बीजगणितम् (भास्कराचार्य द्वितीय - प्राचीन भारतीय समीकरण एवं बीजगणित सूत्र सटीक)

अव्यक्तगुणनभजने । ९ द्वयोर्धनर्णत्वव्यत्यासे— न्यासः—गुण्यः या २̇ रू १ । गुणकः यां ३ रू २̇ । गुणनाज्जातम् याव १५ या ७ रू २̇ । भागहारे(१) करणसूत्रं वृत्तम् । (२)भाज्याच्छेदः शुध्यति प्रच्युतः सन् स्वेषु स्वेषु स्थानकेषु क्रमेण । यैर्यैर्वर्णैः संगुणो यैश्च रूपैर्भागहारे लब्धयस्ताः स्युरत्र ॥ ९ ॥ पूर्वगुणनफलस्य स्वगुणच्छेदस्य भागहारार्थं प्रथमपक्षस्य न्यासः—भाज्यः याव १५ या ७ रू २̇ । भाजकः या ३ रू २ । भजनादाप्तो गुण्यः या ५ रू १̇ । द्वितीयस्य— न्यासः—भाज्यः याव १५ या ७ रू २ । या ३ रू २ । भजनेन लब्धो गुण्यः या ५ रू १ । तृतीयस्य— न्यासः—भाज्यः याव १५ यां ७ रू २ । हरः या ३ं रू २̇ । हरणादाप्तो गुण्यः या ५ रू १̇ । (१) वि०श०—योगवियोगगुणनभजनादिनियमाः समीचीना एव भास्करादीनां प्राची- नगणितविदां किन्तु प्राचीनसमये तादृक् सुगमता नासीद्यथेदानीं लेखनी-लेखनपत्र-प्रस्तर- पट्टिकादिपदार्थसुलभता, तावता बीजगणिते भिन्नगणितादिप्रपञ्चो नास्तीव तथा सनातन- धर्मसहायके ज्योतिषसिद्धान्ते तत्प्रयोजनमपि स्तोकमेवावगम्य भास्करादिभिर्बीजगणित- ज्ञानमेव भारतीयानां हृदि न्यधायि संप्रति गणितविस्तारः पाश्चात्यानां प्रशंसाहों यस्यांशो ग्रन्थान्ते दर्शयिष्यते । (२) अत्रैव यदि भाजके प्रथमं रूपद्वयं ततो यावत्तावत्त्रयं विलिख्य विभ- ज्येोत तदा लब्धिः समीचीना नायात्यतोऽत्रेदं सन्धेयं भाज्ये भाजके च कमप्येकं वर्णं प्रधानीकृत्य तस्य वर्गादिघाता उत्तरोत्तरमुपचयेनापचयेन वा विलेख्यास्तत आचार्यो- क्त्या भजने न कुत्रापि व्यभिचारः । यथा—भाज्यः या ३८ रू २४ याघ १० याव २७ । भाजकः रू ६ या ५ । अत्र यावत्तावतो घाताङ्का एकार्धयित्वा स्थापितास्तथा कृते जातो भाज्यः याघ १० याव २७ या ३८ रू २४ । भाजकः या ५ रू ६ । ततो भास्करोक्त्या लब्धिः याव २ या ३ रू ४ । २

१० बीजगणिते चतुर्थस्य- न्यासः—भाज्यः याव १५ या ७ रू २̇ । हरः या ३̇ रू २ । हृते लब्धो गुण्यः या ५ रू १ । इत्यव्यक्तगुणनभजने । वर्गोदाहरणम् । रूपैः षड्भिर्वर्जितानां चतुर्णामव्यक्तानां ब्रूहि वर्गं सखे मे । न्यासः—या ४ रू ६̇ जातो वर्गः याव १६ या ४८̇ रू ३६ । वर्गमूले करणसूत्रं वृत्तम् । (१)कृतिभ्य आदाय पदानि तेषां द्वयोर्द्वयोश्चाभिहतिं द्विनिघ्नीम् । शेषात् त्यजेद्रूपपदं गृहीत्वा चेत् सन्ति रूपाणि तथैव शेषम् ॥१०॥ (१) अनेन प्रकारेण प्रायो () व्यभिचारो भवति मूलानयने । यथा यावव १ याघ ६ याव २५ या ४८ रू ६४ । अस्य मूलानयने कृतिभ्य आदाय पदानीत्यादिना याव २५ अस्यापि मूलं गृहीत्वा यदि क्रिया क्रियते तदा न वास्तवमूललाभः । अतः प्रथमं वर्गे कस्यापि वर्णस्य वर्गादीन् घातानेकापचितान् संस्थाप्य ततः—“हृत्वा- ऽन्याद्विषमात् कृतिमिति” पाटीरीत्या यदि मूलं गृह्यते तदा न कुत्रापि व्यभिचारः । उक्तोदाहरणे यावत्तावतो घाताङ्कानेकापचितान् संस्थाप्य ततः पाटीरीत्या मूलार्थं न्यासः यावव १ याघ ६ याव २५ या ४८ रू ६४ | याव १ या ३ रू ८ यावव १ याव २ | याघ ६ याघ ६ याव २५ याव ९ याव २ या ६ | याव १६ या ४८ याव १६ या ४८ रू ६४ । रू ६४ । () वि० क०—पूज्यचरणप्रदर्शितोदाहरणे याव २५ इति याव १६ याव ९ अन- योर्योगस्तथा “चेत् सन्ति रूपाणि तथैव” इत्युक्तत्वात् रू ६४ अस्य मूलम् ८ ।

