बीजगणितम् (भास्कराचार्य द्वितीय - प्राचीन भारतीय समीकरण एवं बीजगणित सूत्र सटीक)

with aa-matra), then 'भि' (भ with i-matra), then 'धैः'! YES! "विशेषाभिधैः"! Let's check: "पूज्यचरणैर्विशेषाभिधैः सूक्ष्मोपपत्तिटिप्प-"! Wait, does it say "विशेषाभिधैः"? Look at line 25: "तद्विशेषलब्धावधोधबलेनैव"! Yes! "विशेष" is key here! His guru/father had an epithet or commentary with "विशेष"!

Let's read line 25 carefully: ण्यादिभिः समलंकृतमपि तद्विशेषलब्धावधोधबलेनैव पुनर्मुद्रणे विशेष- Wait, "तद्विशेषलब्धावधोधबलेनैव"? Let's look at the letters: त, द्, व, ि, श, े, ष, ल, ब्धा, व, बो, ध, ब, ल, े, न, ै, व! Look at: "लब्धावबोधबलेनैव"! ल, ब्धा, व, बो, ध (with o-matra on ब: बो, then ध: लब्धावबोधबलेनैव)! "तद्विशेषलब्धावबोधबलेनैव"! Meaning: "by the strength of understanding obtained from that Vishesha [commentary/guid

विषयसूची । विषयः पृ० धनर्णसंकलनम् ... ... २ धनर्णव्यवकलनम् ... ... २ धनर्णगुणनम् ... ... ३ धनर्णभागहारः ... ... ४ धनर्णवर्गौ मूलं च ... ... ४ खसंकलनव्यवकलनम् ... ... ५ खगुणादि ... ... ५ अनन्तराशिप्रशंसा ... ... ६ अव्यक्तकल्पना ... ... ७ अव्यक्तसंकलनव्यवकलनम् ... ... ७ अव्यक्तादिगुणनम् ... ... ८ अव्यक्तादिभागहारः ... ... ६ अव्यक्तवर्गादि ... ... १० अनेकवर्णादिषड्विधम् ... ... ११ करणीसंकलनव्यवकलनम् ... ... १२ करणीगुणनम् ... ... १३ करणीभजनम् ... ... १४ करणीवर्गः ... ... १६ करणीमूलम् ... ... १७ कुट्टकः ... ... २४ वर्गप्रकृतिः ... ... ३३ चक्रवालम् ... ... ३६ एकवर्णसमीकरणबीजम् ... ... ४३ अव्यक्तवर्गादिसमीकरणम् ... ... ५६ अनेकवर्णसमीकरणम् ... ... ७६ अनेकवर्णमध्यमाहरणम् ... ... ६६ भावितम् ... ... १२३ ग्रन्थो Bernhard ... (ग्रन्थो उपसंहारः) ग्रन्थो Bernhard? No: ग्रन्थोपसंहारः ... ... १२९ प्रक्षिप्तविषयाः ... ... १३१ नवीनप्रक्षिप्तविषयाः ... ... १४५

तावतो नघातमूलं प्रकाश्यते । या ∽ का, अनेन, (Wait, difference symbol: ∽ or ~).

Line 22: यावत्तावत्कालकयोर्मध्ये योऽधिकस्तस्मादल्पो विशोध्य इति प्रकाश्यते । एवं या =

Line 23: का अनेन यावत्तावत् कालकसममिति प्रकाश्यते ।

Line 24: अत्रोपपत्तिरतिसुगमा यतो यद्येकस्य पुरुषस्य रूपत्रयं धनमासीत् पुनः कालान्तरे

Line 25: रूपचतुष्टयं च ऋणं स्यात् तदा तयोर्योगे कृते ऋणं रूपमेकं स्यादेव । एवं यदा तस्यैव

Line 26: रूपचतुष्टयमृणं रूपत्रयं धनं रूपत्रयदानेन रूपमेकमवशिष्टं यदि तु रूपचतुष्टयं धनं

Line 27: रूपत्रयमृणं स्यात् तदा रूपत्रयदानेन रूपं धनमवशिष्टं स्यादिति ।

Let's double check Line 27: "रूपत्रयमृणं स्यात् तदा रूपत्रयदानेन रूपं धनमवशिष्टं स्यादिति ।" In the image, "रूपत्र" then a broken glyph that has the right side of 'य', followed by "दानेन". So it is indeed "रूपत्रयदानेन"!

