक १.०००२८३
होता है ।
सिम्प्सन और ब्रैंडली नामक ज्योतिषियों ने भी वर्तन के सूत्र बनाये हैं
परन्तु उनकी मीमांसा यहाँ आवश्यक नहीं है । यहाँ केवल ब्रैंडली का सूत्र दे देना
पर्याप्त होगा—
व = ५८"•३६१ स्परे (न—४•०६ व) (४)
इस सूत्र से ८०° नतांश तक वर्तन का परिमाण सन्तोषजनक होता है । इस
सूत्र से क्षितिज के पास वाले तारों का बेध ठीक-ठीक किया जा सकता है क्योंकि
नतांश ८० अंश के निकट होने पर भी स्परे (न—४•०६ व) का परिमाण बहुत बड़ा
नहीं होने पावेगा ।
तापक्रम तथा वायुमंडल के दबाव के घटने-बढ़ने से भी वर्तन के परिमाण में
अन्तर पड़ जाता है। परन्तु इन सब की चर्चा विस्तार के भय से छोड़ दी जाती है।
वेध से वातावरण के वर्तन का परिमाण जानना
वर्तन के लिए जो सूत्र पहले स्थापित किया गया है उसके गुणकों के मान
जानने के लिए कई रीतियाँ काम में लायी जाती हैं। इनमें से तीन रीतियों की चर्चा
यहाँ की जायगी । पहली और दूसरी रीतियों से एक ही वेधशाला के वेधों से
काम चल सकता है यदि इसका अक्षांश बहुत कम या अधिक न हो। तीसरी रीति में
दो वेधशालाओं की आवश्यकता पड़ती है ।
पहली रीति—ऐसा तारा चुनना चाहिए जो दोनों याम्योत्तरोल्लंघनों के
समय क्षितिज के ऊपर रहे । चित्र ७२ में त, ता ऐसे ही एक तारे के स्पष्ट स्थान
स्थान हैं । दोनों समय तारे का स्पष्ट नतांश जान लेना चाहिए । मान लो तारे
का स्पष्ट नतांश त स्थान पर न और ता स्थान पर ना है ।
सूत्र के अनुसार इसके यथार्थ नतांश हुए
न + प स्परे न + फ स्परे³ न
और ना + प स्परे ना + फ स्परे³ ना
यदि त, ता तारे के यथार्थ स्थान मान लिए जायें तो त ध = ता ध और
ख त + ख ता = २ ख ध = २ लम्बांश = २ (६०° - अ) अर्थात् दोनों यथार्थ
नतांशों का योग = २ (६०° - अ), जहाँ स स्थान का अक्षांश अ है ।
∴ न + प स्परे न + फ स्परे³ न + ना + प स्परे ना

• फ स्परे³ ना = १८०° - २ अ

त्रिप्रश्नाधिकार ३७५
यदि इस समीकरण में न और ना के मान जो वेध से जाने जाते हैं उत्थापित
किये जायें तो तीन अज्ञात अंकों प, फ और अ का एकघात (linear) समीकरण आ
जाता है । इसी प्रकार यदि तीन तारों के स्पष्ट नतांश वेध से जान लिये जायें तो तीन
समीकरण मिल जायेंगे जिनसे प, फ और अ के मान सहज ही जाने जा सकते हैं ।
चित्र ७२
उ स द = स स्थान की उत्तर दक्खिन रेखा
उ, द = क्षितिज के क्रमशः उत्तर दक्षिण विन्दु
उ ध ख व द = यामोत्तर वृत्त
ध = उत्तरी आकाशीय ध्रुव
ख = स स्थान का खस्वस्तिक
व = विषुवद्वृत्त और यामोत्तर वृत्त का सामान्य विन्दु
त = यामोत्तरोल्लंघन के समय तारे का उच्चतम स्थान
ता = यामोत्तरोल्लंघन के समय उसी तारे का नीचतम स्थान
ग = सूर्य का ग्रीष्मायन विन्दु
श = सूर्य का शीतायन विन्दु