अनेकवर्णषड्विधम् ५१ पूर्वसिद्धस्य मूलार्थे न्यासः— याव १६ या ४८ रू ३६ लब्धं मूलम् या ४ रू ६ । इत्यव्यक्तवर्गमूले । इत्यव्यक्तषड्विधम् । अथानेकवर्णषड्विधम् । तत्र संकलनव्यवकलनोदाहरणम् । यावत्तावत्कालकनीलकवर्णास्त्रिपञ्चसप्तधनम् । द्वित्र्येकमितैः क्षयगैः सहिता रहिताः कति स्युस्तैः ॥ १ ॥ न्यासः—या ३ का ५ नी ७ । या २̇ का ३̇ नी १̇ । योगे जातम् या १ का २ नी ६ । वियोगे जातम् या ५ का ८ नी ८ । इत्यनेकवर्णसंकलनव्यवकलने । गुणनादेरुदाहरणम् । यावत्तावत्त्रयमृणमृणं कालकौ नीलकः स्वं रूपेणाढ्या द्विगुणितमितैस्ते तु तैरेव निघ्नाः । किं स्यात् तेषां गुणनजफलं गुण्यभक्तं च किं स्याद्- गुण्यस्याथ प्रकथय कृतिं मूलमस्याः कृतेश्च ॥ १ ॥ न्यासः—गुण्यः या ३̇ का २̇ नी १ रू १ । गुणकः या ६̇ का ४̇ नी २ रू २ । गुणिते जातम् याव १८ काव ८ नीव २ याकाभा २४ यानीभा १२ कानीभा ८ या १२ का ८ नी ४ रू २ । अस्मादेव गुणनफलाद्गुण्यनानेन या ३̇ का २̇ नी १ रू १ भक्तादाप्तो गुणकः या ६̇ का ४̇ नी २ रू २ । इत्यनेकवर्णगुणनभजने । यावव १ अस्य मूले याव १ अनयोरपि द्विप्रघातः पुनर्नाप भवेदित्यादिविचारयता न व्यभिचारोऽवलोक्यते । वस्तुतस्तु भाष्यकृद्रीत्या यावव १ याघ ४ या ८ रू ४ अस्य वर्गस्य मूलं न लभ्यतेऽव्यक्तमूलानयनरीत्या मूलं याव १ या २ रू २ प्राप्यते ताव- ता नात्र कश्चिद्विरोधः ।

पूर्वगुण्यस्य वर्गार्थं न्यासः— या ३ का २ नी १ रू १ । जातो वर्गः याव ९ काव ४ नीव १ याकाभा १२ यानीभा ६ कानीभा ४ या ६ का ४ नी २ रू १ । वर्गादस्मान्मूलम् या ३ का २ नी १ रू १ । इत्यनेकवर्णषड्विधम् । अथ करणीषड्विधम् । तत्र संकलनव्यवकलनयोः करणसूत्रं वृत्तद्वयम् ।

• योगं करण्योर्महतीं प्रकल्प्य (१)वधस्य मूलं द्विगुणं लघुं च । योगान्तरे रूपवदेतयोः स्तो वर्गेण वर्गं गुणयेद्भजेद्वा ॥१॥
• साम्प्रतं नवीनमूलचिह्नेन यत् प्रकाश्यते तदेव प्राचीनैः करणीपदेन व्यवह्रियेतऽतोऽत्र यदि सङ्केतद्वयमधिकृत्य गणितं क्रियते तदा √२ =क२, √८= क८, अतोऽत्र लाघवार्थं नूतनसङ्केतेन वासनोच्यते । नूतनसङ्केतेन या>का इदं याव- त्तावन्मानं कालकादर्धमिति च बोधयति । अथ कल्प्यते या >का तदा या १ का १̇ > ० अतोऽनयोर्वर्गे कृते याव १ याका २̇ काव १ > ० पक्षयोर्द्वयोः याका २ क्षेपे । याव १ काव १ > याका २ अतो द्वयो राश्योर्वर्गयोगो द्विघ्नतद्धातादधिको भवतीति सिध्यति । अथ √क ±√ग इदं स्ववर्गमूलसममतस्तद्वर्गः क+ग±२√कग अत्र क+ग अयम् √क , √ग , अनयोर्वर्गयोगसमः । २√कग अयं च √क , √ग अनयोर्वधस्य मूलेन द्विगुणेन समस्तथा पूर्वयुक्त्या क+ग>२√कग अत आचार्येणास्य क+ग महती संज्ञा २√कग अस्य च या लघुसंज्ञा कृता सा सार्थोऽथ पूर्वोक्तवर्गस्य क+ग±२√कग अस्य यन्मूलं वा करणी स एव योगो वा वियोगो भवति √क , √ग, चानयोरित्युपपन्नः प्रथमः प्रकारः । अथ √क ±√ग इदं √ग अनेन विभज्य पुनर्यदि तेनैव √ग गुण्यते तदा समा- नमेव तथा कृते न्यासः । √क ± √ग = √ग × (√(क/ग) ± १) अत्र कोष्ठकान्तर्गता सर्वा संख्या √ग अनेन गुणिता बोध्या । (१) वि० दा०-“घातस्य मूलम्” इति पाठश्छन्दोऽनुकूलः साधुरिति ।

करणीषड्विधम् १३ लघ्व्या हृतायास्तु पदं महत्याः सैकं निरेकं स्वहतं लघुघ्नम् । योगान्तरे स्तः क्रमशःस्तयोर्वापृथक् स्थितिःस्याद्यदि नास्ति मूलम् ॥ ८ उदाहरणम् । द्विकाष्टमित्योस्त्रिभसंख्ययोश्च योगान्तरे ब्रूहि पृथक् करण्योः । त्रिसप्तमित्योश्च चिरं विचिन्त्य चेत् षड्विधे वेत्सि सखे करण्याः॥ न्यासः—क २ क ८ योगे जातम् क १८ । अन्तरे च क २ । द्वितीयोदाहरणे न्यासः—क ३ क २७ योगे जातम् क ४८ । अन्तरे च क १२ । तृतीयोदाहृतौ न्यासः—क ३ क ७ अनयोर्घाते मूलाभावात् पृथक् स्थितिरेव योगे जातम् क ३ क ७ । अन्तरे च क ३̇ क ७ । इति करणीसंकलनव्यवकलने । गुणनोदाहरणम् । द्वित्र्यष्टसंख्या गुणकः करण्यो गुण्यस्त्रिसंख्या च सपञ्चरूपा । वधं प्रचक्ष्वाशु विपञ्चरूपं (१)गुणेऽथ वा द्व्यर्धमिते करण्यौ ॥ न्यासः—गुणकः क २ क ३ क ८ । गुण्यः क ३ रु ५ । अत्र गुण्ये गुणके वा भाज्ये भाजके वा करणीनां करण्योर्वा यथा संभवं लाघवार्थं(२)योगं कृत्वा गुणनभजने कार्ये । अथ पूर्वोक्तसूत्रस्य यो वर्गस्तस्य मूलमेव √क , √ग अनयोर्युत्यन्तरं भवेदतो- √ग × (√क/ग ± १) ऽस्य वर्गः ग(√क/ग ± १)² अस्य मूलं वा करणी √क , √ग अनयोर्योगोऽन्तरं वा भवतीत्युपपन्नम् । (१) वि० टी०—विपञ्चरूपे विगतानि ऋणगतानि पञ्च रूपाणि यस्यैतादृशं द्व्यर्धमिते त्र्यष्टादशतुल्ये करण्यौ गुणे स्तः, गुण्यस्तु पूर्ववदिति । (२) वि० टी०—गुणनोदाहरणेऽपवर्त्तनान्तरं येन्मूलमाप्येत् तदर्थं परम्परया प्रसिद्धं पद्यम् । "आदौ करण्योपवर्त्यान्त्ये तन्मूलेष्टोरन्तरयोगवर्गौ । इष्टापवर्त्तनहतौ भवेतां क्रमेण विश्लेषयुती करण्योः ॥" अस्योपपत्तिरतिसुगमा ।