Check Line 2

२ बीजगणिते योगे युतिः स्यात् क्षययोः स्वयोर्ध्वा धनर्णयोर्(१)न्तरमेव योगः । उदाहरणम् । रूपत्रयं रूपचतुष्टयं च क्षयं धनं वा सहितं वदाशु । स्वर्णं क्षयं स्वं च पृथक् पृथङ्मे धनर्णयोः संकलनामवैषि ॥१॥ अत्र (२)रूपाणामव्यक्तानां चाद्याक्षरगण्युपलक्षणार्थं लेख्यानि यानि ऋणगतानि तान्यूर्ध्वबिन्दूनि च । न्यासः-(३)रू ३̇ रू ४̇ योगे जात रू ७̇ । ,, रू ३ रू ४ ,, ७ । ,, रू ३ रू ४̇ ,, १̇ । ,, रू ३̇ रू ४ ,, १ । एवं विभिन्नेष्वपि । धनर्णव्यवकलने करणसूत्रं वृत्तार्धम् । (४) संशोध्यमानं स्वमृणत्वमेति स्वत्वं (५)क्षयस्तद्युतिरुक्तवच्च ॥१॥ (१) वि० श०—धनर्णयोरन्तरमेव योगो भवति स च धनपरमो ऋणपरमो वेक्ष्यतेऽतो यस्य शेषं तदात्मकम् । अत्र नारायण स्वकृतबीजे— “योगे धनयोः क्षययोर्योगः स्यात् स्वर्णयोर्विवरम् । अधिकादूनमपास्य च शेषं तद्भावमुपयाति ॥” इति स्पष्टम् । (२) वि० श०—रु इति व्यक्तज्ञापकम् । रूपद्विविधकथनानन्तरमव्यक्तप्रक- रणमिति । (३) वि० श०—रू ३̇ रू ४̇ एतत् रू ७̇ समम् । नव्यरीत्या-३-४=-(३+४) =-७ । ३+४=७ । ३-४=-१ । -३+४=१ (४) अत्रोपपत्ति । यदि रूपत्रयधनाद्रूपद्वयधनं विशोध्यते तदा रूपं धनं शिष्टमेवं रूपत्रयात् ऋणाद्यदि रूपद्वयमृणं विशोष्यतेऽर्थाद्देयं क्रियते तदा रूपमात्रमृणं स्यादिति सुगमम् । अथैकस्य रूपत्रयं धनं रूपद्वयं च ऋणमासीत्, साम्प्रतं रूपद्वयर्णस्य विशोधनं जातमर्थाद्येन तदृणं दत्तं तेन न गृहीतोऽहं भवते दत्तवान् तद्रूपद्वयमिति कथ्यते तदा साम्प्रतं तस्य निकटे रूपपञ्चकं जातमेव यदि रूपत्रयमृणं रूपद्वयं धनं स्यात् तस्य रूपद्वयधनस्य च विशोधनं भवेदर्थात् तद्रूपद्वयं धनं यदि ऋणरूपं स्यात् तदा सर्वमृणं रूपपञ्चकं स्यादेवेति । (५) वि० श०—संशोध्यमानं क्षयः स्वत्वं धनत्वमेति । अनुकूलमार्गो धनं तत्प्र

धनर्णषड्विधम् ३ उदाहरणम् । अथाङ्कद्वयं स्वात् स्वमृणादृणं च व्यस्तं च संशोध्य वदाशु शेषम् । न्यासः—रू ३ रू २ अन्तरे जातम् रू १ । ” रू ३̇ रू २̇ ” रू १̇ । ” रू ३ रू २̇ ” रू ५ । ” रू ३̇ रू २ ” रू ५̇ । इति धनर्णसंकलनव्यवकलने । गुणने करणसूत्रं वृत्तार्धम् । (१)स्वयोरस्वयोः स्व (२)वधः स्वर्णघाते क्षयो भागहारेऽपि चैवं निरुक्तम् । तिकूलमृणमिति सिद्धान्त । एव सति धनं संशोध्यमानं प्रतिकूलमार्गे पतितमृणं तथा क्षयं संशोध्यमानं प्रतिकूलभावापन्नो धनमेव । अत्र स्वभाष्ये ज्ञानराजात्मजः “अभावे भावविनिमय ” इति नीतिमनुसृत्योपपत्तिरिह । (१) अत्रोपपत्ति । कल्प्यते या-का

४ बीजगणिते उदाहरणम् । धनं धनेनर्णमृणेन निघ्नं द्वयं क्षयेण स्वमृणेन किं स्यात् ॥ १ ॥ न्यासः—रू २ रू ३ धनं धनघ्नं धनं स्यादिति जातम् रू ६ । ” रू २̇ रू ३̇ ऋणमृणघ्नं धनं ” रू ६ । ” रू २ रू ३̇ धनमृणगुणमृणं ” रू ६̇ । ” रू २̇ रू ३ ऋणं धनगुणमृणं ” रू ६̇ । इति धनर्णगुणनम् । (१)भागहारेऽपि चैवं निरुक्तमिति । उदाहरणम् । रूपाष्टकं रूपचतुष्टयेन धनं धनेनर्णमृणेन भक्तम् । ऋणं धनेन स्वमृणेन किं स्याद्द्रुतं वदेदं यदि विबुधीषि ॥ १ ॥ न्यासः—रू ८ रू ४ धनं धनहृतं धनं स्यादिति जातम् रू २ । ” रू ८̇ रू ४̇ ऋणमृणहृतं ” रू २ । ” रू ८̇ रू ४ ऋणं धनहृतमृणं स्यादिति जातम् रू २̇ । ” रू ८ रू ४̇ धनमृणहृतमृणं ” रू २̇ । इति धनर्णभागहारः । वर्गे मूले च करणसूत्रे वृत्तार्धम् । (२)कृतिः स्वर्णयोः स्वं स्वमूले धनर्णे न मूलं क्षयस्यास्ति तस्या कृतित्वात् ॥ २ ॥ वर्गोदाहरणम् । धनस्य रूपत्रितयस्य वर्गं क्षयस्य च ब्रूहि सखे ममाशु । न्यासः—रू ३ । रू ३̇ । जातौ वर्गौ रू ९ । रू ९ । (१) अत्रोपपत्तिर्गुणनोपपत्तिरेवेत्येवनातिगद्यते । (२) अत्रोपपत्तिः । समाद्विघात इति परिभाषया धनर्णगुणनयुक्त्या चातिसरला ।

वियत् खस्य खं खेन घाते" is Bhaskara's Bījagaṇita, verse: "योगे खं क्षेपसमं वर्गादौ खं खभाजितो राशिः । खहरः स्यात् खगुणः खं खगुणाच्चिन्त्यश्च शेषविधौ ॥" Wait, what is the verse here? Line 16: "(१) वधादौ वियत् खस्य खं खेन घाते" Wait! That's the half-verse of Bhaskara's Lilavati or Bijaganita? In Lilavati: "योगे खं क्षेपसमं..." In Bijaganita: Line 8: "खसंकलनव्यकलने करणसूत्रं वृत्तार्धम् ।" Line 9: "खयोगे वियोगे धनर्णं तथैव च्युतं शून्यतस्तद्विपर्यासमेति ।" (This is Bijaganita verse 8 or so: "खयोगे वियोगे धनर्णं तथैव च्युतं शून्यतस्तद्विपर्यासमेति ॥") Line 11: "रूपत्रयं स्वं क्षयगं च खं च किं स्यात् खयुक्तं वद खाच्च्युतं च ।" (This is the example from Bijaganita!) Line 15: "खगुणादिषु करणसूत्रे वृत्तार्धम्