३७६ सूर्य-सिद्धान्त
दूसरी रीति—अयनान्त विन्दुओं के निकट जब सूर्य हो तब इसके नतांशों से
भी वर्तन के स्थिर गुणक प, फ जाने जा सकते हैं ।
चित्र ७२ में ख ग और ख श सूर्य के यथार्थ नतांश हों तो ख ग+ख श=
२ ख व=२ अ
मान लो ग का स्पष्ट नतांश न और श का स्पष्ट नतांश ना है तो
न+प स्परे न+फ स्परे³ न + ना+प स्परे ना+फ स्परे³ ना=२ अ
[चित्र ७३]
चित्र ७३
भ=पृथ्वी का केन्द्र छोटा वृत्त=पृथ्वीतल
बड़ा वृत्त=यामोत्तर वृत्त ध, धा=उत्तरी और दक्षिणी आकाशीय ध्रुव
ग=उत्तर गोल की एक वेधशाला उ=दक्षिण गोल की दूसरी वेधशाला
ख=ग स्थान का ख-स्वस्तिक खा=उ स्थान का खस्वस्तिक
व=विषुवद्वृत्त का एक विन्दु त=तारा
ध भ धा=पृथ्वी का अक्ष
यदि अ ज्ञात हो और फ स्परे³ न या फ स्परे³ ना बहुत छोटे होने के कारण
छोड़ दिये जायें तो प का मान सहज ही जाना जा सकता है । परन्तु इस रीति में
६ महीने लग जाते हैं ।

त्रिप्रश्नाधिकार ३७७
तीसरी रीति—इस रीति में उत्तर और दखिन की दो वेधशालाओं से
यामोत्तर वृत्त पर स्थित उसी तारे के स्पष्ट नतांश जानकर वर्तन के गुणक स्थिर
किये जाते हैं।
ग वेधशाला से त तारे का दक्षिण नतांश ख त और उ वेधशाला से त तारे
का उत्तर नतांश खा त हैं ।
ख त = ख व - व त = अ - क
खा त = खा व + व त = आ + क
जब कि अ, आ दोनों वेधशालाओं के अक्षांश और क तारे की क्रान्ति हैं ।
यदि ग और उ से त के स्पष्ट नतांश न और ना हों तो
ख त = न + प स्परे न + फ स्परे³ न
और खा त = ना + प स्परे ना + फ स्परे³ ना
∴ न + प स्परे न + फ स्परे³ न + ना + प स्परे ना + फ स्परे³ ना
= ख त + खा त = अ + आ
यदि फ स्परे³ न और फ स्परे³ ना को अत्यन्त छोटे होने के कारण छोड़
दिया जाय तो
न + प स्परे न + ना + प स्परे ना = अ + आ
इसमें न, ना, अ और आ के मान वेध से जानकर उत्थापित करने से प का
मान जाना जा सकता है। यदि फ का मान भी जानना हो तो एक और तारे के
स्पष्ट नतांश जानने की आवश्यकता पड़ेगी ।
उदाहरण के लिए अन्तरमदा पुञ्ज के ख तारे (β Andromeda) के नतांश
ग्रीनविच और उत्तमाशा अन्तरीप (Cape of Good Hope) की वेधशालाओं से
जिनके अक्षांश क्रमशः ५१° २८' ३८'' उत्तर और ३३°५६'४'' दक्षिण हैं लिये जाते
हैं। पहली वेधशाला से तारे का स्पष्ट दक्षिण नतांश जब वह यामोत्तर वृत्त पर था
१६°२०' ३'' और दूसरी वेधशाला से उसी तारे का स्पष्ट उत्तर नतांश ६६°१'५०''
था । इसलिए
१६°२०'३'' + प स्परे १६°२०'३'' + ६६° १'५०'' + प स्परे ६६°१'५०''
= ५१°२८'३८'' + ३३°५६'४''
= ८५°२४'४२''
∴ प (स्परे १६°२०'३'' + स्परे ६६°१'५०'')
= ८५°२४'४२'' - ८५°२१'५३''
= २'४६''
या प (.२६३० + २.६०६३) = २'४६'' = १६६''