१४ बीजगणिते तथा कृते जातो गुणकः क १८ क ३ । गुण्यः क २५ क ३ । गुणिते जातम् रू ३ क ४५० क ७५ क ५४ । विशेषसूत्रं वृत्तम् । (१)क्षयो भवेच्च क्षयरूपवर्गश्चेत् साध्यतेऽसौ करणीत्यहेतोः । ऋणात्मिकायाश्च तथा करण्या मूलं क्षयो रूपविधानहेतोः ॥१३॥ द्वितीयोदाहरणे न्यासः— . गुणकः क २५ क ३ क १२ । गुण्यः क २५ क ३ । अत्र गुणके करण्योर्योगे कृते गुणकः क २५ क २७ । गुणिते जातम् क ६२५ क ६७५ क ७५ क ८१ । एतास्त्वनयोः क ६२५ क ८१ मूले रू २५ रू ९ । अनयोर्योगे जातम् रू १६ अनयोः क ६७५ क ७५ । अन्तरे योग इति जातो योगः क ३०० । यथाक्रमं न्यासः— रू १६ क ३०० । इति करणीगुणनम् । पूर्वगुणनफलस्य स्वगुणच्छेदस्य भागहारार्थं न्यासः— भाज्यः क ९ क ४५० क ७५ क ५४ । भाजकः क २ क ३ क ८ । अत्र क २ क ८ एनयोः करण्योर्योगे कृते जातम् क १८ क ३ । “भाज्याच्छेदः शुद्ध्यति प्रच्युतः सन्” इत्यादिकरणेन लब्धो गुण्यः रू ५ क ३ । द्वितीयोदाहरणे न्यास.—भाज्य. क २५६ क ३०० । भाजकः क २५ क ३ क १२। करण्योर्योगे कृते जातम् क २५ क २७ । (१) यथा यदि रूपत्रयेण ऋणेन करणीद्वयं धनं गुण्यते तदा गुणनफ- लम् = (-३) √२ = √((-३)² × २) = √१८ अत साम्प्रतमिद न ज्ञायते यद-१८ स्य मूल धनगुणं वाऽपेक्षित परन्तु करणीद्वयं धनं यदि रूपत्रयेण ऋणेन गुण्यते तदावश्यं गुणनफलमृणं स्यादतोऽत्रा-१८ स्य मूलमृणमेवोचितम् । १८ अस्य मूलमत्र ऋणमस्तीति ज्ञानाय किमपि चिह्नविशिष्टमपेक्षितं तथाचार्येणोर्ध्वबिन्दुना क्षयचिह्नेन बोधितमिति । यथा, क १६˙ अनेन षोडशानां धनानां मूलमत्र ऋणम- स्तीति बोध्यं न हि ऋणषोडशानां मूलमिति गणितविदां निर्मलधिया स्फुटमेव ।

करणीषड्विधम् १५ अत्रादौ त्रि(१)भिर्गुणयित्वा धनकरण्योः ऋणकरण्योश्च योगं विधाय पश्चात् पञ्चविंशत्या गुणयित्वा शोधिते लब्धम् रू ५ क ३। अत्रापि पूर्ववल्लब्धो गुण्यः रू ५ क ३। (२)अथ वाऽन्यथोच्यते । धनर्णताव्यत्ययमीप्सितायाश्छेदे करण्या असकृद्विधाय । तादृक्छिदा भाज्यहरौ निहन्यादेकैव यावत् करणी हरे स्यात् ॥१४॥ भाज्यास्तया भाज्यगताः करण्यो लब्धाः करण्यो यदि योगजाः स्युः विश्लेषसूत्रेण पृथक् च कार्यास्तथा यथा प्रष्टुरभीप्सिताः स्युः ॥१५॥ तथा च विश्लेषसूत्रं वृत्तम् । वर्गेण योगकरणी विहृता विशुद्ध्येत् खण्डानि तत्कृतिपदस्य यथेप्सितानि । कृत्या तदीयकृतयः खलु पूर्वलब्ध्या क्षुण्णा भवन्ति पृथगेवमिमाः करण्यः ॥ १६ ॥ न्यासः-भाज्यः क ९ क ४५० क ७५ क ५४ । भाजकः क १८ क ३ । (१) वि० श०-उदाहृतभागहरणे “अत्रादौ त्रिभिर्गुणयित्वा”-इत्यादिना लब्धिज्ञाने कृतेऽप्युज्जातेऽपि तादृशान्येोदाहरणे लब्धिज्ञानं दुर्घटमेवातोऽग्रे “धनर्णताव्यत्ययम्”- इत्यादिभागहारविधि सम्यगिति । (२) भाज्यभाजकयोः समेनाङ्केन सगुण्य यदि भजेत् तदा लब्धिरविकृतै- वातो भाजकगतकरणीनामेव। व्यस्तधनर्णरूपा प्रकल्प्य तादृशा भाजकेन भाज्यभा- जकयुग्मं यदि गुण्येते तदा नूतनभाजके योगान्तरघातस्य वर्गान्तरसमत्वेनैका करणा न्यूना भविष्यति पुनस्तथैव कृते प्रायो नूतनोत्पन्नभाजकेऽप्येका करणी न्यूना भविष्य- ति । एवमसकृत्कृतेऽन्ये सम्भवे भाजके भविष्यति ह्येकैव करणीत्युपपन्नम् । वर्गो वर्गेण गुण्यते वर्ग एवातोऽवर्गेण वर्गेण गुण्यते तदाऽवर्गस्तेन यस्या अपि करण्या रूपम् √यावक। एतादृश भवितुमर्हति तेनेयं √यवक। =या√क। =नी√क।+पी