(divided by zero), it becomes infinite! Brilliant! That is Nārāyaṇa Paṇḍita's Bījagaṇitāvataṃsa! "शून्याभ्यासवशात् खतामुपगतो राशिः पुनः खोद्भूतो" "व्यावृत्तिं पुनरेति तन्मयतया न प्राक्तनीं गच्छति ।" "आत्माऽभासवशादनन्यममलं चिद्रूपमानन्ददं" "प्राप्य ब्रह्मपदं न संसृतिपदं योगी गरीयानिव ॥"

Let's verify line 28: व्यावृत्तिं पुनरेति तन्मयतया न प्राक्तनीं गच्छति ।

Line 29: आत्माऽभासवशादनन्यममलं चिद्रूपमानन्ददं

Line 30: प्राप्य ब्रह्मपदं न संसृतिपदं योगी गरीयानिव ॥"

Now let's re-verify the fraction in line 18-19: Let's see lines 17-19: Line 17: अथ याव १ अयं वर्गो यदि शू-येन विभज्यते तदा लब्धिरनन्ता पूर्वयुक्त्या- Wait, look at शू-येन: is it शू-येन or शून्येन? There is a hyphen: `शू-

अव्यक्तषड्विधम् ७ अथाव्यक्तकल्पना । (१)यावत्तावत् कालको नीलकोऽन्यो वर्णः पीतो लोहितश्चैत(२)दाद्याः । अव्यक्तानां कल्पिता मानसंज्ञा- स्तत्संख्यानं कर्तुमाचार्यवर्यैः ॥५॥ अव्यक्तसंकलनव्यवकलने करणसूत्रं वृत्तार्धम् । योगोऽन्तरं तेषु समानजात्योर्विभिन्नजात्योश्च पृथक् स्थितिश्च । उदाहरणम् । स्वमव्यक्तमेकं सखे सैकरूपं धनाव्यक्तयुग्मं विरूपाष्टकं च । युतौ पक्षयोरेतयोः किंधनर्णे विपर्यस्य चैक्ये भवेत् किं वदाशु॥१॥ न्यासः- या १ रु १ । या २ रू ८̇ । अनयोर्योगे जातम् या ३ रू ७̇ । आद्यपक्षस्य धनर्णव्यत्यासे- न्यासः- या १̇ रु १̇ । या २ रू ८̇ । योगेऽनयोर्जातम् या १ रु ९̇ । द्वितीयस्य व्यत्यासे- न्यासः । या १ रु १ । या २̇ रु ८ । योगे जातम् या १̇ रु ९ । उभयोर्व्यत्यासे- न्यासः- या १̇ रु १̇ । या २̇ रु ८ । योगे जातम् या ३̇ रु ७ । अन्यदुदाहरणम् । धनाव्यक्तवर्गत्रयं सत्रिरूपं क्षयाव्यक्तयुग्मेन युक्तं च किं स्यात् । न्यासः- याव ३ रु ३ । या २̇ योगे जातम् याव ३ या २̇ रु ३ । (१) वि० श०-"यावत्तावच्च साकल्येऽवधौ मानेऽवधारणे" इत्यमरकोशोक्ते- र्माने 'यावत्तावत्' इति भवितुमर्हतीति किन्त्वव्ययपदम्। बीजगणिते च "यावत्तावद्वि- स्त्रिभिः" इत्याद्यसमञ्जसमिव । अत्र विशिष्टटिप्पण्यनेकवर्णसमीकरणे द्रष्टव्येति । (२) वि० श०-स्वबीजे नारायण.- "यावत्तावत्कालकनीलकपीताश्च लोहितो हरितः । श्वेतकचितककपिलरूपाटलद्याः पाण्डुधूम्रशबलाश्च ॥ श्यामलकमेचकधवलरपिशङ्गशारङ्गवभ्रगौराया ॥"

अव्यक्तगुणनभजने । ९ द्वयोर्धनर्णत्वव्यत्यासे— न्यासः—गुण्यः या २̇ रू १ । गुणकः यां ३ रू २̇ । गुणनाज्जातम् याव १५ या ७ रू २̇ । भागहारे(१) करणसूत्रं वृत्तम् । (२)भाज्याच्छेदः शुध्यति प्रच्युतः सन् स्वेषु स्वेषु स्थानकेषु क्रमेण । यैर्यैर्वर्णैः संगुणो यैश्च रूपैर्भागहारे लब्धयस्ताः स्युरत्र ॥ ९ ॥ पूर्वगुणनफलस्य स्वगुणच्छेदस्य भागहारार्थं प्रथमपक्षस्य न्यासः—भाज्यः याव १५ या ७ रू २̇ । भाजकः या ३ रू २ । भजनादाप्तो गुण्यः या ५ रू १̇ । द्वितीयस्य— न्यासः—भाज्यः याव १५ या ७ रू २ । या ३ रू २ । भजनेन लब्धो गुण्यः या ५ रू १ । तृतीयस्य— न्यासः—भाज्यः याव १५ यां ७ रू २ । हरः या ३ं रू २̇ । हरणादाप्तो गुण्यः या ५ रू १̇ । (१) वि०श०—योगवियोगगुणनभजनादिनियमाः समीचीना एव भास्करादीनां प्राची- नगणितविदां किन्तु प्राचीनसमये तादृक् सुगमता नासीद्यथेदानीं लेखनी-लेखनपत्र-प्रस्तर- पट्टिकादिपदार्थसुलभता, तावता बीजगणिते भिन्नगणितादिप्रपञ्चो नास्तीव तथा सनातन- धर्मसहायके ज्योतिषसिद्धान्ते तत्प्रयोजनमपि स्तोकमेवावगम्य भास्करादिभिर्बीजगणित- ज्ञानमेव भारतीयानां हृदि न्यधायि संप्रति गणितविस्तारः पाश्चात्यानां प्रशंसाहों यस्यांशो ग्रन्थान्ते दर्शयिष्यते । (२) अत्रैव यदि भाजके प्रथमं रूपद्वयं ततो यावत्तावत्त्रयं विलिख्य विभ- ज्येोत तदा लब्धिः समीचीना नायात्यतोऽत्रेदं सन्धेयं भाज्ये भाजके च कमप्येकं वर्णं प्रधानीकृत्य तस्य वर्गादिघाता उत्तरोत्तरमुपचयेनापचयेन वा विलेख्यास्तत आचार्यो- क्त्या भजने न कुत्रापि व्यभिचारः । यथा—भाज्यः या ३८ रू २४ याघ १० याव २७ । भाजकः रू ६ या ५ । अत्र यावत्तावतो घाताङ्का एकार्धयित्वा स्थापितास्तथा कृते जातो भाज्यः याघ १० याव २७ या ३८ रू २४ । भाजकः या ५ रू ६ । ततो भास्करोक्त्या लब्धिः याव २ या ३ रू ४ । २