• √क। + ह √क। +... यदि नी + पी + ह +... = या तदा पूर्वकरणीरूपान्तरम् । या√क। =नी √क। + ह √क। +... = √नीवक। + √पिवक। + √हवक। +... अतः उपपन्नं विश्लेषसूत्रम् ।

१६ बीजगणिते अत्र भाजके त्रिमितकरण्या ऋणत्वं प्रकल्प्य क १८ क ३ं । अनेन भाज्ये गुणिते योगे च कृते जातम् । क ५६२५ क ६७५ । भाजके च क २२५ अनया भाज्ये हृते लब्धम् क २५ क ३। द्वितीयोदाहरणे न्यासः—भाज्यः क २५६ क ३०० । भाजकः क० २५ क २७ । अत्र भाजके पञ्चविंशतिकरण्या धनत्वं प्रकल्प्य क २५ क २७ भाज्ये गुणिते धनर्णकरणीनामन्तरे च कृते जातम् क १०० क १२ । भाजके च क ४ अनया भाज्ये हृते लब्धम् क २५ क ३। इदानीं पूर्वोदाहरणे गुण्ये भाजके कृते न्यासः—भाज्यः क ९ क ४५० क ७५ क ५४ । भाजकः क २५ क ३। अत्रापि त्रिमितकरण्या ऋणत्वं प्रकल्प्य भाज्ये गुणिते युते च जा- तम् क ८७१२ क १४५२ । भाजके च क ४८४ अनया हृते भाज्ये लब्धो गुणकः क १८ क ३ । पूर्वं गुणके खण्डत्रयमासीदिति योगकरणीयम् क १८ विश्लेष्या । तत्र "वर्गेण योगकरणी विहृता विशुद्धयेत्" इति नवात्मकषवर्गेण ९ विहृता सती शुध्यतीति लब्धं २ नयानां मूलम् ३ अस्य खण्डे १ । २ अनयोः कृतौ १ । ४ पूर्वलब्ध्या २ गुणिते २ । ८ एवं जातो गुणकः क २ क ३ क ८। इति करणीभजनम् । करणीवर्गादेरुदाहरणम्— द्विकत्रिपञ्चप्रमिताः करण्यस्तासां कृतिं त्रिद्विकसंख्ययोश्च । षट्पञ्चकत्रिद्विकसंमितानां पृथक् पृथङ्मे कथयाशु विद्वन् ॥ अष्टादशाष्टद्विकसंमितानां कृतीश्शतानां च सखे पदानि । १ न्यासः । प्रथमः क २ क ३ क ५ । द्वितीयः क ३ क २ । तृतीयः क ६ क ५ क ३ क २ चतुर्थः क १८ क ८ क २ । "स्थाप्योऽन्त्यवर्गश्च चतुर्गु णान्त्यान्निघ्नाः" इत्यनेन गुण्यः पृथ- ग्गणकखण्डसम इत्यनेन वा जाताः क्रमेण वर्गाः । प्रथम. रू १० क २४ क ४० क ६० । द्वितीयः रू ५ क २४ । तृतीयः रू १६ क १२०

करणीषड्विधम् १७ क४० ३२ क ६० क ४८ ^ क ० २४ । ॱ अत्रापि करणीनां यथासम्भवं योगं कृत्वा वर्गवर्गमूले कार्ये तद्यथा क १८ क ८ क २ । आसां योगः क ७२ । अस्या वर्गः ˙ क ५१८४ । अस्या मूलम् रू ७२ । इति करणीवर्गः । करणीमूले सूत्रं वृत्तद्वयम् । (१) वर्गे करण्या यदि वा करण्योस्तुल्यानि रूपाण्यथ वा बहूनाम् । विशोधयेद्रूपरतेः पदेन शेषस्य रूपाणि युतोनितानि ॥१७॥ ˙ (१) अ ± √क = ग ± √घ इत्येकं समीकरणं यत्र अ, ग इति संख्याद्वय संभव क, घ, इति संख्या द्वयं चावर्गाङ्करूपं तदोऽत्र अ = ग, क = घ इति भविष्यति, यद्येवं न तर्हि कल्प्यते अ = ग + इ अत ग + इ ± √क = ग ± √घ समशोधनेन इ ± √क = ± √घ वर्गीकरणेन, इ² ± २ इ √क + क = घ समशोधनादिना इ² ~ (घ - क) ------------- = √क • २ इ अनेन मूलं भिन्नं वाऽभिन्नं सम्भवसंख्यासमं जातं परन्तु कमानमवर्गाङ्करूपं पूर्वप्रकल्पितमवर्गस्य मूलं न सावयवं न निरवयवं च भिन्नवर्गे भिन्नत्वान्निरवयवाद्- यद् वर्गाङ्गत्वादत पूर्वकल्पना न तथ्या ततोऽवश्यं अ = ग तेन क = घ, इति सिद्ध्यति । अथ कल्प्यते अ + √क अस्य मूलं √या + √का ततो वर्गेण या + का + √४ याका = अ + √क पूर्वसमीकरणयुक्त्या, या + का = अ, ४ याका = क ततो वर्गेण या² + २ याका + का² = अ² । ४ याका = क शोधनेन या² - २ याका + का² = अ² - क मूलेन, या - का = √अ² - क ततश्चक्रमेण या, का अनयोर्मानं सुगममित्युपपन्नं मूलानयनम् । अवर्गमूलस्य प्रशंसा चेयम् न यो विभिन्नो न यतोऽप्यभिन्नो यथाहमहा तर्हि ददाति तूर्णम् । स पूर्णमास्यां गणितार्णवान्तः प्रविश्य मे ब्रूहि तदीयनाम ॥ मत्कृता युक्तिरियमेव । ३