१० बीजगणिते चतुर्थस्य- न्यासः—भाज्यः याव १५ या ७ रू २̇ । हरः या ३̇ रू २ । हृते लब्धो गुण्यः या ५ रू १ । इत्यव्यक्तगुणनभजने । वर्गोदाहरणम् । रूपैः षड्भिर्वर्जितानां चतुर्णामव्यक्तानां ब्रूहि वर्गं सखे मे । न्यासः—या ४ रू ६̇ जातो वर्गः याव १६ या ४८̇ रू ३६ । वर्गमूले करणसूत्रं वृत्तम् । (१)कृतिभ्य आदाय पदानि तेषां द्वयोर्द्वयोश्चाभिहतिं द्विनिघ्नीम् । शेषात् त्यजेद्रूपपदं गृहीत्वा चेत् सन्ति रूपाणि तथैव शेषम् ॥१०॥ (१) अनेन प्रकारेण प्रायो () व्यभिचारो भवति मूलानयने । यथा यावव १ याघ ६ याव २५ या ४८ रू ६४ । अस्य मूलानयने कृतिभ्य आदाय पदानीत्यादिना याव २५ अस्यापि मूलं गृहीत्वा यदि क्रिया क्रियते तदा न वास्तवमूललाभः । अतः प्रथमं वर्गे कस्यापि वर्णस्य वर्गादीन् घातानेकापचितान् संस्थाप्य ततः—“हृत्वा- ऽन्याद्विषमात् कृतिमिति” पाटीरीत्या यदि मूलं गृह्यते तदा न कुत्रापि व्यभिचारः । उक्तोदाहरणे यावत्तावतो घाताङ्कानेकापचितान् संस्थाप्य ततः पाटीरीत्या मूलार्थं न्यासः यावव १ याघ ६ याव २५ या ४८ रू ६४ | याव १ या ३ रू ८ यावव १ याव २ | याघ ६ याघ ६ याव २५ याव ९ याव २ या ६ | याव १६ या ४८ याव १६ या ४८ रू ६४ । रू ६४ । () वि० क०—पूज्यचरणप्रदर्शितोदाहरणे याव २५ इति याव १६ याव ९ अन- योर्योगस्तथा “चेत् सन्ति रूपाणि तथैव” इत्युक्तत्वात् रू ६४ अस्य मूलम् ८ ।

अनेकवर्णषड्विधम् ५१ पूर्वसिद्धस्य मूलार्थे न्यासः— याव १६ या ४८ रू ३६ लब्धं मूलम् या ४ रू ६ । इत्यव्यक्तवर्गमूले । इत्यव्यक्तषड्विधम् । अथानेकवर्णषड्विधम् । तत्र संकलनव्यवकलनोदाहरणम् । यावत्तावत्कालकनीलकवर्णास्त्रिपञ्चसप्तधनम् । द्वित्र्येकमितैः क्षयगैः सहिता रहिताः कति स्युस्तैः ॥ १ ॥ न्यासः—या ३ का ५ नी ७ । या २̇ का ३̇ नी १̇ । योगे जातम् या १ का २ नी ६ । वियोगे जातम् या ५ का ८ नी ८ । इत्यनेकवर्णसंकलनव्यवकलने । गुणनादेरुदाहरणम् । यावत्तावत्त्रयमृणमृणं कालकौ नीलकः स्वं रूपेणाढ्या द्विगुणितमितैस्ते तु तैरेव निघ्नाः । किं स्यात् तेषां गुणनजफलं गुण्यभक्तं च किं स्याद्- गुण्यस्याथ प्रकथय कृतिं मूलमस्याः कृतेश्च ॥ १ ॥ न्यासः—गुण्यः या ३̇ का २̇ नी १ रू १ । गुणकः या ६̇ का ४̇ नी २ रू २ । गुणिते जातम् याव १८ काव ८ नीव २ याकाभा २४ यानीभा १२ कानीभा ८ या १२ का ८ नी ४ रू २ । अस्मादेव गुणनफलाद्गुण्यनानेन या ३̇ का २̇ नी १ रू १ भक्तादाप्तो गुणकः या ६̇ का ४̇ नी २ रू २ । इत्यनेकवर्णगुणनभजने । यावव १ अस्य मूले याव १ अनयोरपि द्विप्रघातः पुनर्नाप भवेदित्यादिविचारयता न व्यभिचारोऽवलोक्यते । वस्तुतस्तु भाष्यकृद्रीत्या यावव १ याघ ४ या ८ रू ४ अस्य वर्गस्य मूलं न लभ्यतेऽव्यक्तमूलानयनरीत्या मूलं याव १ या २ रू २ प्राप्यते ताव- ता नात्र कश्चिद्विरोधः ।