१८ बीजगणिते पृथक् तदर्थे करणीद्वयं स्यान्मूलेऽथ बह्वी करणी तयोर्या । रूपाणि तान्येव कृतानि भूयः शेषाः करण्यो यदि सन्ति वर्गे ॥१८॥ उदाहरणम्-द्वितीयवर्गस्य मूलार्थे न्यासः-रू ५ क २४। रूपकृतेः २५ करणीतुल्यानि रूपाणि २४ अपास्य शेषम् १। अस्य मूलेन १ ऊ- नाधिकरूपाणामर्धे जाते मूलकरण्यौ क २ क ३। प्रथमवर्गस्य न्यासः-रू १० क २४ क ४० क ६०। रूपकृतेः १०० चतुर्विं- शतिचत्वारिंशत्करण्योस्तुल्यानि रूपाण्यपास्य शेषम् ३६। अस्य मूलेनोनाधिकरूपाणामर्धे जाते २।८। तत्रापीयं २ मूलकरणी। द्वितीयां रूपाण्येव प्रकल्प्य पुनः शेषकरणीभिः स एव विधिः कार्य- स्तत्रेयं रूपकृतिः ६४। अस्याः षष्टीरूपाण्यपास्य शेषम् ४। अस्य मूलम् २। अनेनोनाधिकरूपाणामर्धे ३।५ जाते। मूलकरणी क ३ क ५। मूलकरणीनां यथाक्रमं न्यासः क २ क ३ क ५। तृतीयवर्गस्य न्यासः-रू १६ क १२० क ७२ क ६० क ४८ क ४० क २४। रूपकृतेः २५६। करणीत्रितयस्यास्य क ४८ क ४० क २४। तुल्यानि रूपाण्यपास्योक्तवज्जाते खण्डे २। १४। महती रूपाणीत्यस्याः १४ कृतिः १९६। अस्य करणीद्वयस्यास्य क ७२ क १२०। तुल्यरूपण्य- पास्योक्तवज्जाते खण्डे ६।८। पुनः रूपकृतेः ६४। षष्टीरूपाण्यपास्यो- क्तवत् खण्डे ३।५। एवं मूलकरणीनां यथाक्रमं न्यासः क ६ क ५ क ३ क २। चतुर्थस्य न्यासः-रू ७२। इयमेव लब्धा मूलकरणी क ७२। पूर्वं खण्ड- त्रयमासीदिति "वर्गेण योगकरणी विहृता विशुद्धे"दिति षट्त्रिंशता विहृता शुध्यतीति षट्त्रिंशतो मूलम् ६। एतस्य खण्डानां १।२।३। वर्गाः १।४।९ पूर्वलब्ध्याऽनया २ क्षुण्णाः २।८।१८। एवं पृथक् करण्यो जाताः क २ क ८ क १८। अथ वर्गगतवर्णकरण्या मूलानयनार्थं सूत्रं वृत्तम्।

करणीषड्विधम् १९ (१) ऋणात्मिका चेत् करणी कृतौ स्याद्धनात्मिकां तां परिकल्प्य साध्ये । मूले करण्याधनयोर्भीष्टा क्षयात्मिकैका सुधियाऽवगम्या ॥ १९ ॥ उदाहरणम् । त्रिसप्तमितयोर्वद मे करण्योर्विश्लेषवर्गं कृतितः पदं च । न्यासः क ३̇ क ७ । यद्वा क ३ क ७̇ । अनयोर्वर्गः सम एव रू १० क ८̇४ । अत्र वर्गे ऋणकरण्या धनत्वं प्रकल्प्य प्राग्वल्लव्धकरण्योरेका- ऽभीष्टा ऋणगता स्यादिति जातम् क ३̇ क ७ । वा क ३ क ७̇ । उदाहरणम् । द्विकत्रिपञ्चप्रमिताः करण्यः स्वस्वर्णगा व्यस्तधनर्णगा वा । तासां कृतिं ब्रूहि कृतेः पदं च चेत् षड्विधं वेत्सि सखे करण्याः॥ न्यासः । क २ क ३ क ५̇ । वा क २̇ क ३̇ क ५ । आसां वर्गः सम एव जातः रू १० क २४ क ४̇० क ६̇० । अत्र ऋणकरण्योस्तुल्यानि धनरूपाणि १०० । रूपकृतेः १०० । अ- पास्य शेषस्य मूलम् ० । अनेनोनाधिकरूपाणामर्धे क ५ । क ५ । अत्रैका ऋणम् क ५̇ । अन्या रूपाणीति । न्यासः रू ५ क २४ । पूर्ववज्जाते करण्यौ धने एव क ३ क २ । यथाक्रमं न्यासः क २ क ३ क ५̇ । अथ वाऽनयोः क २४ क ६० तुल्यानि धनरूपाणि ८४ । रूपकृतेः १०० । अपास्योक्तवज्जाते मूलकरण्यौ क ७ क ३ । अनयोर्महती ऋणं क ७̇ । तान्येव रूपाणि प्रकल्प्य रू ७ क ४० । अतः प्राग्वत् करण्यौ क ५ क २ । अनयोरपि महती ऋणमिति यथाक्रमं न्यासः क ३ क २ क ५̇ । अथ द्वितीयोदाहरणे । प्राग्वत् प्रथमपक्षे मूलकरण्यौ क ५ क ५ । अनयोरेका ऋणं क ५̇ तान्येव रूपाणीति ऋणोत्पन्ने करणी- खण्डे ऋणे एवेति यथाक्रमं न्यासः क ३̇ क २̇ क ५ । (१) यतः ( √अ + √क )² = अ + क + √४ अक । ( √अ - √क )² = अ + क - √४ अक अतो वर्गद्वयेऽपि रूपकरण्योर्माने समाने तेन ऋणात्मिकां करणीं धनात्मिकां परिकल्प्य मूलं साधितं तत्र मूले यथा योग्यैका करणी ऋणा- त्मिका कल्प्येति ।

२७ बीजगणिते द्वितीयपक्षेणापि यथोक्ता एव मूलकरण्यः क २ क ३ क ५ । एवं बुद्धिमताऽनुक्रमपि ज्ञायत इति । पूर्वेणायमर्थो विस्तीर्णोक्तो बालावबोधार्थं तु मयोच्यते । (१) एकादिसंकलितमितकरणीखण्डानि वर्गराशौ स्युः । वर्गे करणीमितये करणीद्वितयस्य तुल्यरूपाणि ॥ २० ॥

(१) कल्प्यन्ते, क २ क ३ क ५ क ६ क ७ ..... इत्यत्र न + १ मितानि पदानि तदेतद्वर्गे । २ + ३ + ५ + ६ ... = रूपाणि भवन्ति । (न + १) मितानां मध्ये द्वयोर्द्वयोर्वधश्चतुर्गुणश्चेत्याद्येकोत्तरा अङ्का इत्यादिना । न (न + १) --------- एतेषु स्थानेषु, अतो त्र्यादीनां करणीनां वर्गे एकादिसङ्कलितमि- २ तानि करणीखण्डानि भवन्ति । परन्तु यदि मूले धनात्मिका ऋणात्मिकाश्च करण्यस्तथा स्युर्यथा वर्गे द्वयोर्द्वयोर्घातेन चतुर्गुणेन बहूनि धनर्णरूपाणि करणीखण्डानि समानि भव- न्ति तदा बहूनां करणीखण्डानां धनर्णयोस्तुल्यत्वान्नाशो बहूनां च योगो भवति तदा तादृशस्य वास्तववर्गस्य वास्तवमूलमतीव दुर्घटं यथा, क १ क २ क ५

करणीषड्विधम् २१ करणीषट्के तिसृणां दशसु चतुसृणां तिथिषु च पञ्चानाम् । रूपकृतेः प्रोह्य पदं ग्राह्यं चेदन्यथा न सत् क्वापि ॥ २१ ॥ = ३ + (√५ × ३ × ४ + √६ × ३ × ४

• √७ × ३ × ४ + √८ × ३ × ४
• (√५ + √६ + √७ + √८)२ तथा (√५ + √६ + √७ + √८)२ = ५ + √६ × ५ × ४ + √७ × ५ × ४
• √८ × ५ × ४) + (√६ + √७ + √८)२ तथा (√६ + √७ + √८)२ = ६ + (√७ × ६ × ४ + √८ × ६ × ४)
• (√७ + √८)२ एवं (√७ + √८)२ = ७ + √८ × ७ × ४
• ८ ततः पूर्ववर्गे (२ + ३ + ५ + ६ + ७ + ८)
• (√३ × २ × ४ + √५ × २ × ४ + √६ × २ × ४
• √७ × २ × ४ + √८ × २ × ४
• (√५ × ३ × ४ + √६ × ३ × ४ + √७ × ३ × ४
• √८ × ३ × ४
• (√६ × ५ × ४ + √७ × ५ × ४ + √८ × ५ × ४)
• (√७ × ६ × ४ + √८ × ६ × ४)
• √८ × ७ × ४ अत्र प्रथमषड्द्वयस्थकरणीतुल्यानां रूपाणां यदि योगः क्रियत तदा योग = ४ × २ (३ + ५ + ६ + ७ + ८) = २ . (३ + ५ + ६ + ७ + ८) अनयोर्वधश्चतुर्गुण । रूपाणि = २ + (३ + ५ + ६ + ७ + ८) तयासमम् । अत्र “धनुर्गुणस्य च नरस्य युतिवर्गस्य चान्तरम्” इत्यादिना प्रथमम् २, (३ × ५ × ६ × ७ + ८) अनयोर्मन तत (३ + ५ × ६ + ७ + ८) एतद्द्वयवान् मूलंन्य षट्द्वयस्थकरणासु शङ्कयुतेन ३, (५ + ६ + ७

३२ बीजगणिते उत्तरस्यानयान्त्यं वा मूलकरण्‌याऽन्यया चतुर्गुणया । यासामपवर्त्तः स्याद्रूपकृतेस्ता विशोध्याः स्युः ॥ २२ ॥ अपवर्त्तादपि लब्धा मूलकरण्यो भवन्ति ताश्चापि । शेषविधिना न यदि ता भवन्ति मूलं तदा तदसत् ॥ २३ ॥ करणीवर्गराशौ रूपैरवश्यं भवितव्यम् । एककरण्या वर्गे रूपाण्येव, द्वयोः सरूपैका करणी, तिसृणां तिस्रः, चतुसृणां षट् । पञ्चानां दश षण्णां पञ्चदश इत्यादि । अतो द्वयादीनां करणीनां वर्गेषु एकादिसंकलितमितानि करणी- नां खण्डानि रूपाणि च यथाक्रमं स्युः । अथ यदि उदाहरणे तावन्ति न भवन्ति तदाऽसौ योगकरणी विशोध्या वा भवतीति कृत्वा मूलं ग्राह्यमित्यर्थः । वर्गे करणीत्रितये करणीद्वितयस्य तुल्यरूपाणीति स्पष्टार्थम् । उदाहरणम् वर्गे यत्र करण्यो द्वित्रैः सप्ताङ्गजैर्मिताः पृथक् । रूपैर्दशभिरुपेताः किं मूलं ब्रूहि तस्य स्यात् ॥ १ ॥

• ८ ) अनयोरनेनेवमग्रेऽपि बोध्यम् । अतो मूले यावन्ति करणीखण्डान्यागच्छन्ति निरुक्तसमानां करणीखण्डानां योगो रूपकृतेरपास्यः । _ मूले कियन्ति करणीखण्डानि स्युरेतज्ज्ञानमतो द्वयादीनां करणीनां वर्गे, एकादिसं- कलितमितानि करणीनां खण्डानि इत्याद्याचार्येणोक्त्या । अतो यदा वर्गे करणीत्रितयं तदा द्वयस्य सङ्कलितं त्रयमतो मूले त्रीणि करणीखण्डान्यागच्छेयुरतः करणीद्वित- यस्य तुल्यरूपाणि स्वरूपकृतेः शोध्यानि । एवं त्रयस्य सङ्कलितं = ६, चतुर्णां = १०, पञ्चानां = १५, अत आचार्योक्ताः शोधननियमाः शोभनाः । वर्गे यावन्ति करणीख- ण्डानि स्युर्यत्सङ्कलिते तत्करणीखण्डसमं भवेत् तन्मितानां करणीखण्डानां रूपाणां योग- म एव रूपकृतेर्विशोध्यो भवतीति पूर्वोक्त्या फलितमिति । अथ यावन्ति करणीखण्ड- ानि प्रथमं रूपकृतेः शुद्धानि तत्र प्रत्येकं मूलस्थस्य प्रथमकरणखण्डस्यान्यतमरा- शेन चतुर्गुणेन तासां करणीनामपवर्त्ते लब्धसमा मूले शेषकरण्यश्च भवन्तीति । रूप- कृतेरल्पपूर्वाणां करणीखण्डरूपाणां योगो यदि शोध्यस्तदा मूले चाल्पपूर्वा करण्य एवाय- च्छेयुरतो मूलेऽथ बह्वीकरणी तयोर्यादिकाख्य न कुत्रापि व्यभिचार इति कृपादिवशोक्तं युक्तियुक्तमेव यतोऽल्पपूर्वाणां करणीखण्डरूपाणां योगेऽल्पतमत्वादस्मिन् रूपकृतेर्विशोधिते शेषं महत्तमं तन्मूलं च महत्तमं तस्मिन् रूपेभ्यो विशोधिते शेषमल्प- तमं स्यादेतं नान्यतममतोऽल्पपूर्वा एव करण्यो मूले समागच्छन्ति ।