पूर्वगुण्यस्य वर्गार्थं न्यासः— या ३ का २ नी १ रू १ । जातो वर्गः याव ९ काव ४ नीव १ याकाभा १२ यानीभा ६ कानीभा ४ या ६ का ४ नी २ रू १ । वर्गादस्मान्मूलम् या ३ का २ नी १ रू १ । इत्यनेकवर्णषड्विधम् । अथ करणीषड्विधम् । तत्र संकलनव्यवकलनयोः करणसूत्रं वृत्तद्वयम् ।

• योगं करण्योर्महतीं प्रकल्प्य (१)वधस्य मूलं द्विगुणं लघुं च । योगान्तरे रूपवदेतयोः स्तो वर्गेण वर्गं गुणयेद्भजेद्वा ॥१॥
• साम्प्रतं नवीनमूलचिह्नेन यत् प्रकाश्यते तदेव प्राचीनैः करणीपदेन व्यवह्रियेतऽतोऽत्र यदि सङ्केतद्वयमधिकृत्य गणितं क्रियते तदा √२ =क२, √८= क८, अतोऽत्र लाघवार्थं नूतनसङ्केतेन वासनोच्यते । नूतनसङ्केतेन या>का इदं याव- त्तावन्मानं कालकादर्धमिति च बोधयति । अथ कल्प्यते या >का तदा या १ का १̇ > ० अतोऽनयोर्वर्गे कृते याव १ याका २̇ काव १ > ० पक्षयोर्द्वयोः याका २ क्षेपे । याव १ काव १ > याका २ अतो द्वयो राश्योर्वर्गयोगो द्विघ्नतद्धातादधिको भवतीति सिध्यति । अथ √क ±√ग इदं स्ववर्गमूलसममतस्तद्वर्गः क+ग±२√कग अत्र क+ग अयम् √क , √ग , अनयोर्वर्गयोगसमः । २√कग अयं च √क , √ग अनयोर्वधस्य मूलेन द्विगुणेन समस्तथा पूर्वयुक्त्या क+ग>२√कग अत आचार्येणास्य क+ग महती संज्ञा २√कग अस्य च या लघुसंज्ञा कृता सा सार्थोऽथ पूर्वोक्तवर्गस्य क+ग±२√कग अस्य यन्मूलं वा करणी स एव योगो वा वियोगो भवति √क , √ग, चानयोरित्युपपन्नः प्रथमः प्रकारः । अथ √क ±√ग इदं √ग अनेन विभज्य पुनर्यदि तेनैव √ग गुण्यते तदा समा- नमेव तथा कृते न्यासः । √क ± √ग = √ग × (√(क/ग) ± १) अत्र कोष्ठकान्तर्गता सर्वा संख्या √ग अनेन गुणिता बोध्या । (१) वि० दा०-“घातस्य मूलम्” इति पाठश्छन्दोऽनुकूलः साधुरिति ।

करणीषड्विधम् १३ लघ्व्या हृतायास्तु पदं महत्याः सैकं निरेकं स्वहतं लघुघ्नम् । योगान्तरे स्तः क्रमशःस्तयोर्वापृथक् स्थितिःस्याद्यदि नास्ति मूलम् ॥ ८ उदाहरणम् । द्विकाष्टमित्योस्त्रिभसंख्ययोश्च योगान्तरे ब्रूहि पृथक् करण्योः । त्रिसप्तमित्योश्च चिरं विचिन्त्य चेत् षड्विधे वेत्सि सखे करण्याः॥ न्यासः—क २ क ८ योगे जातम् क १८ । अन्तरे च क २ । द्वितीयोदाहरणे न्यासः—क ३ क २७ योगे जातम् क ४८ । अन्तरे च क १२ । तृतीयोदाहृतौ न्यासः—क ३ क ७ अनयोर्घाते मूलाभावात् पृथक् स्थितिरेव योगे जातम् क ३ क ७ । अन्तरे च क ३̇ क ७ । इति करणीसंकलनव्यवकलने । गुणनोदाहरणम् । द्वित्र्यष्टसंख्या गुणकः करण्यो गुण्यस्त्रिसंख्या च सपञ्चरूपा । वधं प्रचक्ष्वाशु विपञ्चरूपं (१)गुणेऽथ वा द्व्यर्धमिते करण्यौ ॥ न्यासः—गुणकः क २ क ३ क ८ । गुण्यः क ३ रु ५ । अत्र गुण्ये गुणके वा भाज्ये भाजके वा करणीनां करण्योर्वा यथा संभवं लाघवार्थं(२)योगं कृत्वा गुणनभजने कार्ये । अथ पूर्वोक्तसूत्रस्य यो वर्गस्तस्य मूलमेव √क , √ग अनयोर्युत्यन्तरं भवेदतो- √ग × (√क/ग ± १) ऽस्य वर्गः ग(√क/ग ± १)² अस्य मूलं वा करणी √क , √ग अनयोर्योगोऽन्तरं वा भवतीत्युपपन्नम् । (१) वि० टी०—विपञ्चरूपे विगतानि ऋणगतानि पञ्च रूपाणि यस्यैतादृशं द्व्यर्धमिते त्र्यष्टादशतुल्ये करण्यौ गुणे स्तः, गुण्यस्तु पूर्ववदिति । (२) वि० टी०—गुणनोदाहरणेऽपवर्त्तनान्तरं येन्मूलमाप्येत् तदर्थं परम्परया प्रसिद्धं पद्यम् । "आदौ करण्योपवर्त्यान्त्ये तन्मूलेष्टोरन्तरयोगवर्गौ । इष्टापवर्त्तनहतौ भवेतां क्रमेण विश्लेषयुती करण्योः ॥" अस्योपपत्तिरतिसुगमा ।