करणीषड्विधम् २३ न्यासः । रू १० क ३२ क २४ क ८ । अत्र वर्गे करणीत्रितये करणीद्वितस्यैव तुल्यानि रूपाणि प्रथमं रूपङ्क्तेरपास्य मूलं ग्राह्यं पुनरेकस्या एवं क्रियमाणेऽत्र पदं नास्ती- त्यतोऽस्य करणीगतमूलाभावः । अथानियमेन सर्वकरणीतुल्यानि रूपाण्यपास्य मूलमानीयते तदिदम् क २ क ८ समागच्छति इदम- सद्यतोऽस्य वर्गोऽयम् रू १८ । अथ वा दन्तगजमितयोर्योगं कृत्वा रू १० क ७२ क २४ । आनी- यते तर्हिदमप्यसत् रू २ क ६ । उदाहरणम् । (१) वर्गे यत्र करण्यस्तिथिविश्वहुताशनैश्चतुर्गुणितैः । तुल्या दशरूपाढ्याः किं मूलं ब्रूहि तस्य स्यात् ॥ २ ॥ न्यासः । रू १० क ६० क ५२ क १२ । अत्र किल वर्गे करणीत्रयमस्तीति तत्करणीद्वयस्य द्विपञ्चाशद्द्वा- दशमितस्य क५२क१२ तुल्यरूपण्यपास्य ये मूलकरण्यावुत्पद्येते क८ क २ । तयोरल्पयाऽनया २ चतुर्गुण्या ८ द्विपञ्चाशद्द्वादशमितयो- रपवर्त्तो न स्यादतस्ते न शोध्ये यत उक्तमुत्सृज्यमानयैवमित्यादि । अत्राऽल्पयेत्युपलक्षणं तेन क्वचिन्महत्याऽपि तदा मूलकरणी रूपाणि प्रकल्प्याभ्ये करणीखण्डे साध्ये सा महती प्रकल्प्येत्यर्थः । तथा कृते मूलम् क २ क ३ क ५ । इदमप्यसद्यतोऽस्य वर्गोऽयम् रू १० क २४ क ४० क ६० । उदाहरणम् । (२) अष्टौ षट्पञ्चाशत् षष्टिः करणीत्रयं कृतौ यत्र । रूपैर्दशभिरुपेतं किं मूलं ब्रूहि तस्य स्यात् ॥ ३ ॥ न्यासः । रू १० क ८ क ५६ क ६० । अत्राद्यखण्डद्वये क ८ क ५६ । शोधिते उत्पन्नयाऽल्पया चतुर्गु- णया ८ तयोः खण्डयोरपवर्त्तनलब्धे खण्डे १ । ७ परं शेषविधिना मूलकरण्यौ नोत्पद्येते अतस्ते खण्डे न शोध्ये अन्यथा तु शोधने कृते मूल मानानीयतस्तदसत् । (१) वि० पु०—अथोत्सृज्यमानयैवमित्येतद्रूपदीपनम् । (२) वि० पु०—अथ नागागाभं स्यादेतत्प्रत्युदाहरणम् ।

२४ बीजगणिते उदाहरणम्। (१) चतुर्गुणाः सूर्यतिथीषुरुद्रनागर्तवो यत्र कृतौ करण्यः। सविंशरूपा यद् तत्पदं मे वद्यस्ति बीजे पटुताभिमानः ॥ ४॥ न्यासः। रु १३ क ४८ क ६० क २० क ४४ क ३२ क २४। अत्र करणीषट्के तिसृणां करणीनां तुल्यानि रूपाणि प्रथमं रूप- कृतेरपास्य मूलं ग्राह्यं पश्चाद्द्वयोस्तत एकस्या एवं कृतेऽत्र मूलाभावः। अथान्यथा तु प्रथममाद्यकरण्योस्तुल्यानि रूपाण्यपास्य पश्चाद्वितीय- तृतीययोस्ततः शेषाणां द्वपहते विशोध्यानीति तन्मूलम् क १ क २ क ५ क ५। तदिदमप्यसत् यतोऽस्य वर्गोंऽयम् रु १३ क ८ क ८० क १६०। यैरस्य मूलानयनस्य नियमो न कृतस्तेषामिदं दूषणम्। एवंविधवर्गे कर- णीनामासन्नमूलकरणेन मूलान्यानीय रूपेषु प्रक्षिप्य मूले वाच्यम्। अथ महती रूपाणीत्युपलक्षणम्। यतः क्वचिदल्पाऽपि। तत्रोदाहरणम्। चत्वारिंशदशीतिद्विशतीतुंल्याः करण्यश्चेत्। सप्तदशरूपयुक्तास्तत्र कृतौ किं पदं ब्रूहि ॥ ५ ॥ न्यासः। रु १७ क ४० क ८० क २००। शोधिते जाते खण्डे क १० क ७। पुनल्लँघ्वीं करणीं रूपाणि कृत्वा लब्धे करण्यौ क ५ क २। एवं मूलकरणीनां न्यासः क १० क ५ क २। इति करणीषड्विधम्। इति षड्विंशत्परिकर्माणि। अथ कुट्टकः। (२) भाज्यो हारः क्षेपकश्चापवर्त्यः केनाप्यादौ संभवे कुट्टकार्थम्। येनच्छिन्नौ भाज्यहारौ न तेन क्षेपश्चेत्तद्दुष्टमुद्दिष्टमेव ॥ १ ॥ (१) वि० दृ०— यदि चेदन्यथा कश्चिन्नियममभिसमीक्ष्य मूलं दत्ते तदप्यसत्, इत्येतदर्थमुदाहरणम्। (२) मङ्गलमापकश्लोकानां रेखागणितस्य सप्तमाध्यायस्य प्रथमेनेन वा मदीयं विस्तीर्णोपपत्तिसहितयुक्त्या स्फुटा। इह संक्षेपार्थं नूतनहेतुनैव विलिख्यते, तत्र, कुट्टकप्रश्नानुसारेण, ४७ = (१०० या + क्षे) / ९१ या = गुणः } या = लब्धि }