१४ बीजगणिते तथा कृते जातो गुणकः क १८ क ३ । गुण्यः क २५ क ३ । गुणिते जातम् रू ३ क ४५० क ७५ क ५४ । विशेषसूत्रं वृत्तम् । (१)क्षयो भवेच्च क्षयरूपवर्गश्चेत् साध्यतेऽसौ करणीत्यहेतोः । ऋणात्मिकायाश्च तथा करण्या मूलं क्षयो रूपविधानहेतोः ॥१३॥ द्वितीयोदाहरणे न्यासः— . गुणकः क २५ क ३ क १२ । गुण्यः क २५ क ३ । अत्र गुणके करण्योर्योगे कृते गुणकः क २५ क २७ । गुणिते जातम् क ६२५ क ६७५ क ७५ क ८१ । एतास्त्वनयोः क ६२५ क ८१ मूले रू २५ रू ९ । अनयोर्योगे जातम् रू १६ अनयोः क ६७५ क ७५ । अन्तरे योग इति जातो योगः क ३०० । यथाक्रमं न्यासः— रू १६ क ३०० । इति करणीगुणनम् । पूर्वगुणनफलस्य स्वगुणच्छेदस्य भागहारार्थं न्यासः— भाज्यः क ९ क ४५० क ७५ क ५४ । भाजकः क २ क ३ क ८ । अत्र क २ क ८ एनयोः करण्योर्योगे कृते जातम् क १८ क ३ । “भाज्याच्छेदः शुद्ध्यति प्रच्युतः सन्” इत्यादिकरणेन लब्धो गुण्यः रू ५ क ३ । द्वितीयोदाहरणे न्यास.—भाज्य. क २५६ क ३०० । भाजकः क २५ क ३ क १२। करण्योर्योगे कृते जातम् क २५ क २७ । (१) यथा यदि रूपत्रयेण ऋणेन करणीद्वयं धनं गुण्यते तदा गुणनफ- लम् = (-३) √२ = √((-३)² × २) = √१८ अत साम्प्रतमिद न ज्ञायते यद-१८ स्य मूल धनगुणं वाऽपेक्षित परन्तु करणीद्वयं धनं यदि रूपत्रयेण ऋणेन गुण्यते तदावश्यं गुणनफलमृणं स्यादतोऽत्रा-१८ स्य मूलमृणमेवोचितम् । १८ अस्य मूलमत्र ऋणमस्तीति ज्ञानाय किमपि चिह्नविशिष्टमपेक्षितं तथाचार्येणोर्ध्वबिन्दुना क्षयचिह्नेन बोधितमिति । यथा, क १६˙ अनेन षोडशानां धनानां मूलमत्र ऋणम- स्तीति बोध्यं न हि ऋणषोडशानां मूलमिति गणितविदां निर्मलधिया स्फुटमेव ।

करणीषड्विधम् १५ अत्रादौ त्रि(१)भिर्गुणयित्वा धनकरण्योः ऋणकरण्योश्च योगं विधाय पश्चात् पञ्चविंशत्या गुणयित्वा शोधिते लब्धम् रू ५ क ३। अत्रापि पूर्ववल्लब्धो गुण्यः रू ५ क ३। (२)अथ वाऽन्यथोच्यते । धनर्णताव्यत्ययमीप्सितायाश्छेदे करण्या असकृद्विधाय । तादृक्छिदा भाज्यहरौ निहन्यादेकैव यावत् करणी हरे स्यात् ॥१४॥ भाज्यास्तया भाज्यगताः करण्यो लब्धाः करण्यो यदि योगजाः स्युः विश्लेषसूत्रेण पृथक् च कार्यास्तथा यथा प्रष्टुरभीप्सिताः स्युः ॥१५॥ तथा च विश्लेषसूत्रं वृत्तम् । वर्गेण योगकरणी विहृता विशुद्ध्येत् खण्डानि तत्कृतिपदस्य यथेप्सितानि । कृत्या तदीयकृतयः खलु पूर्वलब्ध्या क्षुण्णा भवन्ति पृथगेवमिमाः करण्यः ॥ १६ ॥ न्यासः-भाज्यः क ९ क ४५० क ७५ क ५४ । भाजकः क १८ क ३ । (१) वि० श०-उदाहृतभागहरणे “अत्रादौ त्रिभिर्गुणयित्वा”-इत्यादिना लब्धिज्ञाने कृतेऽप्युज्जातेऽपि तादृशान्येोदाहरणे लब्धिज्ञानं दुर्घटमेवातोऽग्रे “धनर्णताव्यत्ययम्”- इत्यादिभागहारविधि सम्यगिति । (२) भाज्यभाजकयोः समेनाङ्केन सगुण्य यदि भजेत् तदा लब्धिरविकृतै- वातो भाजकगतकरणीनामेव। व्यस्तधनर्णरूपा प्रकल्प्य तादृशा भाजकेन भाज्यभा- जकयुग्मं यदि गुण्येते तदा नूतनभाजके योगान्तरघातस्य वर्गान्तरसमत्वेनैका करणा न्यूना भविष्यति पुनस्तथैव कृते प्रायो नूतनोत्पन्नभाजकेऽप्येका करणी न्यूना भविष्य- ति । एवमसकृत्कृतेऽन्ये सम्भवे भाजके भविष्यति ह्येकैव करणीत्युपपन्नम् । वर्गो वर्गेण गुण्यते वर्ग एवातोऽवर्गेण वर्गेण गुण्यते तदाऽवर्गस्तेन यस्या अपि करण्या रूपम् √यावक। एतादृश भवितुमर्हति तेनेयं √यवक। =या√क। =नी√क।+पी

• √क। + ह √क। +... यदि नी + पी + ह +... = या तदा पूर्वकरणीरूपान्तरम् । या√क। =नी √क। + ह √क। +... = √नीवक। + √पिवक। + √हवक। +... अतः उपपन्नं विश्लेषसूत्रम् ।

१६ बीजगणिते अत्र भाजके त्रिमितकरण्या ऋणत्वं प्रकल्प्य क १८ क ३ं । अनेन भाज्ये गुणिते योगे च कृते जातम् । क ५६२५ क ६७५ । भाजके च क २२५ अनया भाज्ये हृते लब्धम् क २५ क ३। द्वितीयोदाहरणे न्यासः—भाज्यः क २५६ क ३०० । भाजकः क० २५ क २७ । अत्र भाजके पञ्चविंशतिकरण्या धनत्वं प्रकल्प्य क २५ क २७ भाज्ये गुणिते धनर्णकरणीनामन्तरे च कृते जातम् क १०० क १२ । भाजके च क ४ अनया भाज्ये हृते लब्धम् क २५ क ३। इदानीं पूर्वोदाहरणे गुण्ये भाजके कृते न्यासः—भाज्यः क ९ क ४५० क ७५ क ५४ । भाजकः क २५ क ३। अत्रापि त्रिमितकरण्या ऋणत्वं प्रकल्प्य भाज्ये गुणिते युते च जा- तम् क ८७१२ क १४५२ । भाजके च क ४८४ अनया हृते भाज्ये लब्धो गुणकः क १८ क ३ । पूर्वं गुणके खण्डत्रयमासीदिति योगकरणीयम् क १८ विश्लेष्या । तत्र "वर्गेण योगकरणी विहृता विशुद्धयेत्" इति नवात्मकषवर्गेण ९ विहृता सती शुध्यतीति लब्धं २ नयानां मूलम् ३ अस्य खण्डे १ । २ अनयोः कृतौ १ । ४ पूर्वलब्ध्या २ गुणिते २ । ८ एवं जातो गुणकः क २ क ३ क ८। इति करणीभजनम् । करणीवर्गादेरुदाहरणम्— द्विकत्रिपञ्चप्रमिताः करण्यस्तासां कृतिं त्रिद्विकसंख्ययोश्च । षट्पञ्चकत्रिद्विकसंमितानां पृथक् पृथङ्मे कथयाशु विद्वन् ॥ अष्टादशाष्टद्विकसंमितानां कृतीश्शतानां च सखे पदानि । १ न्यासः । प्रथमः क २ क ३ क ५ । द्वितीयः क ३ क २ । तृतीयः क ६ क ५ क ३ क २ चतुर्थः क १८ क ८ क २ । "स्थाप्योऽन्त्यवर्गश्च चतुर्गु णान्त्यान्निघ्नाः" इत्यनेन गुण्यः पृथ- ग्गणकखण्डसम इत्यनेन वा जाताः क्रमेण वर्गाः । प्रथम. रू १० क २४ क ४० क ६० । द्वितीयः रू ५ क २४ । तृतीयः रू १६ क १२०

करणीषड्विधम् १७ क४० ३२ क ६० क ४८ ^ क ० २४ । ॱ अत्रापि करणीनां यथासम्भवं योगं कृत्वा वर्गवर्गमूले कार्ये तद्यथा क १८ क ८ क २ । आसां योगः क ७२ । अस्या वर्गः ˙ क ५१८४ । अस्या मूलम् रू ७२ । इति करणीवर्गः । करणीमूले सूत्रं वृत्तद्वयम् । (१) वर्गे करण्या यदि वा करण्योस्तुल्यानि रूपाण्यथ वा बहूनाम् । विशोधयेद्रूपरतेः पदेन शेषस्य रूपाणि युतोनितानि ॥१७॥ ˙ (१) अ ± √क = ग ± √घ इत्येकं समीकरणं यत्र अ, ग इति संख्याद्वय संभव क, घ, इति संख्या द्वयं चावर्गाङ्करूपं तदोऽत्र अ = ग, क = घ इति भविष्यति, यद्येवं न तर्हि कल्प्यते अ = ग + इ अत ग + इ ± √क = ग ± √घ समशोधनेन इ ± √क = ± √घ वर्गीकरणेन, इ² ± २ इ √क + क = घ समशोधनादिना इ² ~ (घ - क) ------------- = √क • २ इ अनेन मूलं भिन्नं वाऽभिन्नं सम्भवसंख्यासमं जातं परन्तु कमानमवर्गाङ्करूपं पूर्वप्रकल्पितमवर्गस्य मूलं न सावयवं न निरवयवं च भिन्नवर्गे भिन्नत्वान्निरवयवाद्- यद् वर्गाङ्गत्वादत पूर्वकल्पना न तथ्या ततोऽवश्यं अ = ग तेन क = घ, इति सिद्ध्यति । अथ कल्प्यते अ + √क अस्य मूलं √या + √का ततो वर्गेण या + का + √४ याका = अ + √क पूर्वसमीकरणयुक्त्या, या + का = अ, ४ याका = क ततो वर्गेण या² + २ याका + का² = अ² । ४ याका = क शोधनेन या² - २ याका + का² = अ² - क मूलेन, या - का = √अ² - क ततश्चक्रमेण या, का अनयोर्मानं सुगममित्युपपन्नं मूलानयनम् । अवर्गमूलस्य प्रशंसा चेयम् न यो विभिन्नो न यतोऽप्यभिन्नो यथाहमहा तर्हि ददाति तूर्णम् । स पूर्णमास्यां गणितार्णवान्तः प्रविश्य मे ब्रूहि तदीयनाम ॥ मत्कृता युक्तिरियमेव । ३