कुट्टकः । परस्परं भाजितयोर्ययोर्यः शे(१)षस्तयोः स्यादपवर्तनं सः । तेनापवर्तेन विभाजितौ यौ तौ भाज्यहारौ दृढसंज्ञितौ स्तः ॥ २ ॥ मिथो भजेत् तौ दृढभाज्यहारौ यावद्विभाज्ये भवतीह रूपम् । फलान्यधोधस्तदधो निवेश्यः क्षेपस्तथाऽन्ते खमुपान्तिमेन ॥ ३ ॥ स्वोर्ध्वं हतेऽन्त्येन युते तदन्त्यं त्यज्येन्मुहुः स्यादिति राशियुग्मम् । ऊर्ध्वो विभाज्येन दृढेन (२)तष्टः फलं गुणः स्यादधरो हरेण ॥ ४ ॥ तद्यथा या = १०० या + क्षे / ६३ = या + ३७ या + क्षे / ६३ = या + नी यदि नी = ३७ या + क्षे / ६३ तदा, या = ६३ नी - क्षे / ३७ = नी + पी यदि पी = ११ पी + क्षे / २६ तदा पी = २६ लो - क्षे / ११ = २ लो + ह यदि ह = ४ लो - क्षे / ११ तदा, लो = ११ ह + क्षे / ४ = २ ह + खे यदि खे = ३ ह + क्षे / ४ तदा ह = ४ खे - क्षे / ३ = खे + चि यदि चि = खे - क्षे / ३ तदा खे = ३ चि + क्षे / १ = क्षे यदि चि = ० अत्र यावत्तावत्कालकनीलगुणरूपेण जाता वल्ली, ततोऽन्यदुत्थापनेन, 'स्वोर्ध्वं हतेऽन्त्येन युते तदन्त्य'मित्याद्युपपन्नं भवति, 'पूर्वलेखितसमीकरणेन स्फुटं दृश्यते यद्य- दा समा वल्ली तदा धनक्षेपेऽन्यथा ऋणक्षेपे गुणलब्धी यावत्तावद्राश्यात्मके भवत इति । (१) वि० श०—शेषो निःशेषशरतोऽङ्कः स तयोरपवर्त्तनं महत्समावर्त्तनमिति । एवमव्यक्तेऽपि कल्प्येते राशी क - ६ क + ८ । ४ क³ - २१ क² + १५ क + २० अत्र “माञ्जाच्छेदः” इत्यादिना क² - ६ क + ८ ) ४ क³ - २१ क + १५ क + २० ( ४ क + ३ । अत्र शेषः क - ४ ) क² - ६ क + ८ (क - २ अतोऽत्र शेषाभावा- न्निःशेषशरकम् क - ४ इदमत्र तयोः कल्पितयोर्महत्समापवर्त्तनमित्यस्य प्रायः पाश्चात्त्य- गणिते बहुधा प्रदर्शितः । (२) वि० श०—भागहरणे यत्र शेषस्यैव प्रयोजनं तत्र तष्ट इत्यत्र तष्ट इति । दृढेने लब्धेशतक्षणं भाज्यराशिगुणस्य तक्षणं हर इति । ४

ुद्घे गुणाप्ती स्तो वियोगजे । धनभाज्योद्भवे तद्वद्भवेतामृणभाज्यजे ॥ ७ ॥ गुणलब्ध्योः समं ग्राह्यं धीमता तक्षणे फलम् । ह्रतशेषे धनक्षेपे गुणलब्धी तु पूर्ववत् ॥ ८ ॥ क्षेपतक्षणलाभाढ्या लब्धिः शुद्धौ तु वर्जिता । अथ वा भागहारेण तयोः क्षेपभाज्ययोः ॥ ९ ॥ गुणः प्राग्वत् ततो लब्धिर्भाज्याद्धतयुतोद्धृतात् । क्षेपाभावेऽथ वा यत्र क्षेपः शुद्धयेद्धरोद्धृतः ॥ १० ॥ ज्ञेयः शून्यं गुणस्तत्र क्षेपो हारहृतः फलम् । इष्टाहतस्वस्वहरेण युक्ते ते वा भवेतां बहुधा गुणाप्ती ॥११॥ अथ पूर्ववत्समीकरणेन, हा. ल=भा. गु+क्षे ... ... ( १ ) इहाभा=इ. भा. हा. ... ... ( २ ) अत्र प्रथमाद्द्वितीयस्य शोधनेन हा (

अथ (२) हाल = भा. गु ± क्षे, अत्र यदि भा = इ. भां, क्षे = इ. क्षें तदा, ल = इ ( भा. गु ± क्षै' ) / हा , अथात्र इ, हा, द्वौ परस्परं दृढौ तेन गु ± क्षै अयं हारेण निःशेषो भवति ( रेखागणितस्य सप्तमाध्याययुक्त्या या दृढाङ्क- सिद्धान्तानुसारेण ) । कल्प्यते सा च लब्धिः = लं तदा ल = इ ( भा. गु ± क्षे' ) / हा = इ. लं, पुनर्यदि हा = हा. इ, क्षे = क्षं. इ तदा ल = भा. गु ± क्षे'. इ / हा'. इ = भा. गु / इ ± क्षे' / हा' अत्र भाज्यः, इ अनेन न निःशेषो भवति तेन गु, अयमपि इ अनेन निःशेषो भवेत् अन्यथा निरवयवसावयवयोगो न निरवयवसमः । ∴ हा. ल = भा. गु / इ + क्षे, अत्र कल्प्यते गु = गुं. इ तदा पूर्वसमीकरणरूपम् ल = भा

२०! Wait, is there a २० below २३? Look at २३: below २३ there is २०? No, look at the space: Wait, between २३ and वा इत्यादि: There is ३८? Wait, above: २३, below: nothing? Wait, look at २३ ।: Wait, there's २३ then a vertical line । then ३६ or ३८ or ५६? Wait, look at: २३ then । then ३८? No, ५६! Wait, why 23 and 38, or 23 and 20? Wait, let's look at २३: Wait, is it २३ on top and २० on bottom? Look at the image carefully: Line 12: वा लब्धिगुणौ २३ । ३६ वा इत्यादि । Wait, could it be २३ and २०? Where is २०? Wait, look at: २३ followed by । (danda). Then ५६ or ३६? Wait, let's look at the characters: २ ३ `