१८ बीजगणिते पृथक् तदर्थे करणीद्वयं स्यान्मूलेऽथ बह्वी करणी तयोर्या । रूपाणि तान्येव कृतानि भूयः शेषाः करण्यो यदि सन्ति वर्गे ॥१८॥ उदाहरणम्-द्वितीयवर्गस्य मूलार्थे न्यासः-रू ५ क २४। रूपकृतेः २५ करणीतुल्यानि रूपाणि २४ अपास्य शेषम् १। अस्य मूलेन १ ऊ- नाधिकरूपाणामर्धे जाते मूलकरण्यौ क २ क ३। प्रथमवर्गस्य न्यासः-रू १० क २४ क ४० क ६०। रूपकृतेः १०० चतुर्विं- शतिचत्वारिंशत्करण्योस्तुल्यानि रूपाण्यपास्य शेषम् ३६। अस्य मूलेनोनाधिकरूपाणामर्धे जाते २।८। तत्रापीयं २ मूलकरणी। द्वितीयां रूपाण्येव प्रकल्प्य पुनः शेषकरणीभिः स एव विधिः कार्य- स्तत्रेयं रूपकृतिः ६४। अस्याः षष्टीरूपाण्यपास्य शेषम् ४। अस्य मूलम् २। अनेनोनाधिकरूपाणामर्धे ३।५ जाते। मूलकरणी क ३ क ५। मूलकरणीनां यथाक्रमं न्यासः क २ क ३ क ५। तृतीयवर्गस्य न्यासः-रू १६ क १२० क ७२ क ६० क ४८ क ४० क २४। रूपकृतेः २५६। करणीत्रितयस्यास्य क ४८ क ४० क २४। तुल्यानि रूपाण्यपास्योक्तवज्जाते खण्डे २। १४। महती रूपाणीत्यस्याः १४ कृतिः १९६। अस्य करणीद्वयस्यास्य क ७२ क १२०। तुल्यरूपण्य- पास्योक्तवज्जाते खण्डे ६।८। पुनः रूपकृतेः ६४। षष्टीरूपाण्यपास्यो- क्तवत् खण्डे ३।५। एवं मूलकरणीनां यथाक्रमं न्यासः क ६ क ५ क ३ क २। चतुर्थस्य न्यासः-रू ७२। इयमेव लब्धा मूलकरणी क ७२। पूर्वं खण्ड- त्रयमासीदिति "वर्गेण योगकरणी विहृता विशुद्धे"दिति षट्त्रिंशता विहृता शुध्यतीति षट्त्रिंशतो मूलम् ६। एतस्य खण्डानां १।२।३। वर्गाः १।४।९ पूर्वलब्ध्याऽनया २ क्षुण्णाः २।८।१८। एवं पृथक् करण्यो जाताः क २ क ८ क १८। अथ वर्गगतवर्णकरण्या मूलानयनार्थं सूत्रं वृत्तम्।

करणीषड्विधम् १९ (१) ऋणात्मिका चेत् करणी कृतौ स्याद्धनात्मिकां तां परिकल्प्य साध्ये । मूले करण्याधनयोर्भीष्टा क्षयात्मिकैका सुधियाऽवगम्या ॥ १९ ॥ उदाहरणम् । त्रिसप्तमितयोर्वद मे करण्योर्विश्लेषवर्गं कृतितः पदं च । न्यासः क ३̇ क ७ । यद्वा क ३ क ७̇ । अनयोर्वर्गः सम एव रू १० क ८̇४ । अत्र वर्गे ऋणकरण्या धनत्वं प्रकल्प्य प्राग्वल्लव्धकरण्योरेका- ऽभीष्टा ऋणगता स्यादिति जातम् क ३̇ क ७ । वा क ३ क ७̇ । उदाहरणम् । द्विकत्रिपञ्चप्रमिताः करण्यः स्वस्वर्णगा व्यस्तधनर्णगा वा । तासां कृतिं ब्रूहि कृतेः पदं च चेत् षड्विधं वेत्सि सखे करण्याः॥ न्यासः । क २ क ३ क ५̇ । वा क २̇ क ३̇ क ५ । आसां वर्गः सम एव जातः रू १० क २४ क ४̇० क ६̇० । अत्र ऋणकरण्योस्तुल्यानि धनरूपाणि १०० । रूपकृतेः १०० । अ- पास्य शेषस्य मूलम् ० । अनेनोनाधिकरूपाणामर्धे क ५ । क ५ । अत्रैका ऋणम् क ५̇ । अन्या रूपाणीति । न्यासः रू ५ क २४ । पूर्ववज्जाते करण्यौ धने एव क ३ क २ । यथाक्रमं न्यासः क २ क ३ क ५̇ । अथ वाऽनयोः क २४ क ६० तुल्यानि धनरूपाणि ८४ । रूपकृतेः १०० । अपास्योक्तवज्जाते मूलकरण्यौ क ७ क ३ । अनयोर्महती ऋणं क ७̇ । तान्येव रूपाणि प्रकल्प्य रू ७ क ४० । अतः प्राग्वत् करण्यौ क ५ क २ । अनयोरपि महती ऋणमिति यथाक्रमं न्यासः क ३ क २ क ५̇ । अथ द्वितीयोदाहरणे । प्राग्वत् प्रथमपक्षे मूलकरण्यौ क ५ क ५ । अनयोरेका ऋणं क ५̇ तान्येव रूपाणीति ऋणोत्पन्ने करणी- खण्डे ऋणे एवेति यथाक्रमं न्यासः क ३̇ क २̇ क ५ । (१) यतः ( √अ + √क )² = अ + क + √४ अक । ( √अ - √क )² = अ + क - √४ अक अतो वर्गद्वयेऽपि रूपकरण्योर्माने समाने तेन ऋणात्मिकां करणीं धनात्मिकां परिकल्प्य मूलं साधितं तत्र मूले यथा योग्यैका करणी ऋणा- त्मिका कल्प्येति ।